Benutzer:Hesmucet/Probeseite

In einer Kategorie ${\mathcal {C}}$ heißt ein Objekt $Q$ injektiv, wenn es zu jedem Monomorphismus $\alpha \colon A\rightarrow B$ und jedem $f\colon A\rightarrow Q$ ein $f^{*}\colon B\rightarrow Q$ gibt, so dass $f^{*}\circ \alpha =f$ ist. Das nebenstehende Diagramm ist kommutativ. Also $Q$ ist injektiv, wenn für alle Monomorphismen $\alpha \colon A\rightarrow B$ die induzierte Abbildung $Mor_{\mathcal {C}}(B,Q)\ni f^{*}\mapsto f^{*}\circ \alpha \in Mor_{\mathcal {C}}(A,Q)$ surjektiv ist.

Produkt und Koprodukt von Moduln

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebra

ist Spezialfall von

Produkt

Der Hom Funktor

Sind $M,N$ Moduln, so ist $\operatorname {Hom} (M,N)$ die Menge der Hmomorphismen $f\colon M\rightarrow N$.

Moduleigenschaften von Hom

• Die Menge $\operatorname {Hom} (M,N)$ wird zu einer abelschen Gruppe, wenn für zwei Homomorphismen $f,g\colon M\rightarrow N$ die Summe folgendermaßen definiert ist: $f+g\colon M\ni m\mapsto f(m)+g(m)\in N$.
• Ist $M$ ein $S-R$ Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring $S$ und auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring $R$, so wird $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ auf der rechten Seite zu einem Modul über dem Ring $S$, wenn man für $f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ und $s\in S$ definiert: $f\cdot s\colon M\ni m\mapsto f(s\cdot m)\in N$. Ist insbesondere $S$ der Endomorphismenring von $M$, so ist $\operatorname {Hom} (M,N)$ auf der rechten Seite ein Modul über dem Ring $S$.
• Ist $N$ ein $S-R$ Bimodul, auf der linken Seite ein Modul über dem Ring $S$ und auf der rechten Seite über dem Ring $R$ , so wird $\operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ auf der linken Seite zu einem Modul über dem Ring $S$, wenn man für $f\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ und $s\in S$ definiert: $s\cdot f\colon M\ni m\mapsto s\cdot f(m)\in N$.

Der kovariante Funktor Hom

Ist $M$ ein Modul, so ordnet man jedem Modul $N$ die abelsche Gruppe $\operatorname {Hom} (M,N)$ zu. Jedem Homomorphismus $\alpha \colon A\rightarrow B$ wird der Homomorphismus $\operatorname {Hom} (M,\alpha )\colon \operatorname {Hom} (M,A)\ni f\mapsto \alpha \circ f\in \operatorname {Hom} (M,B)$ zugeordnet. Es gilt dann für alle $\alpha \colon A\rightarrow B\,\,,\beta \colon B\rightarrow C$: $\operatorname {Hom} (M,\beta \circ \alpha )=\operatorname {Hom} (M,\alpha )\circ \operatorname {Hom} (M,\beta )$. Außerdem werden die Identitäten auf die entsprechenden Identitäten abgebildet. $\operatorname {Hom} (M,-)$ ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Moduln über dem Ring $R$ in die Kategorie der abelschen Gruppen. Ist $M$ wie oben ein $S-R$ Bimodul, so ist $\operatorname {Hom} (M,-)$ ein Funktor von der Kategorie der Moduln über $R$ in die Kategorie der Moduln über $S$.

Zum Koprodukt

Ist $q_{i}\colon M_{i}\rightarrow M$ eine Familie von Homomorphismen, so ist $M$ genau dann ein Koprodukt der Familie $(M_{i}|i\in I)$ , wenn der Homomorphismus

${\begin{aligned}Hom(M,A)\ni f&\mapsto (f\circ q_{i})\in \prod _{i\in I}Hom(M_{i},A)\end{aligned}}$

für alle Rechtsmoduln $A$ ein Isomorphismus ist. Insbesondere ist:

${\begin{aligned}\Phi (A)\colon Hom(\bigoplus _{i\in I}M_{i},A)\ni f&\mapsto (f\circ \eta _{i})\in \prod _{i\in I}Hom(M_{i},A)\end{aligned}}$

eine natürliche Transformation, die für jeden Modul $A$ ein Isomorphismus ist. $\Phi (A)$ ist ein funktorieller Isomorphismus.