Gradientenfeld

Beispiele von Potentialen und deren Gradientenfeldern in der Physik. Skalarfelder (Potentiale) (gelb): V_G - Gravitationspotential; W_pot - potentielle Energie; V_C - Coulomb-Potential; Vektorfelder (Gradientenfelder) (cyan): a_G - Gravitationsbeschleunigung; F - Kraft; E - elektrische Feldstärke

Ein Gradientenfeld ist ein aus einem skalaren Potential (siehe nebenstehende Abb. oben) durch Differentiation nach dem Ort abgeleitetes Vektorfeld (in nebenstehender Abb. unten) bzw. – kürzer formuliert – der Gradient eines Skalarfelds.

Zur besseren Abgrenzung zwischen dem Gradienten als mathematischem Operator und dem Resultat seiner Anwendung bezeichnet man die Vektoren, aus denen sich Gradientenfelder zusammensetzen, in manchen Quellen auch als Gradientvektoren.

Definition und Eigenschaften

Ein Vektorfeld ${\vec {r}}\mapsto {\vec {F}}({\vec {r}})$ ist genau dann ein Gradientenfeld, wenn es zu ihm ein Skalarfeld ${\vec {r}}\mapsto \Phi ({\vec {r}})$ gibt, so dass gilt:

${\vec {F}}({\vec {r}})={\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})$

$\Phi \$ wird dabei oft das zugehörige „Potentialfeld“ des Gradientenfelds ${\vec {F}}$ genannt, nicht zu verwechseln mit dem physikalischen Begriff des „Potentials“, mit dem dort die Fähigkeit eines konservativen Kraftfelds bezeichnet wird, einen dem Feld ausgesetzten Körper eine Arbeit verrichten zu lassen (so dass zwar jedes physikalische Potential auch mathematisch gesehen ein Potentialfeld ist, dagegen nicht umgekehrt auch jedes Potentialfeld, z.B. das der potentiellen Energie, ein Potential im Sinne der Physik).

Gradientenfelder zeichnen sich durch folgenden Eigenschaften aus:

1. Kurvenintegrale sind wegunabhängig, nur die Anfangs- und Endposition sind relevant.
2. Daraus folgt, dass alle geschlossenen Kurvenintegrale verschwinden.
3. Gradientenfelder sind rotationsfrei (wirbelfrei).

Handelt es sich bei dem zugrundeliegenden skalaren Feld um ein Potentialfeld im physikalischen Sinne, beschreibt es also ein tatsächliches physikalisches Arbeitsvermögen, besitzt das daraus abgeleitete Gradientenfeld (dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend) stets das der Zunahme von ${\vec {r}}$ entgegengesetzte Vorzeichen, bei skalaren Feldern dagegen, die sich nur mathematisch wie Potentialfelder verhalten (s.o.), etwa dem Strömungs- oder Geschwindigkeitspotential, nicht notwendigerweise – da das Geschwindigkeitspotential in diesem Fall keine potentielle Energie repräsentiert, ist das Vorzeichen seines Gradienten undefiniert und wird gewöhnlich positiv gewählt:

Kraft - Potentielle Energie: $\quad {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}W_{pot}({\vec {r}})$

Elektrische Feldstärke - Coulomb-Potential: ${\vec {E}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{C}({\vec {r}})$

Gravitationsbeschleunigung - Gravitationspotential: ${\vec {a}}_{G}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V_{G}({\vec {r}})$

aber

Geschwindigkeit - Geschwindigkeitspotential: ${\vec {v}}({\vec {r}})=+{\vec {\nabla }}\Phi ({\vec {r}})$

Integrabilitätsbedingung

Ist $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene und einfach zusammenhängende (zum Beispiel sternförmige) Menge und $F\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ stetig differenzierbar, so ist $F$ genau dann ein Gradientenfeld, wenn die Integrabilitätsbedingung

${\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(x)={\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(x)\quad \forall \,i,j\in \{1\dots n\}$

auf $U$ erfüllt ist.

Im Zwei- und Dreidimensionalen lautet die Integrabilitätsbedingung:

• im $\mathbb {R} ^{2}$ lautet die Bedingung ${\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}$
• und im $\mathbb {R} ^{3}$ lautet sie ${\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}},\ {\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}={\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}$
  Äquivalent dazu ist die Bedingung $\operatorname {rot} (F)=0$.

Auf Gebieten, die nicht einfach zusammenhängend sind, ist die Integrabilitätsbedingung zwar notwendig, aber im Allgemeinen nicht hinreichend.

Siehe auch

• Konservative Kraft
• Gradient