Benutzer Diskussion:Digamma

Hallo und willkommen in der Wikipedia. Dies ist keine automatische Nachricht, sondern es gibt hier Personen, die sich um neue Benutzer kümmern. Sollte es also Fragen geben, so stehe ich gerne zur Verfügung. Zur Einführung empfiehlt sich das Tutorial und Wie schreibe ich gute Artikel. Viele Grüße, -- Anneke Wolf 12:08, 16. Dez. 2006 (CET)

Euklidischer Raum

Hallo Digamma, ich habe gerade deine erste Version einer neuen Einleitung gesehen. Ich bin begeistert. Sieht nach viel Arbeit aus.

Viel Spaß weiterhin, --Stefan Birkner 00:26, 13. Nov. 2007 (CET)

Algebraische Struktur

Hallo Digamma, dazu muss man die Gruppe wie folgt definieren: Sei G die Trägermenge der Gruppe. Wir definieren nun eine universelle Algebra vom Typ $(2,1,0,(1)_{g\in G})$ (das letzte soll bedeuten, dass wir für jedes Element der Gruppe eine einstellige Verknüpfung hinzufügen. Wir definieren $\alpha _{g}(x):=gxg^{-1}$ für jedes $g\in G$. Unsere Gruppe als universelle Algebra wird dann wie folgt aussehen $(G,\cdot ,^{-1},e,(\alpha _{g})_{g\in G})$. Es ist offensichtlich, dass man jede Gruppe so als universelle Algebra darstellen kann. Ebenso sieht man sofort, dass die Unteralgebren dieser Algebra nicht mehr Untergruppen im klassischen Sinne sind, sondern Normalteiler.

Gruss --Godfatherofpolka 09:14, 14. Nov. 2007 (CET)

Es stimmt, dass die Aussage in der aktuellen Form wohl mehr Fragen aufwirft als klärt. Ich fände es aber falsch, wenn man sie ganz weglassen würde, da dann der Eindruck entstehen könnte, Unterstrukturen von Gruppen seien immer Untergruppen. Denkst Du, man sollte sie mit Beispielen ergänzen oder hast Du eine bessere Idee? Wir könnten dann versuchen, den Artikel entsprechend zu verbessern. Gruss --Godfatherofpolka 09:20, 15. Nov. 2007 (CET)

Hallo Gigamma!

Vor einiger Zeit (genauer gesagt: am 3. November) hatte ich angekündigt, mich mal auf deiner Diskussionsseite zu melden. Damals werkelte ich gerade an Pol und Polare rum, hab mich über deine Begleitung (und dein Lob!) gefreut und gemeint, „eigentlich“ möchte ich ja was ganz anderes machen.

Was ich damit gemeint hatte, war Arbeit im Bereich Grundlagenfragen der Mathematik, denn „eigentlich“ ist das mein Fach, wenn ich da auch schon sehr lange raus bin. (Ich hab ich den 1960er/70ern bei Schütte in München studiert, und ein Semester auch bei Lorenzen in Erlangen.) Da finde ich es natürlich toll, auf jemanden zu stoßen, der auch „vom Fach“ ist.

Anfang November hatte ich gerade Grundlagen der Mathematik aus der Qualitätssicherung geholt und etwas daraus gemacht, was eigentlich nur eine Linksammlung ist, aber vielleicht sogar so bleiben könnte, wenn die Links, die da versammelt sind, vollständig und gut wären. m.E. fehlt's da aber sehr an Qualität – und, wie üblich, Lesbarkeit. Was mir vorschwebte: Ein „Projekt:Grundlagen der Mathematik“, wo man sich das alles mal sortiert und nach und nach vornimmt. Als einen möglichen Dritten im Kernteam hatte ich bei PaCo angefragt, auch Lorenzenschüler, aber wohl mindestens so sehr Philosoph wie Mathematiker (? – müsste man ihn mal fragen, wie er das sieht). PaCo hat sich sehr interessiert gezeigt, ist aber offenbar beruflich zu sehr eingespannt, um sein Interesse wirklich umzusetzen. – Ich selbst bin seit August pensioniert und kann also schon etwas mehr Zeit einsetzen.

Um gleich dicke Bretter zu bohren, habe ich mich dann an Philosophie der Mathematik gemacht, was m.E. der zentrale Artikel bei der Sache werden könnte – und bin sehr bald daran verzagt, obwohl ich gutes Material habe und zunächst meinte, daraus ließe sich leicht was zusammenbasteln. Im Grunde kann ich weder genug Englisch noch genug Philosophie. – So der Stand am 3. November.

Inzwischen habe ich mich in viel trivialeren Gefilden umgetan, bei Doppelverhältnis und Teilverhältnis, Pol und (ein wenig) projektive Geometrie; Fernelement steht immer noch in der Qualitätsicherung ;-) – du hast ja manches davon mitgekriegt. Nun bin ich mir nicht mehr so sicher, ob ich mich unbedingt in die Grundlagenfragen stürzen muss. Die Geometrie hat's auch nötig; schon Koordinatensystem ist doch eigentlich ein Jammer.

