Determinante

In der Linearen Algebra ist die Determinante eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet. Zum Beispiel hat die 2×2-Matrix

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

die Determinante

$\det(A)=ad-bc$.

Die Formel für größere Matrizen wird weiter unten angegeben.

Die Determinante von A wird machmal als |A| geschrieben, jedoch sollte diese Notation vermieden werden, da sie auch dazu verwendet wird, andere Matrix-Funktionen zu bezeichnen, wie z.B. die Quadratwurzel aus AA^*.

Geschichte und Anwendungen

Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems. Die Determinante "determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Determinanten werden benutzt, um invertierbare Matrizen zu charakterisieren und um die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit auszudrücken. Sie können verwendet werden, um die Eigenwerte der Matrix A als Nullstellen des charakteristischen Polynoms p(x) = det(A-xI_n) zu ermitteln.

Man bildet die Determinante von n Vektoren im Rⁿ, indem man die Determinante der quadratischen Matrix berechnet, deren Spalten die gegebenen Vektoren sind. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der Determinante einer Basis dazu verwendet werden, den Begriff der Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren.

Determinanten werden zur Berechnung von Volumen in der Vektorrechnung verwendet: der Absolutbetrag der Determinante von reellen Vektoren ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds, das durch diese Vektoren aufgespannt wird. Eine Folgerung ist: Wird die lineare Abbildung f : Rⁿ -> Rⁿ durch die Matrix A repräsentiert, und ist S eine beliebige messbare Teilmenge des Rⁿ, dann ist das Volumen von f(S) durch |det(A)| · Volumen(S) gegeben. Allgemeiner gilt: Wird die lineare Abbildung f : Rⁿ -> R^m durch die m-mal-n Matrix A repräsentiert, und ist S eine beliebige messbare Teilmenge von Rⁿ, so ist das n-dimensionale Volumen von f(S) gegeben durch √(det(A^TA)) · Volumen(S).

Bedeutung der Determinante für lineare Gleichungssysteme

Der folgende Abschnitt erläutert anschaulich, welche Bedeutung die Determinante einer Matrix für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems (LGS) hat.

Gegeben sei folgende Gleichung:

a · x = b

x ist die unbekannte Variable, a und b sind reellen Zahlen.

Möchte man nun x berechnen, so löst man die Gleichung über Äquivalenzumformungen nach x auf. Es entsteht folgende Formel:

x = b / a

Dabei muss man aber beachten: Durch Null kann man nicht teilen. Also muß a ungleich Null sein, damit die Gleichung auf diese Weise lösbar ist. Im Fall dass a und b beide gleich Null sind, ist jede reelle Zahl x eine Lösung. Ist a gleich Null und b ungleich Null, dann hat die Gleichung a·x=b keine Lösung.

In der linearen Algebra rechnet man mit Matrizen und Vektoren. Sei A eine quadratische Matrix und b ein Vektor mit genausovielen Zeilen wie A. Man kann nun die folgende Gleichung aufstellen:

A · x = b

Dabei ist · eine Matrix-Vektor-Multiplikation (siehe Matrix) und x ist ein unbekannter (gesuchter) Vektor. Schreibt man dieses Produkt aus, erkennt man, dass es eigentlich mehrere Gleichungen sind, es handelt sich also um ein lineares Gleichungssystem.

Rein formal könnte man die Lösung in derselben Form aufschreiben wie oben:

"x = b / A"

Es wird also der "Vektor b durch die Matrix A geteilt". So einfach wie mit reellen Zahlen ist das jedoch nicht, denn wie teilt man durch eine Matrix? In der Regel ermittelt man die Lösung daher mit dem Gauß-Algorithmus. Jedoch gibt es auch hier nicht immer eine eindeutige Lösung: Die Null-Matrix ist mit Sicherheit eine der Matrizen, die die Gleichung unlösbar machen oder zu unendlich vielen Lösungen führt (wenn b=0 ist). Gibt es aber auch andere Matrizen, für die die Gleichung keine eindeutige Lösung hat?

