Cahen-Konstante

Die Cahen-Konstante ist eine mathematische Konstante, die nach Eugène Cahen benannt wurde. Sie ist eine Transzendente Zahl und kann als Grenzwert einer alternierenden Reihe von Stammbrüchen gesehen werden.

Reihendarstellung

Die Nenner der Stammbrüche leiten sich von den Folgengliedern der Sylvester-Folge $(s_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ ab. Mit dieser Folge ist die Cahen-Konstante durch

$C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.64341054629$

definiert. Aufgrund des Leibniz-Kriteriums ist die konvergenz der Reihe gesichert. Nach Zusammenfassen von jeweils zwei Gliedern der Reihe erhält man eine Reihe

$C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots ,$:

deren Glieder nur aus positiven Stammbrüchen bestehen.

Literatur

• Cahen, Eugène: Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues. In: Nouvelles Annales de Mathématiques 10. 1891. 

• Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O.: In: Monatshefte für Mathematik 111. 1991, doi:10.1007/BF01332350. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Cahen's Constant. In: MathWorld (englisch).

• The Cahen constant to 4000 digits

[Kategorie:Zahl]]