Was ich mir jedenfalls wünsche, ist ein etwas planvolleres Arbeiten in Absprache mit einigen fachkundigen Benutzern – zum Beispiel mit dir. Dass unsere Vorstellungen davon, was ein guter Artikel ist, nicht weit auseinander liegen, hat sich, glaube ich, inzwischen rausgestellt, am schönsten bei Youngsche Ungleichung (einschließlich der neuesten Diskussion mit Tolentino).

Ich bin gespannt auf deine Vorstellungen hierzu. -- Peter Steinberg 11:37, 29. Nov. 2007 (CET)

Sinusspannung

Ich möchte mich recht herzlich für Deine Verbesserung im Artikel Sinusspannung und insbesondere für die Beantwortung des Diskussionsbeitrages Diskussion:Sinusspannung#explizite Darstellung von Sinusspannungen bei Dir bedanken. Dein Profil, das fundierte theoretische Kenntnisse mit der Erfahrung verknüpft, diese auch (noch) nicht studierten Personen (Gymnasiasten) zu vermitteln, ist sicher wie geschaffen dafür. Eine solche Person, die das zustande bringt, hätte ich mir bei meiner Meisterausbildung gewünscht, um die vorhandenen praktischen Kenntnisse mit dem entsprechenden theoretischen Hintergrund zu verweben. Denn zumindest in der deutschen Bildungswelt arbeiten die theoretischen (Universität) und praktischen Bildungssysteme (Auszubildender, Meister etc) doch sehr isoliert voneinander. Zum Beispiel nutzt die theoretische Ausbildung im Bereich der Elektronik fast ausschließlich den 2*PI Vollkreis, während der Berufsausgebildete immer mit dem 360 Grad Vollkreis arbeitet. Es bleibt dem Einzelnen überlassen, die entsprechenden Verknüpfungen vorzunehmen. Auch hier zeigt sich eine großer Vorteil der Wikipedia, in der Personen aus beiden Zweigen erstmals aufeinanderprallen, wenn es darum geht, Sachverhalte zu beschreiben. Wengleich die für die Verwirklichung von Projekten sehr wichtigen und nützlichen Hinweise der Praktiker hier auf Wikipedia oft unerwünscht sind und häufig als persönliche Meinung oder "Gebrauchsanleitung" wieder gelöscht werden. Und zwar auch dann, wenn es verbreitet anerkanntes und genutztes Praktikerwissen ist. Bloß gibt es niemand, der diese einmal als Buch veröffentlicht hat, da sie nur schwierig ohne das Hantieren am "lebenden" Objekt vermittelbar sind. Sie sind eben "nur Volksgut" und werden von Generation zu Generation weiter gegeben. Und ohne die Angabe solcher nicht vorhandenen Quellen wird das Wissen von Personen aus der Praxis hier auf Wikipedia nicht einziehen dürfen. Leider! ---- Auf jeden Fall zeigen Deine Edits eines: Der sogenannte Wikipedia:Oma-Test hat seinen Sinn auch in Fachartikeln, was derzeit von einer erklecklichen Anzahl von Wikipedianern bestritten wird. Denn hier wurde aufgrund der Frage eines "OMA"-Users eine Verbesserung erreicht. -- 84.132.113.140 12:23, 7. Dez. 2007 (CET)

Herzlichsten Dank. --Digamma 18:27, 7. Dez. 2007 (CET)

Hundstage

Hallo, ich habe die Änderung von dir auf "Mythos" wieder revertiert. Das Unterscheidungsproblem Mythos-Mythe tritt leider häufig auf. Näheres hierzu siehe Mythe. Gruß--NebMaatRe 11:28, 3. Jan. 2008 (CET)

Ich habe es schon gesehen und inzwischen auch den Artikel zu Mythos-Mythe gelesen. Das Wort "Mythe" kannte ich bisher nicht. Ich hielt es für eine falsche Rückbildung aus "Mythen". Zumal Mythe ein Redirect auf Mythos ist. Gruß --Digamma 13:39, 3. Jan. 2008 (CET)

Palästinensische Autonomiegebiete

Hallo Digamma, ich hab dir geantwortet. --Diwas 18:34, 28. Feb. 2008 (CET)

Matrix

Tut mir Leid, wenn ich etwas schroff klinge. Lehrer sind hier selten, und jeder Zeit willkommen. Ehrlich gesagt, wundert es mich da etwas, dass Du/Sie diese Literatur nicht hatten. Also ich hatte damals auch meist nur Sekundärliteratur benutzt - nur Bücher die es überall gibt. Wenn ähnliche Fragen sind, kann ich bei zeiten meine alte Literaturliste dazu rauskramen. Das meiste ist vom Springer Verlag. Grüße --WissensDürster 21:26, 14. Mai 2010 (CEST)