Um diese Frage zu beantworten, hilft die Determinante. Die Determinante einer Matrix mit reellen Einträgen ist eine reelle Zahl. Ist diese Zahl gleich Null, so ist eine eindeutige Lösung ausgeschlossen, da man den Vektor b durch "Null" teilen müßte. Dies ist aber nicht möglich, und so liefert der Gauß-Algorithmus in dem Fall entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Die Determinante gibt also Auskunft darüber, ob eine Gleichung eindeutig lösbar ist oder nicht.

Dazu gibt es nun gleichwertige Begriffe:

Ist det(A) = 0, dann heißt die Matrix A singulär, sie ist dann nicht invertierbar und die Gleichung Ax = b ist nicht eindeutig lösbar.

Man kann die Lösung eines linearen Gleichungssystems auch über eine Eigenwert- und Eigenvektorzerlegung erreichen. Im englischen ist diese unter Singular Value Decomposition bekannt. Sie liefert bei numerischer Lösung des Systems (z.B. im Computer) in bestimmten Fällen genauere Ergebnisse als der Gauß-Algorithmus.

Definition und Berechnung

Sei A = (A_i,j) eine quadratische Matrix.

1×1 bis 3×3-Determinanten

Falls A eine 1×1-Matrix ist, dann ist

det(A) = A_1,1.

Falls A eine 2×2-Matrix ist, dann ist

det(A) = A_1,1 · A_2,2 - A_2,1 · A_1,2.

Für eine 3×3-Matrix A, ist die Formel komplizierter:

det(A) = A_1,1·A_2,2·A_3,3 + A_1,3·A_3,2·A_2,1 + A_1,2·A_2,3·A_3,1

- A_3,1·A_2,2·A_1,3 - A_1,1·A_2,3·A_3,2 - A_1,2·A_2,1·A_3,3

Diese Determinante lässt sich von Hand einfacher mit der Regel von Sarrus berechnen.

Allgemeine Formel

Für eine allgemeine n×n-Matrix wurde die Determinante von Gottfried Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel definiert:

$\det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}(\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)})$

Die Summe wird über alle Permutationen σ der Zahlen {1,...,n} berechnet und sgn(σ) bezeichnet das Vorzeichen der Permutation σ: +1, falls σ eine gerade Permutation ist und -1, falls sie ungerade ist.

Diese Formel enthält n! Summanden und ist somit unhandlich, falls n größer als 3 ist. Sie eignet sich jedoch zum Beweis von Aussagen über Determinanten.

Im Allgemeinen können Determinanten mit dem Gauß-Algorithmus berechnet werden, unter Verwendung der folgenden Regeln:

• Falls A eine "obere Dreiecksmatrix" ist, d.h. A_i,j = 0 für i > j (nur Nullen unterhalb der Hauptdiagonalen), dann ist

  det(A) = A_1,1 · A_2,2 · ... · A_n,n das Produkt der Hauptdiagonal-Einträge

• Falls B sich aus A ergibt, indem man 2 Zeilen oder Spalten austauscht, dann ist det(B) = - det(A)
• Falls B sich aus A ergibt, indem man eine Zeile oder Spalte mit der Zahl c multipliziert, dann ist det(B) = c · det(A)
• Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist det(B) = det(A).

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante mit der ersten Regel.

Es ist außerdem möglich, eine Determinante "nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln", indem man die Laplace-Formel benutzt, die für kleine Matrizen oder Matrizen mit vielen Nullen sehr effizient ist.

Entwicklung nach der i-ten Zeile. Es gilt

$\det(A)=\sum _{j=1}^{n}\ (-1)^{i+j}a_{ij}\det(A'_{ij})$

wobei A' _ij die (n-1)×(n-1)-Untermatrix ist, die aus A durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht (siehe komplementäre Matrix). Genau genommen gibt dieser Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Das kann aber nützlich sein, wenn die Matrix in einer Zeile oder Spalte viele Nullen enthält. zum Beispiel ist

${\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}}=0\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}-1\cdot {\begin{vmatrix}3&1\\1&0\end{vmatrix}}+2\cdot {\begin{vmatrix}3&2\\1&1\end{vmatrix}}=0+1+2=3$

Die durch den Faktor (-1)^i+j bewirkte Vorzeichenverteilung entspricht einem Schachbrettmuster.

