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Wahrscheinlichkeit

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Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines zufallsbestimmten Ereignisses. Die Wahrscheinlichkeit liegt dabei immer in einem bestimmten reellen Intervall. Normalerweise beginnt dieses bei 0 und endet im normierten Fall bei 1, d.h. bei einem normierten Wahrscheinlichkeitsmaß liegt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines zufallsbestimmten Ereignisses im Intervall [1;0].

Es wird oft behauptet, der Mensch besitze nur ein schlechtes Gefühl für die Wahrscheinlichkeit, man spricht in diesem Zusammenhang auch vom "Wahrscheinlichkeitsidiot". Man kann dies an folgenden Aussagen selbst überprüfen:

  • Die Wahrscheinlichkeit in Österreich im Lotto zu gewinnen entspricht in etwa der Wahrscheinlichkeit von einem Blitz erschlagen zu werden. Die Chance zu gewinnen wird aber oft viel höher eingeschätzt, als die Gefahren eines Gewitters.
  • Geburtstagsparadoxon: Auf einem Fußballspielfeld sind 23 Personen (2*11 Spieler und ein Schiedrichter). Die Wahrscheinlichkeit, dass hierunter mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, ist größer als 50%. [1]

Einfache Erklärung

  • Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1.
  • Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.
  • Alle Wahrscheinlichkeiten von mehr bzw. minder wahrscheinlichen Ereignisse liegen dazwischen.
  • Die Wahrscheinlichkeit wird in der Regel mit dem Buchstaben P bzw. p' abgekürzt.

Einfache Beispiele:

  • Die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf das Wappen zu bekommen beträgt bei einer idealen Münze p = 0,5
  • Die Wahrscheinlichkeit bei einem idealen Würfel bei einem Wurf eine 6 zu erhalten beträgt p = 1/6 = 0,16666...

Genauere Erklärung Es gibt drei verschiedene Zugänge zur Wahrscheinlichkeit:

  • Gleichwahrscheinlichkeit (Leibnitz): Alle Ereignisse bestehen aus gleichwahrscheinlichen, sich gegenseitig ausschließenden Elementarereignissen. Ein Ereignis A ist beschrieben durch die Menge der Elementarereignisse, bei deren Eintreten das Ereignis als eingetreten gilt ("günstige Ereignisse"). Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ergibt sich aus der Zahl k dieser Elementarereignisse geteilt durch die Gesamtzahl n der Elementarereignisse.
Beispiel: Die Elementarereignisse beim Würfeln sind 1, 2, 3, 4, 5, 6. Das Ereignis A = "Ich habe eine Primzahl gewürfelt" ist eingetreten, wenn ich eine 2, 3 oder 5 gewürfelt habe. Demnach ist A = {2,3,5}, k = 3 (Zahl der günstigen Ereignisse = Zahl der Elemente der Menge) und n = 6 (Zahl aller Elementarereignisse), und somit die Wahrscheinlichkeit p(A) = 3/6 = 1/2.
  • Relative Häufigkeit: Die Wahrscheinlichkeit p(A) eines Ereignisses A wird über die relative Häufigkeit seines Auftretens ermittelt.
p(A) = n(A) / n(gesamt) = Anzahl der Ereignisse A / Anzahl der Zufallsexperimente.
Beispiel: Wenn ich mit einem Würfel 1000 mal würfle, dann wird in etwa 500 der 1000 Würfe eine Primzahl herauskommen. Daher hat das Ereignis die Wahrscheinlichkeit 500/1000 = 1/2.
Im Gegensatz zum Gleichwahrscheinlichkeitsansatz kann hier auch problemlos ein gezinkter Würfel beschrieben werden: Es ist kein Problem, wenn die 6 häufiger vorkommt als andere Zahlen.
  • Bayes-Ansatz: Die Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für unsere Erwartung, dass ein bestimmtes Ereignis herauskommt. (xxxxx wer sich mit dem Bayes-Ansatz näher auskennt, bitte hier ergänzen!)

Aus jedem dieser Ansätze folgt, dass die Wahrscheinlichkeit nur Werte zwischen 0 (unmögliches Ereignis) und 1 (sicheres Ereignis) annehmen kann.

Stochastische Informationen können auch in Form von absoluten Häufigkeiten oder natürliche Häufigkeiten angegeben werden, um die gleiche Information verständlicher zu machen.

Siehe auch

Links

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