Diskussion:Divergenz eines Vektorfeldes

Schreibweise

Paddy, was meinst du mit der Schreibweise

${\vec {F}}\rightarrow \operatorname {div} {\vec {F}}\qquad \left(\mathbb {R} ^{n}\right)\rightarrow \left[\mathbb {R} \right]$

Was ist $\left[\mathbb {R} \right]$? --SirJective 14:51, 19. Feb 2004 (CET)

Habe ich verbessert. --Paddy 15:02, 19. Feb 2004 (CET)

Gut, lassen wir die Erklärung, was die Vektorform von Nabla ist, weg. Welche der Schreibweisen $\nabla \cdot F$ oder ${\vec {\nabla }}\cdot F$ sollten wir verwenden? Das eine ist doch anscheinend direkt der Gradient-Operator, und das andere ein Vektor, der als formaler Differentialoperator auftritt? --SirJective 14:51, 19. Feb 2004 (CET)

$\nabla {\vec {F}}$ und $\nabla \varphi$ denn nabla macht immer dasselbe d\d_r nur einmal bei einem Vektor- und einmal bei einem Skalarfeld? --Paddy 15:02, 19. Feb 2004 (CET)

Also im Bronstein gibt es keine Vektorpfeile über dem Nablaoperator. Vektoren werden fett und mit Pfeil darüber geschrieben (Finde ich persönlich doppelt gemoppelt). Eine bessere Idee habe ich auch nicht. Vektoren ausschließlich dadurch zu kennzeichnen, daß sie fett sind finde ich mager. In Wikipedia:TeX gibt es einen Vektorpfeil. Da sollte man von Gebrauch machen. --Paddy 15:48, 19. Feb 2004 (CET)

Siehe den Artikel Nabla-Operator: Dort wird zwischen dem Differentialoperator $\nabla$ alias grad und dem formalen Vektor ${\vec {\nabla }}$ unterschieden. Ich meine nicht den Unterschied zwischen dem Skalarfeld φ und dem Vektorfeld ${\vec {F}}$. Wenn diese Unterscheidung des Nabla-Operators nicht allgemein ueblich ist (mir persoenlich ist sie wurscht, ich weiss was gemeint ist), dann sollte man auch den Nabla-Artikel ueberarbeiten.

Als Mathematik-Student markiere ich Vektoren gar nicht. Wenn v ein Vektor ist, dann ist die Eigenschaft, Vektor zu sein, durch diese Forderung genannt. Daher bin ich mit fast jeder zusaetzlichen Auszeichnung einverstanden. Aber ich stimme dir zu, dass "fett und Pfeil" zuviel ist. Die Diskussion dazu findet in Diskussion:Vektor (Mathematik) statt (ohne mich). --SirJective 16:14, 20. Feb 2004 (CET)

Gibt es denn den formalen Differentialoperator und einen formalen Vektor? Nabla ist für mich lediglich ein Formaler Differentialoperator und es ist ein symbolischer Vektor. Also kein Vektor an sich. Was soll ${\vec {\nabla }}$ denn bedeuten? Das der Nablaoperator ein Vektor ist?! --Paddy 16:47, 20. Feb 2004 (CET)

Man kann den Nabla schon als Vektor verstehen: ${\vec {\nabla }}=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},{\frac {\partial }{\partial x_{3}}})$

Diesen kann man dann nämlich auch ganz formal mit einem Skalar oder Vektor (skalar) multiplizieren oder ein Kreuzprodukt bilden. Zum Beispiel:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}({\vec {r}})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\\F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{vmatrix}}$ (nicht signierter Beitrag von 89.54.142.214 (Diskussion) 17:36, 1. Jun. 2007 (CEST))

Ihr solltet erklären, was ihr mit C^\infty meint. -- 1of3 22:57, 8. Feb. 2007 (CET)

Umkehrung

Die Divergenz macht aus einem Vektorfeld ein Skalarfeld.

Der Gradient macht aus einem Skalarfeld ein Vektorfeld.

