Primelement

Primelement ist die Verallgemeinerung des Begriffs der Primzahl auf kommutative unitäre Ringe.

Eine Nicht-Einheit c ≠ 0 eines kommutativen unitären Ringes (R,+,*,0,1) heißt ein Primelement, falls für alle Elemente a,b ∈ R gilt: Teilt c das Produkt a * b, so gilt: c teilt a oder c teilt b.

Als Formel

c ∈ R prim ⇔ c ≠ 0 ∧ c Nicht-Einheit ∧ ∀ a, b ∈ R: ( c | a * b ⇒ c | a ∨ c | b )

Primelemente sind also diejenigen Faktoren, die, wenn sie in einem Produkt vorkommen, auch in mindestens einem Faktor vorkommen.

Sätze über Primelemente

• Ist c ein Primelement und e eine Einheit, so ist c * e ebenfalls ein Primelement.
• Ist R ein Integritätsbereich, so ist jedes Primelement in R irreduzibel.
• Ist R ein faktorieller Ring, so ist jedes irreduzible Element auch prim, und jedes Element von R\{0} lässt sich bis auf Einheitsfaktoren (und Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primelementen darstellen.

Beispiele

• Die Primelemente im Ring der ganzen Zahlen sind genau die Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11, ...) und ihre Gegenzahlen (-2, -3, -5, -7, -11, ...).
• Einheiten sind per Definition keine Primelemente,
• 0 ist nie ein Primelement.
• Daher gibt es in einem Körper nie Primelemente.