Natürliche Zahl
Natürliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl am vertrautesten Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält schlicht die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... ; also die nichtnegativen ganzen Zahlen.
Oftmals wird die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null definiert. Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll, die Null auch als natürliche Zahl zu bezeichnen.
Es folgt eine Definition der Axiome der natürlichen Zahlen, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde.
- 0 ist eine natürliche Zahl.
- Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n', der wieder eine natürliche Zahl ist.
- 0 ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
- Sind zwei natürliche Zahlen verschieden, d.h. n ≠ m, dann haben sie verschiedene Nachfolger, also n' ≠ m'
- Gilt für eine Menge X: 0 ∈ X und für jedes n ∈ X ist auch n' ∈ X, so ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.
Die ersten beiden Axiome zeigen den induktiven Aufbau der natürlichen Zahlen. Das letzte Argument nennt man auch das Induktions-Axiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion.
Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von Natürlichen Zahlen, er bewies aber nicht deren Existenz. Erst John von Neumann lieferte dafür ein Beispiel, indem er die natürlichen Zahlen aus der leeren Menge her aufbaute:
- 0 := ∅
- 1 := {0} = {∅}
- 2 := {0, 1} = { ∅, {∅} }
- ...
- n+1 := {0,1,..,n}
Zur Erklärung: Eins ist die Menge, die nur die leere Menge (=0) als Element enthält; das ist nicht die leere Menge selbst!
Für die Menge der natürlichen Zahlen wird das Zeichen ℕ verwendet.
Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar: Jede natürliche Zahl läßt sich auf genau eine Art als Multiplikation von Primzahlen zusammensetzen.