Kann man also sagen, dass die Divergenz die Umkehrung des Gradienten ist? Danke, --Abdull 02:05, 17. Apr 2005 (CEST)

Nein, die Operatoren Gradient und Divergenz sind keine Umkehrungen.

Andernfalls müßte für den Laplace-Operator Folgendes gelten.

$\Delta f=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=f$

Allerdings kann man mit Hilfe von Differentialformen den Differentialoperator $-\operatorname {div}$ als Dualoperator von $\operatorname {grad}$ ansehen.

--V4len 13:45, 7. Mai 2006 (CEST)

Folgen und Reihen?

Meiner Meinung nach sollte auf hier auch auf die Divergenz von Folgen und Reihen eingegangen werden. In dem Artikel Konvergenz geht das eher unter.Bostich 20:16, 25. Okt 2005 (CEST)

Besser, er geht dort unter als hier ;-). Aber Scherz beiseite, man kann ihn ja dort aufwerten. Habe dazu eben einen kleinen Anfang gemacht. Thematisch passt es ja auch viel besser dort hin, und man muss hier nicht das alles wiederholen, was zu Konvergenz und Divergenz gemeinsam zu sagen ist. --Wolfgangbeyer 20:56, 25. Okt 2005 (CEST)

r oder rho

Habe in der divF formel für Zylinderkoodrinaten mal die formel

• $\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho F_{\rho })+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

in

• $\operatorname {div} \,{\vec {F}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(\rho F_{r})+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

oder heißt der radius neurdings $\rho$? Sorry wenn ich irgednwas übersehen habe, aber laut bronstein und meiner logik befindet sich ein r in der formel und kein $\rho$.

Greetz (nicht signierter Beitrag von 87.123.196.210 (Diskussion) 14:57, 23. Nov. 2006 (CET))

Nun, Variablennamen sind Schall und Rauch, aber so ist es sicher falsch, da hier jetzt 4 Koordinaten (r, rho, phi, z) auftauchen. In der Tat verwendet der Bronstein rho, phi und z als Koordinaten. --85 ^[?!] 15:27, 23. Nov. 2006 (CET)

nur für schlaue

jeder komplizierte pups ist zu finden. aber wehe man sucht mal nach "unbestimmt divergent", dann fühlt man sich wie zwischen neandertalern. 88.70.69.204 16:31, 27. Jan. 2008 (CET)

Wenn man aufmerksam die Kopfzeile des Artikels betrachtet, wird man feststellen, dass Grenzwerte von Folgen hier nicht behandelt werden. Wenn Du dem Link folgst, sollstest Du fündig werden. --V4len 21:09, 30. Apr. 2008 (CEST)

Spur des totalen Differentials

Am 25. Januar wurde der Beitrag entfernt, dass man die Divergenz als Spur des Differentialoperators verstehen kann. Aus mathematischer Sicht finde ich den Zusammenhang sehr interessant. Was sagen die Anderen dazu. Sollte man diesen Zusatz wieder einbringen? --V4len 21:05, 30. Apr. 2008 (CEST)

Abschnitt Div-1

Der Abschnitt ergibt mathematisch für mich keinen Sinn (siehe auch hier und hier, wo der analoge Abschnitt aus dem Artikel Rotation gelöscht wurde). Daher habe ich den Abschnitt durch einen mathematisch korrekteren ersetzt. --Sabata 22:58, 21. Sep. 2008 (CEST)

Definition Divergenz

Für die Definition der Divergenz ist es nicht nötig, dass der Funtionenraum $C^{\infty }$ ist, sondern $C^{1}$ ist ausreichend! (nicht signierter Beitrag von 132.230.80.211 (Diskussion | Beiträge) 14:36, 11. Dez. 2009 (CET))

Divergenz auf Mannigfaltigkeiten

Im Artikel Verallgemeinerter Laplace-Operator wird Divergenz nach hierher verlinkt. Dort ist aber die Divergenz auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit gemeint, die hier nicht behandelt wird. Man sollte sie also ergänzen. -- Digamma 17:59, 6. Nov. 2010 (CET)

Divergenz auf Tensor

Hallo, ich bin neu hier und meine doch einen Fehler gefunden zu haben. Im Abschnitt "Divergenz auf Tensor" wird Nabla * Matrix ausgerechnet. Der Nabla- Operator wird dabei als "Spaltenvektor" bezeichnet.

