Ellipse

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene Kurve von ovaler Form, die wie die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.

Definitionen und Begriffe

Parameter einer Ellipse

Ellipse als Punktmenge

Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte $P$ der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten $F_{1}$ und $F_{2}$ gleich 2a ist (in nebenstehender Abbildung blau eingezeichnet). Die Punkte $F_{1}$ und $F_{2}$ heißen Brennpunkte.

$E=\{P\mid \left|{\overline {F_{1}P}}\right|+\left|{\overline {F_{2}P}}\right|=2a\}$

Scheitel und Achsen

Die Punkte $S_{1}$ und $S_{2}$ mit größtem Abstand zum Mittelpunkt $M$ heißen Hauptscheitel, ihre Verbindungslinie ${\overline {S_{1}S_{2}}}$ heißt Hauptachse bestehend aus den zwei großen Halbachsen ${\overline {MS_{1}}}$ und ${\overline {MS_{2}}}$.

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln $S_{3}$ und $S_{4}$, welche die Nebenachse bestehend aus den kleinen Halbachsen ${\overline {MS_{3}}}$ und ${\overline {MS_{4}}}$ definieren. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit $b$ bezeichnet:

$\left|{\overline {MS_{3}}}\right|=\left|{\overline {MS_{4}}}\right|=b$

Haupt- und Nebenachse sind zueinander orthogonal.

Exzentrizität

Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit $e$ bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck $\triangle MF_{1}S_{3}$ mit dem Satz des Pythagoras:

$e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.

Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität $\varepsilon \in [0,1)$, verwendet:

$\varepsilon ={\frac {e}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}$

Ist $\varepsilon$ gleich $0$, so ist die Ellipse ein Kreis. Liegt sie nahe bei $1$, so handelt es sich um eine langgestreckte, schmale Ellipse.

Spezielle Abstände

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel $S_{3}$ und $S_{4}$ von den Brennpunkten $F_{1}$ und $F_{2}$ gerade gleich der Größe $a$ aus der Definition ist (in nebenstehender Abbildung grün eingezeichnet):

$\left|F_{1}S_{3}\right|=\left|F_{2}S_{3}\right|=\left|F_{1}S_{4}\right|=\left|F_{2}S_{4}\right|=a$

Die großen Halbachsen ${\overline {MS_{1}}}$ und ${\overline {MS_{2}}}$ haben ebenfalls gerade die Länge $a$. Diese Beziehung ergibt sich aus der Anwendung der Definitionsgleichung auf einen Hauptscheitel:

$\left|F_{1}S_{1}\right|+\left|F_{2}S_{1}\right|=2a$

$\left|MS_{1}\right|-e+\left|F_{2}S_{1}\right|=2a$

$\left|MS_{1}\right|-e+e+\left|MS_{1}\right|=2a$

$\left|MS_{1}\right|=a$

Halbparameter

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Ellipse:

$p={\frac {b^{2}}{a}}$

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die perspektive Affinität (vgl. dazu den Artikel Affinität (Mathematik)). Hier ist die Ellipse als perspektiv affines Bild eines Kreises definiert. Dabei wird jeder Kreisdurchmesser auf einen Ellipsendurchmesser abgebildet.

Hauptlage und analytische Definition

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt folgende Gleichung für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Eigenschaften

Brennpunkteigenschaft

Brennpunktseigenschaft

Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet gleich dem Ausfallswinkel der Tangente mit dem anderen Brennstrahl. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Anekdote

Archimedes soll die Brennpunkteigenschaft von Ellipsen ausgenützt haben, um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen, die seine Heimatstadt Syrakus belagerten. Er ordnete viele Schilde zu einem großen Ellipsenbogen an und entzündete ein Feuer in einem Brennpunkt, so dass die Segel eines feindlichen Schiffes im anderen Brennpunkt in Flammen aufgingen.

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Das gleiche Prinzip wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.

Direktrix

Ellipse mit Leitlinien

Eine Parallele zur Nebenachse im Abstand ${\frac {a^{2}}{e}}$ bezeichnet man als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt P der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix $d$ auf der entspechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrität:

$\mathrm {\left|PF_{1}\right|:\left|Pd_{1}\right|=\left|PF_{2}\right|:\left|Pd_{2}\right|=\varepsilon }$

Ein gegebener Brennpunkt $F$, eine Gerade $d$ (die Direktrix) und eine Zahl $0\leq \varepsilon <1$ definieren umgekehrt eine Ellipse $e$ als Menge aller Punkte $P$ für die das Verhältnis ihres Abstabstandes $\left|FP\right|$ vom Brennpunkt zum ihrem Abstand $\left|Fd\right|$ von der Geraden $d$ gleich $\varepsilon$ ist.

