Hoare-Kalkül

Der Hoare-Kalkül (auch Hoare-Logik) ist ein Formales System, entwickelt von dem britischen Informatiker C.A.R. Hoare und später verfeinert von Hoare und anderen Wissenschaftlern. Er wurde 1969 in einem Artikel mit dem Titel "An axiomatic basis for computer programming" veröffentlicht. Der Zweck des Systems ist es, eine Menge von logischen Regeln zu liefern, die es erlauben, Aussagen über die Korrektheit von Computer-Programmen zu treffen und sich dabei der mathematischen Logik bedienen. Hoare knüpft an frühere Beiträge von Robert Floyd an, der ein ähnliches System für Flussdiagramme veröffentlichte.

Das zentrale Element des Hoare-Kalküls ist das Hoare-Tripel, das beschreibt, wie ein Programmteil den Zustand einer Berechnung verändert:

\{P\}\;S\;\{Q\}

Dabei nennt man P und Q Zusicherungen (englisch assertions). S ist ein Programmsegment. P heißt die Vorbedingung (englisch precondition) , Q heißt die Nachbedingung (englisch postcondition). Zusicherungen sind Formeln der Prädikatenlogik. Ein Tripel kann auf folgende Weise verstanden werden: Falls P gilt für den Programmzustand vor der Ausführung von S, dann gilt Q danach. Falls S nicht terminiert, dann gibt es kein "danach", also kann in diesem Fall Q jede beliebige Aussage sein. Tatsächlich kann man für Q die Aussage false wählen, um auszudrücken, dass S nicht terminiert. Man spricht hier von "partieller Korrektheit". Falls S terminiert und danach Q wahr ist, spricht man von "totaler Korrektheit". Die Terminierung muss unabhängig bewiesen werden.

Der Hoare-Kalkül besteht aus Axiomen und Ableitungsregeln für alle Konstrukte einer einfachen imperativen Programmiersprache:

Das Zuweisungsaxiom besagt, dass nach einer Zuweisung jede Aussage für die Variable gilt, welche vorher für die rechte Seite der Zuweisung galt:

{\frac {}{\{P[E/x]\}\ x:=E\ \{P\}}}

$P[E/x]$ ist die Aussage, die dadurch entsteht, dass man in $P$ jedes Vorkommen von $x$ durch $E$ ersetzt.

Genau genommen ist das Zuweisungsaxiom kein einzelnes Axiom, sondern ein Schema für eine unendliche Menge von Axiomen, denn $x$ , $E$ und $P$ können jede mögliche Form annehmen, und $P[E/x]$ kann daraus konstruiert werden.

Ein Beispiel für ein durch das Zuweisungsaxiom beschriebenes Tripel ist:

\{x+1=43\}\ y:=x+1\ \{y=43\}

Sequenzregel

{\frac {\{P\}\ S\ \{Q\}\ ,\ \{Q\}\ T\ \{R\}}{\{P\}\ S;T\ \{R\}}}

Eine Regel kann auf folgende Weise angewendet werden: Wenn die über dem Strich stehenden Aussagen bewiesen worden sind, kann die unter dem Strich stehende Aussage auch als bewiesen angesehen werden.

Betrachtet man zum Beispiel die folgenden beiden Aussagen, die aus dem Zuweisungsaxiom folgen

\{x+1=43\}\ y:=x+1\ \{y=43\}

und

\{y=43\}\ z:=y\ \{z=43\}

kann man die folgende Aussage daraus folgern:

\{x+1=43\}\ y:=x+1;z:=y\ \{z=43\}

Auswahlregel (if-then-else-Regel)

{\frac {\{B\wedge P\}\ S\ \{Q\}\ ,\ \{\neg B\wedge P\}\ T\ \{Q\}}{\{P\}\ if\ B\ then\ S\ else\ T\ \{Q\}}}

Iterationsregel (while-Regel)

{\frac {\{I\wedge B\}\ S\ \{I\}}{\{I\}\ while\ B\ do\ S\ od\ \{\neg B\wedge \ I\}}}

$I$ wird als Schleifeninvariante bezeichnet.

Konsequenzregel

{\frac {P^{\prime }\rightarrow \ P\ ,\ \lbrace P\rbrace \ S\ \lbrace Q\rbrace \ ,\ Q\rightarrow \ Q^{\prime }}{\lbrace P^{\prime }\ \rbrace \ S\ \lbrace Q^{\prime }\rbrace }}

Totale Korrektheit

Wie oben erläutert eignet sich das beschriebene Kalkül nur für den Beweis der partiellen Korrektheit. Zum Beweis der totalen Korrektheit kann es durch Erweiterung der while-Regel verwendet werden:

Whileregel für totale Korrektheit:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \frac { \{I \wedge B \wedge z = t \}\ S\ \{I \wedge z > t \},I \rightarrow t \geq 0} { \{I \}\ while\ (B)\ do\ S\ od \{\neg B \wedge\ I\} } }

Hierbei ist t ein Term, I die Schleifeninvariante - also das was in jedem Schleifendurchlauf gilt - und z eine Variable, die in B, t, S und I nicht (frei) vorkommt. Sie dient dazu den Wert des Terms vor der Schleife mit dem nach der Schleife zu vergleichen. Die Bedingung $I\rightarrow t\geq 0$ stellt sicher, dass t nicht negativ wird. Die Idee hinter der Regel ist, dass, wenn t mit jedem Schleifendurchlauf abnimmt, aber nie kleiner als Null wird, die Schleife irgendwann enden muss.

Siehe auch

References

C. A. R. Hoare. "An axiomatic basis for computer programming". Communications of the ACM, 12(10):576-585, October 1969. [1]