Hallo WissensDürster,

bleiben wir doch wie hier üblich beim Du. Ich besitze sehr wenig eigene Literatur, an der Uni habe ich immer alles aus der Uni- oder Institutsbibliothek ausgeliehen. Deshalb habe ich auch kein Lehrbuch zur linearen Algebra. Ich frag ja nur, weil mir der Begriff "Dimension einer Matrix" nicht geläufig ist. Wenn Du Dir sicher bist, gebe ich mich damit zufrieden. Gruß, --Digamma 21:33, 14. Mai 2010 (CEST)

dreiecke mit drei eckpunkten auf einer geraden

gudn tach!
falls es dir entgangen sein sollte: kannst du noch mal auf talk:Dreieck#a_.2B_b_.3D_c_.3F.3F.3F vorbeischauen? -- seth 22:08, 28. Mai 2010 (CEST)

Rationale Funktion

Hallo, ich wollte mich nur mal für's schnelle Sichten meiner Beiträge zum Artikel Rationale Funktion bedanken! :-) Da kommt in den nächsten Tagen wohl noch mehr; ich wollte da zumindest noch einiges zum Ab- und Aufleiten schreiben...--BFeuerbacher 20:15, 19. Jun. 2010 (CEST)

Erledigt!--BFeuerbacher 18:06, 20. Jun. 2010 (CEST)

Hallo nochmal,
ich hätte noch eine Frage zu den rationalen Funktionen, die du vielleicht beantworten kannst... (habe sie schon vor 5 Monaten auf der Diskussionsseite des Artikels gestellt, aber bisher hat keiner was dazu gesagt... und der Fachbetreuer bei mir an der Schule meinte im Wesentlichen nur, das wüsste er nicht und wäre ihm auch egal, die Definition wäre doch eh nicht so wichtig.). Die Frage lautet: ist die Funktion f mit f(x) = x/x ganzrational (weil man den Term ja zu x/x kürzen kann) oder gebrochenrational (weil im Gegensatz zur Funktion g mit g(x) = 1 die Funktion f ja eine Definitionslücke bei 1 hat)? Falls es mit der Definitionslücke ein Problem gibt, wie steht's dann mit der Funktion f mit f(x) = (x^2+1)/(x^2+1), die ja in den reellen Zahlen keine Definitionslücke hat? Oder gibt es dann immer noch ein Problem, weil sie im Komplexen die Definitionslücken i und -i hat?--BFeuerbacher 19:20, 26. Jun. 2010 (CEST)

Ich antworte auf der Diskussionsseite des Artikels. -- Digamma 09:43, 27. Jun. 2010 (CEST)

Ich antworte doch hier, weil Du die Frage hier detaillierter stellst.

Zu nächst zur zweiten Frage: Wenn man die Funktion nur auf den reellen Zahlen betrachtet (was in der Schule der Fall ist), dann ist die Funktion f gleich der konstanten Funktion g mit g(x) = 1, denn eine Funktion ist durch ihren Definitionsbereicht und den Werteverlauf eindeutig bestimmt.

Zur ersten Frage: Aus der Sicht der Mengenlehre sind zwei Funktionen verschieden, wenn sie verschiedene Definitionsbereiche haben. Damit sind also auch die Funktionen $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ und $g\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ verschieden. Nennst Du die zweite ganzrational? Dann ist auch f mit f(x) = x/x ganzrational. Oder sprichst Du nur dann von ganzrational, wenn der Definitionsbereich ganz $\mathbb {R}$ ist?

Ganz generell: Ohne die Angabe des Definitionsbereichs ist eine Funktion nicht definiert. Dies wird aber in der Schule in der Regel vernachlässigt, bzw. es wird vorausgesetzt, dass die Funktion überall dort definiert ist, wo der definierende Term definiert ist.

Ein Funktionentheoretiker ignoriert hebbare Definitionslücken und betrachtet die Funktion automatisch als hebbar fortgesetzt. Aus dieser Sicht ist die Funktion f mit f(x) = x/x ganzrational.

Aus algebraischer Sicht: Die gebrochenrationalen Funktionen bilden einen Körper. Das funktioniert nur, wenn man Funktionen, die durch Kürzen auseinander hervorgehen als gleich betrachtet.

Bleibt die Frage, was man seinen Schülern sagt, bzw. welche Antwort man von seinen Schülern erwartet. Im Zweifelsfall das, was im Schulbuch steht (ohne die Problematik zu verschweigen).