Eigenschaften

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

det(AB) = det(A)det(B)     für alle n×n-Matrizen A und B.

Es ist einfach zu sehen, dass det(rI_n)=rⁿ und somit

det(rA) = rⁿ det(A)     für alle n×n Matrizen A und alle Skalare r.

Falls A invertierbar ist, dann ist

det(A^-1)=det(A)^-1.

Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante:

det(A) = det(A^T).

Falls A und B ähnlich sind, d.h. falls eine invertierbare Matrix X existiert, so dass A = X^-1BX, dann ist mit der Multiplikativität

det(A) = det(B).

Deswegen kann man die Determinante eine linearen Abbildung f : V -> V definieren (wobei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist), indem man eine Basis für V wählt, f als Matrix relativ zu dieser Basis beschreibt und die Determinante dieser Matrix nimmt. Das Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Basis.

Es gibt Matrizen, die die gleiche Determinante haben, aber nicht ähnlich sind.

Falls A eine quadratische $n\times n$ -Matrix mit reellen oder komplexen Werten ist und falls $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ die (komplexen) Eigenwerte von A sind, angeordnet nach ihren algebraischen Mehrfachheiten, dann ist

det(A) = $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \dots \cdot \lambda _{n}$.

Dies folgt aus der Tatsache, dass A immer ähnlich zu ihrer Jordan Form (oder Jordan-Normalform) ist, einer oberen Dreiecksmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen.

Aus der Verbindung zwischen der Determinanten und den Eigenwerten kann man eine Verbindung zwischen der Spurfunktion, der Exponentialfunktion und der Determinante ableiten:

det(exp(A)) = exp(tr(A)).

Ableitung

Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen ist eine Polynomfunktion von R^n×n nach R, und als solche überall differenzierbar. Ihre Ableitung kann mit Hilfe von Jacobi's Formel dargestellt werden:

d det(A) = tr(A^# dA)

wobei A^# die zu A komplementäre Matrix bezeichnet. Insbesondere ergibt sich für invertierbares A, dass

d det(A) = det(A) tr(A^-1 dA)

oder vereinfacht,

det(A + X) - det(A) ≈ det(A) tr(A^-1 X)

falls die Werte der Matrix X hinreichend klein sind. Der Spezialfall wenn A gleich der Einheitsmatrix I ist, ergibt

det(I + X) ≈ 1 + tr(X).

Verallgemeinerungen

Es macht Sinn, die Determinante für Matrizen zu definieren, deren Einträge in einem kommutativen Ring liegen. Die Regeln zu Berechnung, die Leibniz-Formel und die Kompatibilität mit der Matrix-Muliplikation bleiben gültig, mit der Ausnahme, dass nun eine Matrix A genau dann invertierbar ist, falls det(A) ein invertierbares Element des zugrundeliegenden Ringes ist.

Für manche Zwecke betrachtet man auch formale Determinanten, deren Einträge sowohl Skalare als auch Vektoren sind, z.B. bei der Definition eines verallgemeinerten Kreuzprodukts. Diese werden mit der Leibniz-Formel berechnet (natürlich dürfen dabei keine Vektoren miteinander multipliziert werden).

Man kann die Determinante wie folgt abstrakt als eine gewisse antisymmetrische multilineare Abbildung definieren: Falls R ein kommutativer Ring ist und M = Rⁿ der n-dimensionale freie R-Modul, dann ist

det: Mⁿ -> R

die eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

• det ist R-linear in jedem der n Argumente.
• det ist antisymmetrisch, d.h. falls zwei der n Argumente gleich sind, so ist die Determinante Null.
• det(e₁,..,e_n) = 1, wobei e_i das Element von M ist, das eine 1 als i-te Koordinate hat und sonst Nullen.

Lineare Algebraiker bevorzugen den Weg der multilineare Abbildung, um die Determinante zu definieren, wohingegen andere Algebraiker die Leibniz-Formel bevorzugen.