Numerische Mathematik
Die numerische Mathematik, kurz Numerik genannt, beschaeftigt sich mit der Konstruktion und Analyse von Algorithmen fuer kontinuierliche mathematische Probleme.
Interesse an solchen Algorithmen besteht meist aus einem der beiden folgenden Gruende: 1. Es gibt zu dem Problem keine explizite Darstellung der Loesung (so zum Beispiel bei den Navier-Stokes-Gleichungen oder dem Dreikoerperproblem) oder 2. die explizite Loesungsdarstellung ist nicht geeignet, um die Loesung schnell auszurechnen oder in einer Form, in der Rechenfehler sich stark bemerkbar machen (zum Beispiel bei vielen Potenzreihen).
Einen grossen Aufschwung erlebte die numerische Mathematik durch die Entwicklung von Computern. Die Explosion der Rechnerleistung seit den 80er Jahren hat den Bedarf nach schnellen Algorithmen entsprechend verstaerkt. Heutzutage sind numerische Verfahren in jedem technisch-naturwissenschaftlichen Bereich praesent und Alltagswerkzeug.
Ein wesentlicher Aspekt bei der Analyse der Algorithmen in der Numerik ist die Fehleranalyse. Dabei kommen bei einer numerischen Berechnung einige verschiedene Typen von Fehlern zum Tragen:
Beim Rechnen mit Computerzahlen treten unvermeidlich Fehler auf. Diese Fehler lassen sich zwar zum Beispiel durch eine Erhöhung der Stellenzahl verkleinern, aber nicht prinzipiell verhindern.
Das numerische Verfahren ersetzt das kontinuierliche mathematische Problem durch ein diskretes, also endliches Problem. Dabei tritt bereits der sogenannte Diskretisierungs-Fehler auf.
Die Größe der Fehler hängt entscheidend von der sogenannten Kondition des gestellten Problems ab. Hat ein Problem eine grosse Kondition, so reagiert das Endergebnis der numerischen Rechnung sehr empfindlich auf Fehler. Man spricht von einem schlecht gestellten Problem.
Teilgebiete der Numerik sind unter anderem:
- Optimierung
- Approximation
- Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen
- Numerik von Differentialgleichungen
- Numerik von Integralgleichungen
- Numerische Lineare Algebra