Meiner Ansicht nach müsste Nabla als Zeilenvektor mit dem Tensor multipliziert werden (Sonst ist die Matrixmultiplikation gar nicht definiert.) Und das anschließende Invertieren ist auch falsch. (nicht signierter Beitrag von 188.103.150.92 (Diskussion) 23:16, 8. Jan. 2011 (CET))

Ich verstehe den Abschnitt auch nicht so ganz. Warum haben die Einträge des Tensorfelds nur zwei Indizes, also warum wird hier der Spezialfall des matrixwertigen Feldes abgehandelt? Ich schlage vor, diesen Abschnitt komplett umzubauen und die Divergenz auf einem Vektorfeld zu erklären. Das würde sowohl Dein Problem lösen und das Problem von Diagamma im Abschnitt darüber. --Christian1985 (Diskussion) 13:38, 9. Jan. 2011 (CET)

Zumindest werde ich mal die zweite Gleichung ändern. Wenn man die erste Gleichung mit den beiden Summen ausrechnet, kommt man auf das Produkt des transponierten (nicht invertierten) Tensors mit dem Nabla-Operator (als Spaltenvektor). In der Literatur (zumindest in Ingenieurwissenschaften) wird anscheinend oft »Nabla mal Tensor« geschrieben. Das halte ich für formal ziemlich unsauber (weil eigentlich nicht definiert, es sei denn, irgendetwas ist an mir vorbeigegangen, kann man ja nicht ausschließen), sollte aber vielleicht trotzdem erwähnt werden, weil es wie gesagt häufig anzutreffen ist. --E.Hager 18:49, 3. Mär. 2011 (CET)

Das: "$T^{T}\cdot {\vec {\nabla }}$" kann eigentlich nicht sein. Denn hier wirkt der Nabla-Operator ja gar nicht auf T. Damit Nabla auf T wirkt, muss T hinter Nabla stehen. -- Digamma 20:09, 3. Mär. 2011 (CET)

Ja, das hab ich mir so ähnlich gedacht, als ich über das divT nachgedacht hab. Andererseits kann man den Nabla-Operator auch als Vektor auffassen (oder?). Davor stand dort $\left({\vec {\nabla }}\cdot T\right)^{T}$. Das interpretiere ich als $T^{T}\cdot {\vec {\nabla }}^{T}$. Vielleicht muß man einsehen, daß die Schreibweise mit Nabla-Operator gar nicht funktioniert. Aber im Artikel zum Nabla-Operator steht, daß dieser formal ein Vektor ist. Also müßte man erstmal die Frage klären, ob er das ist oder nicht. --E.Hager 21:42, 3. Mär. 2011 (CET)

Den Nabla-Operator gibt es ja mathematisch gar nicht, sondern nur als Schreibweise (das ist mit "formal" gemeint: der Form nach), nämlich als Spalten- oder Zeilenvektor, dessen Einträge die Differentialoperatoren ${\tfrac {\partial }{\partial x_{1}}},\dots ,{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}$ sind. Diesen Spalten- oder Zeilenvektor kann man dann nach den Regeln der Matrizenmultiplikation mit vektorwertigen Funktionen multiplizieren. Die dabei auftretenden Teil"produkte" ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}f_{j}$ sind aber keine Produkte. ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}f_{j}$ bedeutet, dass der Differentialoperator ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ auf die Funktion $f_{j}$ angewendet wird. Hingegen ist $f_{j}{\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ nur ein Produkt, dessen Ergebnis wieder ein Differentialoperator ist. -- Digamma 22:15, 3. Mär. 2011 (CET)