Konjugierte Duchmesser

Ellipse mit zwei konjugierten Durchmessern

Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) [PQ] alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser [RS]. Man nennt [RS] den zu [PQ] konjugierten Durchmesser. Die Länge des konjugierten Durchmessers [RS] stimmt mit der des ursprünglichen Durchmesser [PQ] überein.

Konstruktion

Näherung über Krümmungskreise

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse zu schneiden, braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnutzen.

Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, ist die sogenannte Gärtnerkonstruktion. Sie benützt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge 2a. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion der klassischen Geometrie.

Ellipsenzirkel

Ellipsenzirkel nach Frans van Schoten aus dem 17. Jahrhundert

Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen.

Rytz'sche Achsenkonstruktion

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, können mit Hilfe der Rytz'schen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden.

Die Ellipse als Kegelschnitt

Ellipse als Kegelschnitt

Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Beispiele

• Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

• In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte steht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft zueinander ähnliche Ellipsenbahnen, wenn die Energie nicht ausreicht, die Entfernung der beteiligten Himmelskörper unendlich groß werden zu lassen.

• Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt ist.

• Ellipsen werden oft in Grafiken verschiedenster Art verwendet. Österreichern sind sie zum Beispiel im (alten?) ORF-Logo bekannt.

Formelsammlung

Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$, Hauptachse parallel zur x-Achse:

${\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1$

Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\left\{{\begin{matrix}x=a\ \cos t\\y=b\ \sin t\end{matrix}}\right.\ ,\ 0\leq t\leq 2\pi$

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$, Hauptachse parallel zur x-Achse:

$\left\{{\begin{matrix}x=x_{0}+a\ \cos t\\y=y_{0}+b\ \sin t\end{matrix}}\right.\ ,\ 0\leq t\leq 2\pi$

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten)

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r={\frac {b}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \varphi }}$

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi }}$

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$

${\frac {x_{B}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{B}y}{b^{2}}}=1$

Mittelpunkt $(x_{0}|y_{0})$, Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$

${\frac {(x_{B}-x_{0})(x-x_{0})}{a^{2}}}+{\frac {(y_{B}-y_{0})(y-y_{0})}{b^{2}}}=1$

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt $(x_{B}|y_{B})$

$\left(1-{\frac {y}{y_{B}}}\right){\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x}{x_{B}}}=1$

Krümmungsradien

Krümmungsradius in einem der beiden Hauptscheitel:

$r_{H}={\frac {b^{2}}{a}}$

Krümmungsradius in einem der beiden Nebenscheitel:

$r_{N}={\frac {a^{2}}{b}}$

Weitere Formeln

Flächeninhalt:

$A=\pi \;a\;b=\pi \;a^{2}\;{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}$

Umfang:

$U=4a\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}(\cos t)^{2}}}\ dt=4a\;E(\varepsilon )$

mit $\varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}$; $E(\varepsilon )$ heißt elliptisches Integral. Dieses Integral lässt sich nicht in einer geschlossenen integralfreien Form schreiben. Es gibt aber die Reihenentwicklung

$U=2a\ \pi \left[1\;-\;\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\varepsilon ^{2}\;-\;\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {\varepsilon ^{4}}{3}}\;-\;\dots \;-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \;\dots \;\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \;\dots \;\cdot 2n}}\right)^{2}{\frac {\varepsilon ^{2n}}{2n-1}}\;-\;\dots \right]$

und die Näherung

$U\approx \pi (a+b)\left(1+{\frac {3\lambda ^{2}}{10+{\sqrt {4-3\lambda ^{2}}}}}\right)$ mit $\quad \lambda ={\frac {a-b}{a+b}}\,$;   relativer Fehler: $\approx {\frac {3\varepsilon ^{20}}{2^{36}}}$

Siehe auch

• Erweitert man die Ellipsengleichung für den Raum, oder rotiert eine Ellipse um ihre Hauptachse, entsteht ein Ellipsoid.
• Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse zur Lamésche Kurve (Superellipse).
• Homöoid
• Fokaloid

Weblinks

• Formeln zum Ellipsenumfang mit Beispielrechnung
• Website zum Berechnen eines Ellipsenumfang

Mehrere Links zu Ellipsenzirkeln: [1] [2] [3] [4]