Geradengleichung

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt. Die Abbildung zeigt eine Gerade g durch zwei gegebene Punkte P und Q in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte lässt sich in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade konstruieren.

In der analytischen Geometrie gibt es verschiedene Formen der Geradengleichung, die aber alle ineinander umgewandelt werden können.

Koordinatenform

Die Koordinatenform folgt immer dem Schema:

$g:\;y=m\cdot x+q$

m ist die Steigung der Geraden,

q ist der Achsenabschnitt auf der y-Achse, also die Verschiebung der Geraden entlang der y-Achse relativ zum Ursprung des Koordinatensystems (für q = 0 ergibt sich eine Gerade durch den Ursprung, eine Ursprungsgerade).

x und y sind Platzhalter für die Koordinatenwerte aller Punkte, die die Geradengleichung erfüllen und somit auf dem Graphen der Gerade liegen.

Ein Punkt P mit der x-Koordinate x hat eine y-Koordinate, die sich aus q und m · x zusammensetzt. Die Steigung m ist die senkrechte Kathete des (blau gefärbten) Steigungsdreiecks, dessen waagerechte Kathete 1 ist. Wird diese auf das x-fache vergrößert (gelbes Dreieck), so vergrößert sich auch die senkrechte Kathete auf das x-fache (Strahlensatz), also m · x. Zusammen mit dem Achsenabschnitt q folgt für die y-Koordinate:

$y=m\cdot x+q$,

im Beispiel:

$g:\;y={\frac {1}{2}}\cdot x+2$,

Zweipunkteform

Die Steigung m der Geraden kann mit Hilfe des Differenzenquotienten folgendermaßen errechnet werden:

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$.

Nach dem Strahlensatz gilt für einen beliebigen anderen Punkt P(x|y) zugleich

$m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}$,

also

$g:\;{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}$.

Im Beispiel wird

${\frac {3-1}{2-(-2)}}={\frac {2}{4}}=0{,}5={\frac {y-1}{x-(-2)}}$,

$g:\;{\frac {y-1}{x+2}}=0{,}5$.

Achsenabschnittsform

Die Achsenabschnitte a_x und a_y ergeben sich aus den beiden Achsenschnittpunkten S_x und S_y, die man auch Spurpunkte nennt.

a_y ist identisch mit q (aus der Koordinatenform, siehe oben). a_x ergibt sich aus der Bedingung, dass an diesem Punkt (S_x) y=0 sein muss:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle m \cdot a_x + q = 0} ,

also

$m\cdot a_{x}+a_{y}=0$,

$m=-{\frac {a_{y}}{a_{x}}}$,

Eingesetzt in die Koordinatenform folgt:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle y = - \frac{a_y}{a_x} \cdot x + a_y} .

Umstellen der Gleichung ergibt dann die Achsenabschnittsform:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle g:\;\frac{x}{a_x} + \frac{y}{a_y} = 1} .

Im Beispiel ist fuck

$g:\;{\frac {x}{-4}}+{\frac {y}{2}}=1$.

Parameterform (Punktrichtungsform)

Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben.

$g:\;{\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda \cdot {\vec {u}}$

${\vec {r}}_{0}$ ist der Ortsvektor eines fixen Punktes (z.B. P₀),

${\vec {u}}$ ist der Richtungsvektor,

$\lambda$ ist ein Skalar und gibt an, wie lange in diese Richtung gezählt wird.

Das Beispiel würde dann so aussehen:

$g:\;{\vec {r}}={-2 \choose 1}+\lambda \cdot {3 \choose 1,5}$

λ bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, d.h. die Gerade wird (mit dem Nullpunkt bei P₀) mit den Werten von λ beziffert (im Bild grün gekennzeichnet).

Normalform

Mit einem Normalenvektor ${\vec {n}}$, der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalform (in anderer Notation: Normalenform) schreiben:

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}-c=0$.

oder

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}=c$.

Darin ist c eine Konstante und $\cdot$ das Skalarprodukt. Diese Darstellung beruht auf der Eigenschaft des Skalarproduktes, nach dem

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot cos(\alpha )$ mit $\alpha =\angle ({\vec {a}},{\vec {b}})$.

ist. Nun setzt sich der Ortsvektor ${\vec {r}}$ eines beliebigen Punktes P(x|y) stets aus dem Vektor ${\vec {r}}_{p}$ parallel zur Geraden und dem Vektor ${\vec {r}}_{s}$ senkrecht zu der Geraden durch Vektoraddition zusammen:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{s}+{\vec {r}}_{p}$.

Aus den Eigenschaften der Kosinusfunktion ergibt sich, dass stets

${\vec {r}}_{p}\cdot {\vec {n}}=|{\vec {r}}_{p}|\cdot |{\vec {n}}|\cdot \cos(90^{\circ })=0$

und

${\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}|=c$

ist. Da ${\vec {r}}_{s}$ für alle Punkte der Geraden gleich ist, ist dieses Produkt konstant. Somit ist

${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}=({\vec {r}}_{s}+{\vec {r}}_{p})\cdot {\vec {n}}={\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}+{\vec {r}}_{p}\cdot {\vec {n}}=c+0=c$.

Im Beispiel ist

${\vec {n}}={-1 \choose 2}$

c ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf der Geraden liegt, z.B. mit dem Punkt P(4|4):

$c={\vec {n}}\cdot {\vec {r}}={-1 \choose 2}\cdot {4 \choose 4}=-4+8=4$.

(Jeder andere Punkt der Geraden führt zum gleichen Ergebnis!) Folglich lautet die Normalform der Geraden:

$g:\;{\vec {r}}\cdot {-1 \choose 2}=4$.

Hessesche Normalform

Sie leitet sich aus der Normalform ab. Offenbar ist der Betrag von ${\vec {r}}_{s}$ identisch mit dem Abstand d der Geraden vom Ursprung. Aus

${\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}|\cdot \cos(0^{\circ })=|{\vec {r}}_{s}|\cdot |{\vec {n}}|=c$

folgt

${\vec {r}}_{s}\cdot {\vec {n}}=c=|{\vec {r}}_{s}||{\vec {n}}|$ .

Division durch $|{\vec {n}}|$ ergibt folglich

${\frac {c}{|{\vec {n}}|}}=|{\vec {r}}_{s}|=d$.

Daher ist

$g:\;{\vec {r}}\cdot {\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}=d$.

Im Beispiel ist $|{\vec {n}}|={\sqrt {(-1)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {5}}$, also

$g:\;{\vec {r}}\cdot {\frac {-1 \choose 2}{\sqrt {5}}}={\frac {4}{\sqrt {5}}}$,

und der Ursprungsabstand der Geraden ist $d={\frac {4}{\sqrt {5}}}\approx 1{,}79$.

Gerade im Raum

Zur Beschreibung einer Geraden im (dreidimensionalen) Raum ist nur die Parameterform

$g:\;{\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+\lambda \cdot {\vec {u}}$

gebräuchlich, da eine Raumgerade weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzt (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen). ${\vec {r}}$, ${\vec {r}}_{0}$ und ${\vec {u}}$ sind dabei nun Vektoren im Raum.

---

Siehe auch: Vektorrechnung, Parameterdarstellung