Ich mache Deine Änderung rückgängig. Auch die Formulierung mit der Matrix stimmt nicht. Bei der Divergenz wird ja über die partiellen Ableitungen summiert. -- Digamma 11:14, 4. Mär. 2011 (CET)

Was meinst Du damit? --E.Hager 12:03, 4. Mär. 2011 (CET)

Was verstehst Du daran nicht? Wenn die Definition, die darüber steht (bzw. bisher stand)

$\operatorname {div} \,T=\sum _{j}^{}\,\left(\sum _{i}^{}{\frac {\partial {\,t_{ij}}}{\partial x_{i}}}\right)\,{\vec {e_{j}}}$

stimmt, dann muss es richtig

$\operatorname {div} \,{T}={\begin{pmatrix}\partial _{x_{1}}t_{1,1}+\partial _{x_{2}}t_{2,1}+\dots +\partial _{x_{n}}t_{n,1}\\\partial _{x_{1}}t_{1,2}+\partial _{x_{2}}t_{2,2}+\dots +\partial _{x_{n}}t_{n,2}\\\vdots \\\partial _{x_{1}}t_{1,m}+\partial _{x_{2}}t_{2,m}+\dots +\partial _{x_{n}}t_{n,m}\\\end{pmatrix}},~\partial _{x_{i}}t_{i,j}={\frac {\partial {\,t_{ij}}}{\partial x_{i}}}$

heißen. Die Divergenz eines Tensors 2-ter Stufe ist ein Tensor erster Stufe, also ein Vektor. -- Digamma 14:23, 4. Mär. 2011 (CET)

Stimmt. Das hab ich hier auf meinem Schmierzettel auch so stehen. Für den Artikel hab ich eine Matrix aus einem anderen Artikel kopiert und das Summieren vergessen. Übrigens: Heißt es wirklich Tensor n-ter Stufe? Oder n-ter Ordnung? --E.Hager 15:56, 4. Mär. 2011 (CET)

Da bin ich mir nicht sicher. Im Artikel Tensor wird beides verwendet. -- Digamma 16:21, 4. Mär. 2011 (CET)

Ich lösche den gesamten Abschnitt über die Divergenz von Tensoren. Aus der Diskussion hier ergibt sich, dass er fehlerhaft und lückenhaft ist. Wenn sich jemand damit auskennt, kann er ja einen neuen Abschnitt dazu schreiben, bzw. den alten überarbeiten. In dieser Form ist der Abschnitt aber schlechter, als wenn da gar nichts steht. -- Digamma 11:19, 4. Mär. 2011 (CET)

Ja, das glaub ich auch. Ich brauche aber eine Definition. Da werde ich mich wohl auf die Suche machen müssen. --E.Hager 12:03, 4. Mär. 2011 (CET)

Ich denke, man muss auf jeden Fall sagen, bezüglich welches Index man die Divergenz bildet. In der bisherigen Definition im Artikel ist das der erste, aber das muss m.E. nicht unbedingt so sein. Kannst Du einen Kontext angeben, wo die Divergenz eines Tensors vorkommt? -- Digamma 14:23, 4. Mär. 2011 (CET)

Ja: Wenn man ein (quaderförmiges) Fluidvolumen betrachtet, kann man einen Spannungstensor definieren:

$\tau ={\begin{pmatrix}\tau _{11}&\tau _{12}&\tau _{13}\\\tau _{21}&\tau _{22}&\tau _{23}\\\tau _{31}&\tau _{32}&\tau _{33}\\\end{pmatrix}}$

Die Elemente der Hauptdiagonale sind Normalspannungen an den Seitenflächen des Quaders, die übrigen Elemente sind Schubspannungen, also parallel zu den Quaderoberflächen. Um die Oberflächenkräfte zu berechnen, muß man diesen Tensor über die Oberfläche des Fluidvolumens integrieren. Wegen der Impulserhaltung ist die zeitliche Ableitung des Impulses des Fluidvolumens gleich der Summe der auf das Volumen einwirkenden Kräfte. Das läßt sich mit Reynolds-Transport-Theorem und Integralsatz von Gauß so darstellen, daß darin die Divergenz dieses Spannungstensors vorkommt. Um das hier ausführlicher hinzuschreiben fehlt mir im Moment die Zeit. In der Literatur, die ich hier habe und in der das vorkommt, wird die Divergenz eines Tensors aber nicht definiert. Sie wird eigentlich nur erwähnt. Zumindest soweit wie ich bis jetzt gelesen habe.

