Mittlere Krümmung

In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$, einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die mittlere Krümmung neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im $\mathbb {R} ^{3}$ und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung $H$ der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen $k_{1}$ und $k_{2}$. Das heißt die mittlere Krümmung ist definiert als

$H:={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2}).$

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche $H=0$ bzw. $k_{1}=-k_{2}$ gilt. Allgemeiner kann man die die mittelere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des $\mathbb {R} ^{n+1}$ durch $H:={\tfrac {1}{n}}\operatorname {Spur} (S)$ definieren. Dabei ist $S$ die Weingarten-Abbildung und $\operatorname {Spur}$ bezeichnet die Spur einer Matrix.

Beispiele

• Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius $r$ ist die mittlere Krümmung gegeben durch $H=1/r$.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius $r$ ist die mittlere Krümmung gleich $H=1/(2r)$.

• Sei $X=X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ ein Graph über der $u-v$ Ebene. Dann berechnet sich die mittlere Krümmung durch die Formel:

$H={\frac {(1+f_{v}^{2})f_{uu}-2f_{u}f_{v}f_{uv}+(1+f_{u}^{2})f_{vv}}{2{\sqrt {1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}}^{3}}}$.

Diese Gleichung nennt man auch nicht-parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung.

Eigenschaften

• Sind $E$, $F$, $G$ bzw. $L$, $M$, $N$ die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt die Formel
  $H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}$

• Wenn die erste Fundamentalform isotherm parametrisiert ist, das heißt es gilt $0<E=G$ und $F=0$, dann schreibt sich
  $H={\frac {L+N}{2E}}.$

• Für eine Fläche $X=X(u,v)$ gilt die Gleichung
  $H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,$
  mit der Einheitsnormale ${\vec {n}}$, $g_{ij}$ als erster Fundamentalform und $\nabla _{i}$ der kovarianten Ableitung.

• Wenn eine Fläche $X=X(u,v)$ isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem
  $\Delta X=2HX_{u}\times X_{v}.$

• Ist die Fläche als Niveaufläche einer Immersion $F$ gegeben, so gilt
  $2H=\operatorname {div} {\vec {n}}=\operatorname {div} {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}.$
  Dabei ist $\operatorname {div}$ die Divergenz und ${\vec {n}}$ das Einheitsnormalenfeld ${\tfrac {\nabla F}{|\nabla F|}}.$ Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.