Metamathematik
Metamathematik ist die mathematische Betrachtung der Grundlagen der Mathematik.
1920 stellte der Mathematiker David Hilbert die Forderung auf, die Mathematik auf die Grundlage eines vollständigen und widerspruchsfreien Axiomsystems zu stellen. Dieses Bestreben wurde als Hilberts Programm bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte er den Begriff Metamathematik (in Anlehnung an Metaphysik).
Das Hilbert Programm schien zu scheitern, seit der Gödelsche Unvollständigkeitssatz zeigte, dass es kein Axiomensystem gibt, welches allen Forderungen Hilberts entspricht.
Nach Widerspruchsfreiheitsbeweisen für Teile der Arithmetik durch Leopold Löwenheim, Albert Thoralf Skolem, Jacques Herbrand und Moritz Presburger gelang Gerhard Gentzen ein Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Peano-Arithmetik erster Stufe, wobei er allerdings die so genannte transfinite Induktion benutze.
Über die Entscheidbarkeit gab es wichtige Ergebnisse von Alonzo Church, der die Unentscheidbarkeit der Quantorenlogik aller Stufen zeigen konnte. Der Begriff der Rekursivität ist dem der Berechenbarkeit äquivalent.
Paul Lorenzen führte 1951 einen Widerspruchsfreiheitsbeweis für die verzweigte Typentheorie durch. Dieser Beweis liefert die Wf. von Teilen der klassischen Analysis. In seinem 1962 veröffentlichten Buch Metamathematik fasst er die Metamathematik als "Mathematik der Metatheorien" auf, wobei eine Metatheorie eine (konstruktive oder axiomatische) Theorie über axiomatische Theorien darstellt (S.13). Er formalisiert die klassische Arithmetik und liefert einen konstruktiven Widerspruchsfreiheitsbeweis durch Einbeziehung der unendlichen Induktion in den Gentzenschen Hauptsatz (Kapitel II).
Siehe auch
Beweistheorie Modelltheorie Hilbertprogramm Metalogik
Literatur
- David Hilbert/Paul Bernays: Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin/Heidelberg/New York 1968/1970²
- Paul Lorenzen: Die Widerspruchsfreiheit der klassischen Analysis, Mathematische Zeitung (54) 1951
- P. Lorenzen: Algebraische und Logische Untersuchungen über freie Verbände, The Journal of Sybmolic Logik (16) Providence 1951
- Stephen Cole Kleene: Introduction to Metamathematics, Amsterdam Groningen 1952
- K. Schütte: Beweistheorie, Berlin Göttingen Heidelberg 1960
- P. Lorenzen: Metamathematik, Mannheim 1962 1980²
- Wolfgang Stegmüller: Unvollständigkeit und Unendscheidbarkeit. Die metamathematischen Resultate von Gödel, Church, Kleene, Rosser und ihre erkenntnistheoretische Bedeutung, Wien/New York 1973³
- G. Wolters: Metamathematik, Artikel in: Mittelstraß(hrsg.) Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie 2 Mannheim Wien Zürich 1984