Lagrange-Dichte

Die Lagrange-Dichte wurde nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange benannt. Betrachtet man in der theoretischen Physik das Verhalten von Feldern, so geht die Lagrange-Funktion $L$ über in ein Integral über die Lagrange-Dichte ${\mathcal {L}}$, welche die Dichte der Lagrange-Funktion in einem Volumenelement beschreibt.

Sie ist definiert als

$L=\int \mathrm {d} ^{3}r{\mathcal {L}}=\iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,{\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial t}},{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},t\right)$

mit dem betrachteten Feld $\phi (x,y,z,t)$.

Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen 2. Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}=0$

Beispiel

Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\mu \left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-E\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]$

In diesem Beispiel bedeuten:

$\phi =\phi (x,t)$ die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable)

$\mu$ die lineare Massendichte

E den Elastizitätsmodul

Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}}=\mu {\frac {\partial \phi }{\partial t}}$

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi }{\partial x}}}}=-E{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$

Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite

$E{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}-\mu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=0$

Anwendung in der Relativitätstheorie

Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über

$S=\int \mathrm {d} ^{4}x\,{\mathcal {L}}$

definiert. Dann ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Skalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:

${\mathcal {L}}'(x_{\mu })={\mathcal {L}}(x'_{\mu })={\mathcal {L}}(x_{\mu })$ mit $x'_{\mu }=\Lambda _{\mu \nu }x^{\nu }$, wobei $\Lambda _{\mu \nu }$ der Lorentz-Transformationstensor ist.