Borelsche σ-Algebra

Die Borelsche σ-Algebra, benannt nach Émile Borel, bildet in der Mathematik ein Scharnier zwischen Topologie und Maßtheorie.

Für einen gegebenen topologischen Raum $\Omega$ ist die Borelsche σ-Algebra definiert als die kleinste σ-Algebra, die die Topologie von $\Omega$ enthält.

Vokabelerklärung:

• Eine Topologie einer Grundmenge $\Omega$ ist eine Menge von Teilmengen, die die Grundmenge und die leere Menge enthält und die bezüglich beliebiger (auch überabzählbarer) Vereinigung und endlicher Schnittmengenbildung abgeschlossen ist. Die Elemente der Topologie heißen offene Mengen. Eine Grundmenge zusammen mit einer auf ihr erklärten Topologie heißt topologischer Raum.
• Eine σ-Algebra einer Grundmenge $\Omega$ ist eine Menge von Teilmengen, die die Grundmenge enthält und die bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung abgeschlossen ist. Eine Grundmenge zusammen mit einer auf ihr erklärten σ-Algebra heißt auch Messraum.

Eine Borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur heißt der Raum dann auch Borel-Raum.

Ein besonders wichtiges Beispiel ist die Borelsche σ-Algebra auf der Menge $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen. Die kanonische Topologie des $\mathbb {R}$ wird von den offenen Intervallen $(a,b)$ aufgespannt. Die Borelsche σ-Algebra des $\mathbb {R}$ enthält (aufgrund der Abgeschlossenheit einer σ-Algebra bezüglich der Komplementbildung) außer den offenen auch die geschlossenen Intervalle.

Die Borelsche σ-Algebra des $\mathbb {R}$ enthält nicht alle Teilmengen des $\mathbb {R}$. Das zeigt man, indem man den $\mathbb {R}$ mittels des Auswahlaxioms in bestimmte überabzählbar viele Teilmengen (Vitali-Mengen) zerlegt; diese lassen sich nicht durch abzählbare Vereinigung, Schnittmengenbildung und Komplementbildung aus den offenen Intervallen des $\mathbb {R}$ erzeugen. Siehe dazu Vitali-Menge, Hausdorff-Paradoxon, Banach-Tarski-Paradoxon.

Genau genommen lässt sich sogar zeigen, dass die Borelsche σ-Algebra gleichmächtig zur Menge der reellen Zahlen ist und somit echt kleiner als die Potenzmenge von $\mathbb {R}$.

Die Borelsche σ-Algebra des $\mathbb {R}$ liegt dem Borel-Maß zugrunde.