Wärmeleitungsgleichung

Modell eines Heizrohres, welches über eine Metallverstrebung abgekühlt wird

Die Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung. Sie ist das typische Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung und beschreibt die Ausbreitung thermischer Veränderungen eines Körpers durch Wärmeleitung oder die Ausbreitung eines gelösten Stoffes durch Diffusion.

Formulierung

In homogenen Medien lautet die Wärmeleitungsgleichung

${\frac {\partial }{\partial t}}u({\vec {r}},t)=a\cdot \Delta u({\vec {r}},t)$,

wobei $\Delta$ den Laplace-Operator kennzeichnet.

Eine häufig verwendete Vereinfachung berücksichtigt nur eine Raumdimension und beschreibt zum Beispiel die zeitliche Änderung der Temperatur in einem dünnen, relativ dazu langen Stab aus festem Material mit der Temperaturleitfähigkeit a. Dadurch fällt der Laplace-Operator zu einer einfachen zweiten Ableitung zusammen:

${\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)=a\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{u(x,t)}$

Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung Null ist, geht die Gleichung in die Laplace-Gleichung über.

Eigenschaften

Maximumprinzip

Lösung einer zweidimensionalen Wärmeleitungsgleichung

Sei u eine Funktion, die die Temperatur eines Festkörpers in Abhängigkeit des Ortes und der Zeit angibt, also $u=u(t,x,y,z)$. u ist zeitabhängig, weil sich die thermische Energie mit der Zeit über das Material ausbreitet. Die physikalische Selbstverständlichkeit, dass Wärme nicht aus dem Nichts entsteht, schlägt sich mathematisch im Maximumprinzip nieder: Der Maximalwert (über Zeit und Raum) der Temperatur wird entweder am Anfang des betrachteten Zeitintervalls oder am Rand des betrachteten Raumbereichs angenommen. Diese Eigenschaft gilt allgemein bei parabolischen partiellen Differentialgleichungen und kann leicht bewiesen werden.

Glättungseigenschaft

Eine weitere interessante Eigenschaft ist, dass selbst wenn u zum Zeitpunkt $t=t_{0}$ eine Unstetigkeitsstelle hat, die Funktion u zu jedem Zeitpunkt $t>t_{0}$ stetig im Raum ist. Wenn also zwei Metallstücke verschiedener Temperatur bei $t=t_{0}$ fest verbunden werden, wird sich an der Verbindungsstelle schnell die mittlere Temperatur einstellen und die Temperaturkurve stetig durch beide Werkstücke verlaufen.

Klassische Lösungen

Die Fundamentallösung lautet im Eindimensionalen:

$K(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi at}}}\ \exp \left(-{\frac {x^{2}}{4at}}\right)$

Im $n$-dimensionalen Raum ist eine Fundamentallösung durch

$K({\vec {x}};t)={\frac {1}{(4\pi at)^{n/2}}}\ \exp \left(-{\frac {\|{\vec {x}}\|^{2}}{4at}}\right)$ mit $\|{\vec {x}}\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}$

gegeben.

K wird auch als Wärmeleitungskern oder „Heat Kernel“ bezeichnet. Die funktionale Form entspricht der einer Gauß'schen Normalverteilung mit $\sigma ^{2}=2at$.

Weitere Lösungen

In manchen Fällen kann man Lösungen der Gleichung finden mit Hilfe des Symmetrieansatzes:

$u(x,t)=f\left({\frac {x}{\sqrt {at}}}\right)$

Dies führt auf die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für f:

$\xi f^{\prime }(\xi )=-2\cdot f^{\prime \prime }(\xi )$

Eine weitere eindimensionale Lösung lautet

$u(x,t)=\sin \left(2c^{2}at-xc\right)\cdot \exp(-cx)$,

wobei c eine Konstante ist. Mit ihr kann man das Wärmespeicherungsverhalten modellieren, wenn ein Gegenstand (mit einer zeitlich sinusförmigen Temperatur) erhitzt wird.

Siehe auch

• Wärme
• Wärmeübertragung
• Wärmekapazität
• Spezifische Wärmekapazität
• Wärmeleitkoeffizient
• Temperaturleitfähigkeit
• Diffusion
• Brownsche Molekularbewegung
• Poröse-Medien-Gleichung

Literatur

• Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 183-253.
• Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19).