Ich hoffe, das hilft Dir weiter. -- Digamma 10:33, 27. Jun. 2010 (CEST)

Aergere dich nicht

Hallo Digamma, aergere dich nicht ueber meine kleine Aenderungen in Charakteristisches Polynom. Sie betriffen nur Aenderungen im Textteil und zwar den Unterschied zwischen: Dies ist eine n×n-Matrix A, und: Dies ist eine $n\times n$-Matrix A. Jedenfalls bei mir schaut der letztere nicht gut aus. Gruss: Nijdam 09:48, 1. Jul. 2010 (CEST)

Es ist halt eine andere Schrift. Aber ich finde, man sollte nicht verschiedenes Mark-up mischen. Und grundsätzlich finde ich es nicht gut, solche Dinge in einem Artikel zu ändern (außer wenn es darum geht, Einheitlichkeit herzustellen). Und wie gesagt: Richtlinie ist meines Wissens, bevorzugt das <math>-Tag zu verwenden für Variablen und mathematische Zeichen, und Variablen nicht durch '' '' kursiv setzen. -- Digamma 10:25, 1. Jul. 2010 (CEST)

Es gibt eine Loesung: Dies ist eine $\scriptstyle n\times n$-Matrix A. (Anwendung von "scriptstyle"). Nijdam 11:41, 1. Jul. 2010 (CEST)

Tex zu erzwingen ist nun gar keine Lösung. Wird denn "<math>n\times n</math>-Matrix" bei Dir in TeX ( $\,n\times n$-Matrix ) angezeigt?

Ja, TeX Font. Problem ist, ohne Scryptstyle zu erzwingen, wird $n\times n$ in Displaystyle, also ziemlich gross abgebildet. In Scryptstyle wird auch math Font benutzt, aber in der Groesse des Textes. Wie ist das bei dir? Nijdam 13:09, 1. Jul. 2010 (CEST)

Bei mir wird das in Html dargestellt. Was hast Du in deinen Einstellungen stehen?-- Digamma 13:31, 1. Jul. 2010 (CEST)

Bei mir: Einfaches TeX als HTML, sonst PNG. Ich habe auch mal: Wenn moeglich als HTML, etc. eingestellt, aber da entstehen wieder ander Probleme mit Math-Formel. Nijdam 18:26, 1. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe: "Empfehlenswert für moderne Browser".-- Digamma 19:34, 1. Jul. 2010 (CEST)

Koennte ich mal versuchen. Nijdam 21:06, 1. Jul. 2010 (CEST)

Hier nun mein vollständiger imaginäre Wurzelinput:

Imaginäre Einheitswurzeln

Zur Diskussion:

Imaginäre Einheitswurzeln sind die n-verschiedenen Wurzelwerte der Kreisteilungsgleichung x hoch n = i und der Kreisteilungsgleichung x hoch n = -i , i ist eine der Quadratwurzeln von -1 und i ist eine der Biquadratwurzeln von +1

Das / ein Unikum von i ist : Eine der Kubikwurzeln von i ist -i Eine der Kubikwurzeln von -i ist i

Innerhalb dieses imaginären Einheitskreises können nicht soviele Punkte besetzt werden wie im Einheitskreis mit der Kreisteilungsgleichung x hoch n = 1 .

UND SPEZIELL FÜR SCHÜLER Einheitswurzeln der negativen Zahl -1

x hoch 2n = -1 Die EinheitsWurzeln von x hoch 2n = -1 liegen im Einheitskreis genau zwischen den EinheitsWurzeln von x hoch 2n = +1

x hoch 2n+1 = -1 Die Einheitswurzeln von x hoch 2n+1 = -1 liegen genau ursprungsymmetrisch gegenüber den Einheitswurzeln von x hoch 2n+1 = +1

In Bedienungsanleitungen von Algebrarechnern für die Schule wird meist bei der Beschreibung des Rechnen mit komplexen Zahlen in etwa folgende vermerkt:

Beispiel: Kubikwurzel von -8 = -2 (reele Zahl) oder . = 1+ 1,732050808i (oder 1 - 1,732050808i)

Im ersten Fall handelt es sich um die (komplexe) Nebenwurzel und im zweiten Fall um die (komplexe) Hauptwurzel. Der Rechner zeigt je nach Eingabe die Hauptwurzel oder eine Nebenwurzel an.

Also Merke: Hauptwurzel ist ein anderer Ausdruck für ein reel Mehrfaches der primitiven Einheitswurzel. Und Beachte: Die Hauptwurzeln von negativen Zahlen sind nicht die der -1 im Einheitskreis folgenden Wurzeln, sondern die der +1 folgenden Wurzeln (Einheitskreisrichtung = 1 ; i ; -1 : -i ; 1)

So ist i die Hauptwurzel von -1. -i ist die Nebenwurzel von -1

Nun kannst du deinen Kollegen fragen: a) ist i die Nebenquadratwurzel von -1 ? oder b) ist i die Hauptbiquadratwurzel von +1 ?

(Ueberlege ...! )

-i ist die Nebenquadratwurzel von -1 . Und -i ist eine Nebenbiquadratwurzel von +1 (die andern beiden Nebenbiquadratwurzeln von +1 sind : -1 und +1 )

also: a) ist falsch und b) ist richtig

--Oktonius 14:48, 1. Jul. 2010 (CEST)

.

