Satz von Gauß-Bonnet

Der Satz von Gauß-Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler-Charakteristik hergestellt wird.

Definitionen und Satz

Sei $M$ eine kompakte und orientierbare 2-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand $\partial M$. Bezeichne mit $K$ die Gaußkrümmung in den Punkten von $M$ und mit $k_{g}$ die Krümmung der Randkurve $\partial M$. Dann gilt

$\int _{M}K\;dA+\int _{\partial M}k_{g}\;ds=2\pi \chi (M)$

wobei $\chi (M)$ die Euler-Charakteristik von $M$ ist.

Der Satz kann im Besonderen auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand angewendet werden. Dann fällt der Term $\int _{\partial M}k_{g}\;ds$ weg.

Erklärung des Satzes

Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung unverändert bleibt.

Beispiele

Die runde Sphäre $M=S^{2}$ mit Radius 1 hat Gauß-Krümmung 1. Das Integral über die Gauß-Krümmung entspricht also ihrer Fläche, $4\pi$. Andererseits ist die Euler-Charakteristik 2, da man die Sphäre als Verklebung von zwei (runden) Flächen entlang einer Kante mit einer Ecke bekommt (also 2-1+1=2).

Den Torus (Euler-Charakteristik 0) erhält man durch Verkleben eines Flachen Rechtecks (Krümmung 0), also stimmt auch hier die Formel.

Verallgemeinerungen

Der Satz läßt sich auf $n$ Dimensionen verallgemeinern.