Grenzwert (Funktion)

In der Mathematik bezeichnet der Limes einen Grenzwert, der aber nie erreicht werden muss. Stattdessen kommt man immer näher an den angegebenen Wert heran. Die Notation für den Grenzwert einer Funktion f(x), wenn x gegen den Wert a strebt, lautet folgendermassen:

$\lim _{x\to a}f(x)$

Hier kommt die Variable x mit ihrem Wert beliebig nah an a heran, muss diesen Wert aber nicht erreichen (z.B. dann nicht, wenn sonst in f durch 0 geteilt würde). Die Limesbildung ist wesentlich für die Infinitesimalrechnung.

Praktisches Beispiel

Wenn man bei der Funktion y = f(x) = 1/x den x-Wert immer größer werden lässt, dann strebt y immer weiter gegen Null.

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$

Bei den folgenden beiden Beispielen ist zu unterscheiden, ob der Grenzwert von oben oder von unten gebildet wird:

$\lim _{x\downarrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\searrow 0}{\frac {1}{x}}=\infty$
$\lim _{x\uparrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty \qquad {\mbox{alternativ}}\qquad \lim _{x\nearrow 0}{\frac {1}{x}}=-\infty$

Limes einer Folge

Formal ist eine Zahl a der Limes einer Folge (a_n),

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$

• wenn a die kleinste Zahl ist, die von der Folge bei Annäherung von kleineren Werten her nicht erreicht wird
• wenn a die größte Zahl ist, die von der Folge bei Annäherung von oben nicht erreicht wird.