Was soll ich damit?-- Digamma 16:29, 1. Jul. 2010 (CEST)

wirken lassen oder löschen - --Oktonius 19:09, 2. Jul. 2010 (CEST)

Nächste Frage:

Gagarinsche Vermutung: Die Gleichung x/0=y ist ausserhalb der gausschen Zahlenebene(bewegt) lösbar. Wobei zu beachten ist: iso-Würfeleefekt. Rechnen mit Strecke natürlich (Vorstellung Flusslauf der sich zeitlich verändert), Fläche ( wie zB Land das an Zeit und Denken verbunden ist), Tomate (Farbe und Faulung spielt Rolle). Oberhalb Gaussche Ebene grösser werdend, unterhalb Ursprungeffekt. Nachdenken. Es stimmt. --Oktonius 00:00, 9. Jul. 2010 (CEST)

Riemannsche Geometrie

Hallo,

Du hast in diesem Artikel nun die Riemannsche Metrik als Abbildung $T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$ aufgefasst, was natürlich richtig ist. Aber warum ist die alte Beschreibung falsch? --Christian1985 16:46, 4. Jul. 2010 (CEST)

Bei einer Abbildung von $TM\times TM$ nach $C^{\infty }(M)$ würde jedem Paar von Tangentialvektoren (nicht notwendigerweise am selben Punkt) eine Funktion auf M zugeordnet. Das kannst Du sicher nicht meinen.

Vermutlich möchtest Du sagen, dass jedem Paar von Vektorfeldern eine Funktion zugeordnet wird. Das kann man so tun, aber es ist unanschaulich. Sowohl do Carmo als auch Gallot, Hulin, Lafontaine machen es so, wie ich es formuliert habe. -- Digamma 17:04, 4. Jul. 2010 (CEST)

Okey, einverstanden. --Christian1985 18:01, 4. Jul. 2010 (CEST)

Kreuzweise Multiplikation

Wieso hast du meine Änderungen rückgängig gemacht? Tolentino hat wichtige Informationen vernichtet. Zum Beispiel kann man die kreuzweise Multiplikation nicht anwenden, wenn b und d gleich 0 oder $\infty$ sind. Außerdem ist der Begriff Bruchterm total überflüssig, schließlich ist ein einzelner Bruch immer ein Term. Außerdem trifft die Umformung ja nicht nur bei Brüchen zu, sondern auch bei irrationalen sowie imaginären Zahlen. Die Darstellung ist auch ein wichtiger Punkt. Ein Bruch ist auch etwas, das im Dezimalsystem dargestellt wird (allgemeiner gesagt ist die Darstellung eines Bruches völlig wurst, ein Bruch ist einfach nur eine rationale Zahl). In der 6. Schulklasse wird über Dezimalbrüche gelehrt. Der Begriff hat zwei Bedeutungen. Die erste Bedeutung, wie sie in der Wikipedia korrekt erläutert wird, ist die, dass ein Dezimalbruch ein gewöhnlicher Bruch ist, dessen Nenner eine Potenz von 10 ist. Die zweite Bedeutung besagt jedoch, dass dies eine rationale Dezimalzahl wie z.B. 10 oder 9,02 ist. Man beachte, dass in diesem Wort das Wort Bruch drinsteckt. Die Darstellung einer rationalen Zahl mit waagerechtem Strich wird gewöhnlicher Bruch genannt. Wie gesagt muss ein gewöhnlicher Bruch jedoch rational sein. Abgesehen davon kann man den Multiplikationspunkt weglassen. Dies wird in der 7. Klasse gelehrt. Daher war meine Version völlig korrekt. PS: Bist du dir sicher, dass du Gymnasiallehrer bist? --IvanP 16:53, 13. Jul. 2010 (CEST)

1. Ein Bruchterm ist ein Term der Gestalt ${\frac {A}{B}}$, wobei A und B wieder Terme sind. Es spielt überhaupt keine Rolle, welche Art von Zahlen darin vorkommen bzw. in Variablen eingesetzt werden können. Deshalb ist meine Version allgemeiner. In dem Beispiel

${\frac {x}{2x-2}}={\frac {2x+3}{4x}}$

treten keine Brüche auf (und es spielt absolut keine Rolle, ob man für x nur rationale oder auch reelle oder komplexe Zahlen einsetzen darf). Es handelt sich jedoch um Bruchterme

2. Zum Einsetzen von 0 und $\infty$ ist glaube ich schon alles gesagt worden. Dass man durch 0 nicht dividieren kann/darf, ist klar. Das hat aber nichts mit der Zulässigkeit der Umformung zu tun. Und $\infty$ ist keine Zahl, die man überhaupt in irgendeinen Rechenausdruck einsetzen dürfte.

