Gauß-Quadratur

Die Gauß-Quadratur (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren zur numerischen Berechnung von Integralen der Form $\int _{a}^{b}\Phi (x)w(x)\,dx$ mit optimaler Ordnung.

Der Integrand setzt sich zusammen aus einer beliebigen stetigen Funktion $\Phi (x)$ und einer Gewichtsfunktion $w(x)$. Der Integrationsbereich [a,b] ist nicht auf endliche Intervalle beschränkt.

Zur numerischen Berechnung wird das Integral durch die Summe

$\sum _{i=1}^{n}\Phi (x_{i})w_{i}$

approximiert, wobei $x_{i}$ als Knoten oder Abszissenwerte und die Größen $w_{i}$ als Gewichte bezeichnet werden.

Eigenschaften

Die fundamentale Theorie der Gaußschen Quadratur besagt, dass die optimalen Abszissenwerte $x_{i}$ einer Gauß-Quadraturformel vom Grad n genau den Nullstellen des n-ten orthogonalen Polynoms $P_{n}$ vom Grad n entsprechen. Die Polynome $P_{1}$, $P_{2}$, ..., $P_{n}$ müssen dabei orthogonal bezüglich des mit $w(x)$ gewichteten Skalarprodukts sein,

$\delta _{i,j}=\langle P_{i},P_{j}\rangle _{w}:=\int _{a}^{b}P_{i}(x)P_{j}(x)w(x)\,dx$

Die Gauß-Quadratur stimmt für polynomiale Funktionen $\Phi (x)$ mit dem Wert des Integrals exakt überein, deren Grad maximal $2n-1$ ist.

Anwendung

Die Gaußsche Quadratur findet Anwendung bei der numerischen Integration. Dabei werden für eine gegebene Gewichtsfunktion und einen gegebenen Grad n, der die Genauigkeit der numerischen Integration bestimmt, einmalig die Stützpunkte $x_{i}$ und Gewichtswerte $w_{i}$ berechnet und tabelliert. Anschließend kann für beliebige $\Phi (x)$ die numerische Integration durch einfaches Aufsummieren von gewichteten Funktionswerten erfolgen.

Dieses Verfahren ist damit potentiell vorteilhaft

1. wenn viele Integrationen mit derselben Gewichtsfunktion durchgeführt werden müssen und
2. wenn $\Phi (x)$ hinreichend gut durch ein Polynom approximierbar ist.

Für einige spezielle Gewichtsfunktionen sind die Werte für die Stützstellen fertig tabelliert.

Bei der Gauss-Laguerre Quadratur wird eine numerische Integration einer Funktion $f(x)=e^{-x}(e^{x}f(x))$ von 0 bis Unendlich betrachtet, indem $w(x)=e^{-x}$ und $\Phi (x)=e^{x}f(x)$ gesetzt wird.