Satz von Vieta

Der Satz von Viëta oder auch Wurzelsatz von Viëta (nach dem latinisierten Namen von François Viète) gehört in das Teilgebiet der Algebra und macht eine Aussage über den Zusammenhang der Koeffizienten p und q der quadratischen Gleichung.

$x^{2}+px+q=0$

und deren Lösungen (Wurzeln) $x_{1}$ und $x_{2}$. Er besagt:

${\begin{array}{r c l}p&=&-(x_{1}+x_{2})\\q&=&x_{1}\cdot x_{2}\end{array}}$

Dies ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

$x^{2}+px+q=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=x^{2}-(x_{1}+x_{2})\cdot x+x_{1}\cdot x_{2}.$

Beispiele

Für den Satz gibt es drei wichtige Anwendungen:

• 1. Es lassen sich damit quadratische ergänzungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Beispielsweise lautet eine p-Q formelGleichung zu den Lösungen 2 und 3: $x^{2}-5x+6=0$.

• 2. Es lassen sich Gleichungssysteme der Form

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\begin{array}“): {\displaystyle \begin{array}{r c l } x+9+y=99 # the end \end{array}}

lösen. Beispielsweise sind die Lösungen $x$ und $y$ des Systems $x+y=-(-5),x\cdot y=6$ die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung $z^{2}-5z+6=0$. Nach der Lösungsformel ergibt sich $x=2$, $y=3$ oder $x=3$, $y=2$.

• 3. Der Satz kann helfen, die Lösungen durch Probieren zu bestimmen: Ist die quadratische Gleichung

$x^{2}-7x+10=0$

gegeben, dann muss für die Nullstellen $x_{1}$, $x_{2}$ gelten:

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-(-7)=7\\x_{1}\cdot x_{2}&=10\end{aligned}}$

Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, deren Summe 7 ist. Mit etwas Probieren findet man die Nullstellen 2 und 5, da $2+5=7$ und $2\cdot 5=10$ ist.

Verallgemeinerung

Der Satz von Viëta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Viëta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von n Linearfaktoren darstellen:

$P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots {}+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})\dots {}(x-x_{n}).$

x₁, x₂, …, x_n sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten a₀, a₁,… reell sind, können die Nullstellen komplex sein. Nicht alle x_i müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Viëta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

$a_{n-j}=(-1)^{j}\sigma _{j},\quad j=0,\dots ,n\quad$

wobei

$\sigma _{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}X_{i_{1}}\cdots X_{i_{k}}$

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in $x_{1}$ bis $x_{n}$ sind. Für ein Polynom vierten Grades

$P(x)=x^{4}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})$

ergibt sich:

${\begin{array}{r c l c l}-a_{3}&=&\sigma _{1}&=&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\\a_{2}&=&\sigma _{2}&=&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\\-a_{1}&=&\sigma _{3}&=&x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}\\a_{0}&=&\sigma _{4}&=&x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\end{array}}$

Eine wichtige Anwendung des Satzes für n=2 und n=3 in der Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung und der Gleichung 4. Grades auf eine kubische Gleichung, der sog. kubischen Resolvente.

Allgemein gilt der Wurzelsatz von Viëta auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, solange diese nur algebraisch abgeschlossen sind.

Literatur

• Walter Gellert: Lexikon der Mathematik. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990, S.578, 200.

Weblinks

• Lösen von quadratischen Gleichungen mit dem Satz von Viëta