3. Die Darstellung von Tolentino war einfach besser. -- Digamma 17:07, 13. Jul. 2010 (CEST)

1. Das was du beschreibst ist ein gewöhnlicher Bruch. Und Brüche sind immer rational. Es lässt sich unschwer erkennen, dass Bruch ein Derivat von brechen ist. Und gebrochen (= geteilt) werden hier ganze Zahlen. Wenn nicht-ganze Zahlen gebrochen werden, muss man ja sagen können, aus welchen Zahlen diese gebrochen wurden, usw. Wenn daraus eine unendliche Kette entsteht ist das sinnlos. Man kann das auch anders sehen: Bei einem gewöhnlichen Bruch tritt die Darstellung durch den waagerechten Strich in Kraft. Aber einfach nur ein Bruch wäre ja dann irgendeine Zahl. Kannst du zustimmen? Nein? Ich auch nicht. Im Beispiel treten sehr wohl Brüche auf. Die Variable macht die rationalen Zahlen nicht nicht-rational, weil sie nicht bedeutungslos ist, sondern für eine rationale Zahl steht. Man weiß vor dem Lösen der Gleichung zwar nicht, für was die Variable steht, doch was man weiß spielt keine Rolle, eher wie etwas tatsächlich ist. Bruchterme sind im Prinzip nur Terme, die Brüche sind. Da alle Brüche Terme sind, ist die Beifügung Term überflüssig.

2. Gesagt worden ist alles, aber das Gesagte stimmt nicht. ${\frac {z}{0}}=\infty$ mit $z\neq 0$. Beachte: Diese Definition besagt, dass lim_w→0 z/w = $\infty$, NICHT dass das multiplikativ Inverse von 0 gleich $\infty$ ist.

3. Wenn du meinst, dass du meine Version besser darstellen kannst, dann tue das. Dabei dürfen aber keine Informationen verloren gehen. --IvanP 17:17, 13. Jul. 2010 (CEST)

Bruchterme sind Terme, bei denen die zuletzt auszuführende Rechenoperation eine Division ist - üblicherweise dargestellt durch einen Bruchstrich - daher der Name.

Brüche sind nach der von Dir verwendeten Definition rationale Zahlen.

Das sind unterschiedliche Dinge. -- Digamma 17:29, 13. Jul. 2010 (CEST)

Mal ein Beispiel: ${\frac {\pi }{2}}$ ist kein Bruch, aber ein Bruchterm. Die kreuzweise Multiplikation ist aber auch hier anwendbar, deshalb meine Ergänzung oder Bruchterm. -- Digamma 17:37, 13. Jul. 2010 (CEST)

Richtig, ${\frac {\pi }{2}}$ ist kein Bruch, sondern eine irrationale Zahl. Ein Bruch ist immer rational und wie er dargestellt wird ist egal. Falls er mit dem waagerechten Strich dargestellt wird, wird er gewöhnlich genannt, falls im Dezimalsystem dezimal (6. Klasse), falls im Hexadezimalsystem hexadezimal, usw. --IvanP 17:40, 13. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe mich mal über Bruchterme schlau gemacht: "Ein Bruchterm liegt dann vor, wenn mindestens einmal eine Variable im Nenner des Bruches auftritt." - Quelle: BR-alpha --IvanP 17:43, 13. Jul. 2010 (CEST)

Vektoranalysis

Zum Inhalt der Präzisierung: Ein Gegenbeispiel wäre die partielle Ableitung nach der kartesischen Koordinate x. Bei einer Drehung um 90 Grad wird daraus eine Ableitung nach y, so daß diese Operation NICHT mit Drehungen vertauscht. Beim Gradienten bewirkt die Kombination von partiellen Ableitungen mit Einheitsvektoren, daß es egal ist, ob ich den Gradienten vor oder nach der Drehung anwende. Anderes Beispiel: Wenn man in der Divergenz in kartesischen Koordinaten den y-Term mit 2 multipliziert, geht die Eigenschaft des Mitdrehens verloren. Das Mitdrehen bzw. das Vertauschen der Ableitungen mit Drehungen ist also nicht selbstverständlich, sondern zeichnet Gradient, Rotation und Divergenz vor anderen Ableitungskonstruktionen aus. Zum Wort "kovariant": Wenn es abschreckend wirkt, sollte es vielleicht ersetzt werden. Es ist aber kein falscher und auch kein ungebräuchlicher Ausdruck. Ich finde den Ausdruck "gängig" nicht so gut, weil er eine soziale Charakterisierung darstellt, obwohl es eine sachbezogene Charakterisierung gibt. Leider ist der Artikel Kovarianz (Physik) zur Zeit keine Hilfe. -- Polley 20:34, 13. Jul. 2010 (CEST)

Ich verstehe. Ich würde wahrscheinlich eher so etwas wie "koordinatenunabhängig" statt "kovariant" schreiben. Als Differentialgeometer ist für mich ein Objekt, das nicht koordinatenunabhängig ist, gar nicht wohldefiniert. Die partielle Ableitung ist eben nur in einem kartesischen Koordinatensystem definiert, aber nicht in dem euklidischen Raum. Mir fällt spontan auch an dieser Stelle kein Ersatz ein. "Gängig" ist sicher nicht gut. -- Digamma 20:56, 13. Jul. 2010 (CEST)