Deinen Einwand mit dem Index verstehe ich gerade nicht ganz.

PS: Ach so, Du meinst, daß man hier

$\operatorname {div} \,T=\sum _{j}^{}\,\left(\sum _{i}^{}{\frac {\partial {\,t_{ij}}}{\partial x_{i}}}\right)\,{\vec {e_{j}}}$

nach $x_{i}$ ableitet? Daß man also die Divergenzen der einzelnen Tensorspalten statt -zeilen bildet? --E.Hager 15:56, 4. Mär. 2011 (CET)

Ja, genau. Bei symmetrischen Tensoren spielt das natürlich keine Rolle. -- Digamma 16:21, 4. Mär. 2011 (CET)

Ich habe inzwischen etwas gefunden, was in die Richtung einer Definition der Divergenz eines Tensors geht:

${\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}=\nabla \cdot \tau ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \tau _{11}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \tau _{12}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \tau _{13}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial \tau _{21}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \tau _{22}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \tau _{23}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial \tau _{31}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \tau _{32}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial \tau _{33}}{\partial x_{3}}}\\\end{pmatrix}}$

Das nutzt die Einsteinsche Summenkonvention (glaub ich) und ist stellt eine andere Definition dar als das, was weiter oben (bei E.Hager 15:56, 4. Mär. 2011 (CET) oder auch bei Digamma 14:23, 4. Mär. 2011 (CET)) steht. Was hier steht, ist sozusagen $\tau \cdot \nabla$. Weiter oben steht $\tau ^{T}\cdot \nabla$. Salopp ausgedrückt. In dem Skript, aus dem ich das habe, steht aber, daß der Tensor symmetrisch ist, macht also keinen Unterschied. Da ich das Skript generell für hemdsärmlig geschrieben halte, bin ich mir jetzt nicht ganz sicher, ob man darauf vertrauen kann, daß die Indizes stimmen. Vielleicht hat sich der Autor gedacht, daß das bei symmetrischen Tensoren egal ist. Ich finde die Schreibweise „Nabla mal Matrix“ nach wie vor blöd. --E.Hager 22:38, 10. Mär. 2011 (CET)

Das Problem ist: Von der Matrizmultiplikation her sollte es wohl $\tau \cdot \nabla$ heißen. Aber: In diesem Fall werden die Komponenten von $\tau$ mit den Komponenten von $\nabla$ nur multipliziert: $t_{ij}\cdot {\tfrac {\partial }{\partial x_{j}}}$. Die Differentialoperatoren ${\tfrac {\partial }{\partial x_{j}}}$ sollen aber auf die $t_{ij}$ angewendet werden: ${\tfrac {\partial }{\partial x_{j}}}t_{ij}$. Dazu muss das $\nabla$ aber vor dem $\tau$ stehen. -- Digamma 11:01, 11. Mär. 2011 (CET)

Jüngste Änderungen vom 29. Januar 2011

Die Aussage Interpretiert man das Vektorfeld als Strömungsfeld, so gibt die Divergenz für jede Stelle an, wieviel mehr aus dieser Stelle hinausfließt als in sie hineinfließt. ist irreführend. Die Menge, die in einen einzelnen Punkt hinein- oder aus ihm herausfließt, ist immer Null. Eine Quelle oder Senke ist immer ein Bereich mit positivem Maß, auf dem die Divergenz positiv bzw. negativ ist. Erst das Integral über die Divergenz gibt an, wie viel aus diesem Bereich heraus- bzw. in ihn hineinfließt. Insofern war die frühere Formulierung mit "Nähe" richtiger. -- Digamma 11:32, 30. Jan. 2011 (CET)