Ähnlichkeit (Matrix)

Die Ähnlichkeit im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Zur Aussage „die $n\times n$-Matrizen $A$ und $B$ sind ähnlich über dem Körper $K$“, sind folgende Aussagen äquivalent:

• Es gibt eine invertierbare $n\times n$-Matrix $P$ über $K$ mit $B=P^{-1}AP$.
• Es gibt eine invertierbare $n\times n$-Matrix $P$ über $K$ mit $PB=AP$.

Ähnlichkeitsabbildung

Eine Abbildung $g$, die einer Matrix A eine ihr ähnliche Matrix B zuweist, heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation.
Es gilt dann (vgl. oben) $g(A)=P^{-1}AP=B$.

Diagonalisierbarkeit, Trigonalisierbarkeit

Ist eine Matrix A ähnlich zu einer Diagonalmatrix, so sagt man, sie ist diagonalisierbar. Eine Matrix heißt trigonalisierbar, falls sie ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist.

Eigenschaften ähnlicher Matrizen

Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte (aber nicht notwendigerweise die gleichen Eigenvektoren). Daraus folgt, dass sie

• den gleichen Rang,
• die gleiche Determinante,
• die gleiche Spur,
• das gleiche charakteristische Polynom,
• das gleiche Minimalpolynom und
• die gleiche Jordansche Normalform

haben.

Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn ihre charakteristischen Matrizen äquivalent sind (sog. Lemma von Frobenius).

Verallgemeinerung

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der Äquivalenz (Relation) auf der Klasse der $m\times n$-Matrizen.

Literatur

• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S.101 und S. 163