Inzwischen habe ich eingesehen, daß meine Formulierung in dem Artikel nicht sonderlich klar war. Der zweite Versuch ist jetzt etwas ausführlicher. Danke für Deinen Hinweis. Der Ausdruck "koordinatenunabhängig" wäre wahrscheinlich zu stark, weil man nur Invarianz unter Drehungen und nicht unter beliebigen Koordinatentransformationen hat. Auch "kovariant" ist eigentlich nicht gut, weil man den Ausdruck überwiegend relativistisch gebraucht. Wie wäre es mit "drehinvariant"? -- Polley 21:38, 13. Jul. 2010 (CEST)

Wie wär's mit "bewegungsinvariant"? Ansonsten fand ich die Erklärung eigentlich doch recht klar. -- Digamma 21:50, 13. Jul. 2010 (CEST)

Verbindungsraum wg. Redundanz zu Affine Hülle

Ich habe Benutzer: Kreidestaub auf seiner Diskussionsseite den Vorschlag gemacht, seinen Artikel mit Affine Hülle zusammenzulegen. Wollte Dich als Sichter des Artikels darüber informieren. --KleinKlio 13:26, 18. Jul. 2010 (CEST)

Danke. Ja, ich finde das auch gut. -- Digamma 20:29, 18. Jul. 2010 (CEST)

Ist gemacht, werde in nächster Zeit noch etwas Literatur ergänzen. Danke fürs prompte Antworten. --KleinKlio 08:21, 19. Jul. 2010 (CEST)

Nachtrag zur Disk. im Portal zu den Besselschen Elementen

Habe Deinen letzten Kommentar leider erst jetzt zur Kenntnis genommen. Stimmt schon, die Beispielrechnung drückt sich um die Berechnung der wirklichen Schnittfläche. Wir haben lange an einem Beispiel gebastelt, dass ein für die Praxis interessantes Ergebnis liefert und das für den Artikel nicht zu kompliziert wird. Wenn ich mich richtig erinnere gehen aber alle Berechnungsanleitungen, die ich durchgesehen habe, ähnliche Wege. Die hässlichen Kleinigkeiten wie die Erdabplattung machen die Sache dann im Detail doch unerfreulich kompliziert. Ein bisschen findet sich der Projektionsgedanke aber auch im Beispiel wieder, nur ist eben die Projektsfläche nicht die Erdoberfläche, sondern die durch den Schlossplatz gehende parallele Ebene zur Fundamentalebene. Zugegeben, etwas hässlich, aber eben im Hinblick auf das gewünschte Ergebnis erfreulich einfach. Viele Grüße --Cactus26 11:48, 31. Jul. 2010 (CEST)

Der Satz Ausgehend davon werden erst im nächsten Schritt durch Projektion die Gegebenheiten an der Erdoberfläche errechnet, wobei erst dann die annähernde Kugelform der Erde, die Erddrehung sowie die Lage und Höhe des Beobachtungsorts berücksichtigt werden müssen. ist ja ausreichned vage gehalten. Er sagt nicht, worauf projiziert wird. Zusammen mit dem Bild lässt er allerdings vermuten, dass der Schatten von der Fundamentalebene auf die Erdoberfläche projiziert wird. Aber eine Projektion auf eine parallele Ebene durch den Beobachtunsort (der ja explizit erwähnt wird) steht nicht im Widerspruch zu der Formulierung. Wenn man den Satz so versteht, dann war die ganze Diskussion eher überflüssig. -- Digamma 10:18, 1. Aug. 2010 (CEST)

Mehrdimensionale Taylorformel

Hi Digamma, wir hatten vor kurzem ein Beispiel fuer eine mehrdimensionale Taylorformel diskutiert. Jetzt habe ich einen ersten Entwurf fertig. Diesen kannst du auf meiner Benutzerseite Benutzer:Chromate/Taylor-Formel einsehen. Dieses mal habe ich eine nicht ganzrationale Funktion gewählt, so wie besprochen. Ich würde mich freuen, wenn du mal drueberschauen und Verbesserungsvorschlaege einbringen kannst. Danke dir. --Chromate 15:42, 31. Jul. 2010 (CEST)

Danke. Insgesamt sieht das gut aus. Zwei Bemerkungen:

1. Ich würde nach wie vor ${\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)$ schreiben statt $\left.{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right|_{x=a}$. Für mich ist klar, dass auch bei meiner Schreibweise erst $f$ abgeleitet und dann $a$ eingesetzt wird (anders als bei ${\frac {\partial f(a)}{\partial x_{1}}}$).
2. Ich würde mich einer Wertung enthalten, welches Verfahren besser ist. Auch wenn man die Hesse-Matrix berechnet wird man gleiche Einträge nicht zweimal berechnen.

