Rechtssystem (Mathematik)

Achsenorientierung und Drehsinn linkshändiger und rechtshändiger Koordinatensysteme

Als rechthändiges oder Rechtssystem wird in der Mathematik und Physik ein System zweier Vektoren in der Ebene bzw. dreier Vektoren im Raum, z.B. ${\vec {x}},{\vec {y}}$ und ${\vec {z}}$, bezeichnet, bei dem jeder dieser Vektoren aus seinem Vorgänger auf kürzestem Wege durch Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn, d.h. im mathematisch positiven Drehsinn, hervorgeht und seinerseits auf kürzestem Wege durch Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn in seinen Nachfolger überführt und z.B. bei einem Rechtssystem dreier Vektoren ihr Spatprodukt $({\vec {x}}\times {\vec {y}})\cdot {\vec {z}}$ ebenfalls positiv wird.

Für linkshändige bzw. Linkssysteme dagegen gilt das Umgekehrte: Jeder der drei Vektoren geht dabei nun durch Drehung im Uhrzeigersinn, d.h. mathematisch negativen Drehsinn auf kürzestem Weg aus seinem Vorgänger hervor, so wie er selbst seinerseits auf kürzestem Weg durch Drehung im Uhrzeigersinn in seinen jeweiligen Nachfolger überführt wird (gleiches gilt analog für ebene Systeme nur zweier Vektoren, z.B. ${\vec {x}}$ und ${\vec {y}}$).

Die Achsen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems bilden in seiner üblichen Achsenorientierung (z. B. x-Achse zum Betrachter, y-Achse nach rechts, z-Achse nach oben) ein Rechtssystem, das geodätische oder geografische Koordinatensystem dagegen, dem Drehsinn beim Kompass folgend, ein Linkssystem.

Die Drei-Finger-Regel am Beispiel

Ob drei Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden, lässt sich mit Hilfe folgender Regeln bestimmen:

• mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand (auch Rechte-Hand-Regel): Zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung des ersten Vektors und der ausgestreckte Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors, zeigt der rechtwinklig zu Daumen und Zeigefinger abgespreizte Mittelfinger bei einem Rechtssystem in Richtung des dritten Vektors (das funktioniert auch bei zyklischer Vertauschung der Finger oder Vektoren: x-y-z, y-z-x, z-x-y).
• mit der Korkenzieher- oder Schraubenregel: Wird der erste Vektor so gedreht, dass er dabei auf kürzestem Wege in den zweiten Vektor überführt wird, bewegt sich, sofern alle drei Vektoren ein Rechtssystem bilden, eine im gleichen Sinn gedrehte Schraube mit Rechtsgewinde (beim Festdrehen) in Richtung des dritten Vektors.

Fast alle praktisch verwendeten Schrauben besitzen Rechtsgewinde - solche mit Linksgewinde dagegen finden nur selten Anwendung, z.B. in Spannschlössern.

Siehe auch

• Drehrichtung
• Korkenzieherregel