Ich baue mal meine Änderungsvorschläge ein und speichere meine Version unter Benutzer:Digamma/Taylor-Formel. Gruß, Digamma 10:32, 1. Aug. 2010 (CEST)

Okay, dann warte ich mal deine Änderungen ab. Du kannst das sonst auch auf meiner Benutzerseite bearbeiten, das ist schon in Ordnung. Mach das ruhig, sonst haben wir etliche Versionen an verschiedenen Orten, dann wird es unuebersichtlich. Eigentlich sollte die Schlussbemerkung keine wirkliche Wertung werden. Was ich damit sagen wollte, ist dass man sich mit der Multiindexschreibweise viel Arbeit ersparen kann. Natuerlich wird man die Ableitungen nicht mehrfach berechnen, wenn man weiss (Satz von Schwarz) dass diese gleich sind, aber man muss die Terme alle mitschleppen und hinschreiben. Durch die Multiindexschreibweise erspart man sich da viel Schreibarbeit. Vielleicht faellt dir da eine bessere Formulierung ein. --Chromate 10:52, 1. Aug. 2010 (CEST)

Meine Überarbeitung ist jetzt fertig. Ich habe noch ein paar andere Kleinigkeiten geändert:

1. Punkte im $\mathbb {R} ^{2}$ sind für mich einfach geordnete Paare (2-Tupel). Solange ich damit keine Matrizenrechnung oder Vektorrechnung betreibe, schreibe ich sie deshalb in einer Zeile, die Einträge mit Kommas getrennt.
2. Hingegen ist ein Zeilenvektor (wie zum Beispiel die Jacobi-Matrix) eine Matrix. Die Einträge sind durch Leerstellen getrennt, nicht durch Kommas.
3. Dort wo die Matrizen ausgeschrieben sind, habe ich auch den Zeilenvektor $(x-a)^{T}$ und den Spaltenvektor $x-a$ ausgeschrieben.
4. Ich habe die Formeln eingerückt und die Zeilenumbrüche durch Absätze ersetzt.
5. Auch wenn die entsprechenden Artikel unterschiedliche Konventionen benutzen: Ich finde man sollte J und H entweder beide kursiv oder beide aufrecht schreiben. Ich habe mal beide kursiv geschrieben, wie im Artikel Jacobi-Matrix.
6. Bei der gemischten Ableitung stehen im Nenner die Variablen in aufsteigender Reihenfolge ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}$, zumindest steht es im Artikel so in der allgemeinen Fassung der Taylor-Formel.
7. Bei der Taylor-Formel (anders als bei der Taylorreihe) wird die Funktion meines Erachtens nicht entwickelt, sondern approximimiert. Das habe ich aber noch nicht geändert.

Wenn es Dir lieber ist, dass wir an einem Ort arbeiten, kannst Du ja meine Version kopieren. Gruß, Digamma 11:09, 1. Aug. 2010 (CEST)

Vielen Dank fuers Drueberschauen. Hast du deinen ersten Punkt konsequent angewandt? Meiner Meinung nach muesstest du dann beispielsweise $(x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2})$ schreiben. Du hast die Vektoren hingegen jetzt als Matrizen geschrieben. Bei Punkt 2 gebe ich dir recht, das hatte ich bei der Jacobi-Matrix falsch notiert. Punkt 3 ist auch eine Verbesserung, ebenso wie Punkt 4. Punkt 5 geht auch klar, ich habe mich da ein wenig an den Wiki-Seiten zu Jacobi-Matrix und Hesse-Matrix orientiert, aber deine Loesung gefaellt mir besser. Punkt 6 geht auch klar. Bei Punkt 7 muss ich sagen, dass wir in der Uni davon sprechen eine Funktion um einen Punkt zu entwickeln. Ob man da lieber von Approximation spricht oder nicht erscheint mir stark Geschmacksache zu sein.
Vielen Dank dass du dir die Zeit genommen hast und viele Verbesserungsvorschlaege eingebracht hast. Sollen wir das dann in den Artikel uebernehmen? --Chromate 19:29, 1. Aug. 2010 (CEST)

Zum 1. Punkt: Ich denke schon, dass ich da Konsequent war. In den Formeln wird auf x-a Matrizenmultiplikation angewendet, deshalb die Schreibweise als Matrix.

Ergänzung zu Punkt 7: Man spricht zwar vom Grad eines Polynoms, aber meines Wissens von der Taylor-Entwicklung bis zur k-ten Ordnung. Bist Du sicher, dass es nicht um die Reihenentwicklung ging, wenn von "entwickeln" die Rede war? Aber das ist wohl wirklich Geschmackssache.

Ich denke, wie können das so übernehmen. Würdest Du das in den Artikel einbauen? Allerdings würde ich die allgemeine Schreibweise mit der Jacobi- und der Hesse-Matrix aus dem Beispiel herausnehmen und im allgemeinen Teil unterbringen (aber nur für den Spezialfall k=2). -- Digamma 21:06, 1. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe die Version auf deiner Benutzerseite jetzt mal in den Artikel eingebaut. Zu deiner letzten Anmerkung: Wenn wir die Matrixschreibweise noch in den allgemeinen Teil einbauen wollen, dann muss dort aber die allgemeine Form stehen. Da ich die aber gerade nicht im Kopf habe, habe ich sie im Artikel nicht ergaenzt. Ich schau diesbezueglich aber nochmal in meinem Unterlagen nach. --Chromate 12:13, 2. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe mal die allgmeine Version aus dem Beispiel eingebaut. Inwiefern sollte sie allgemeiner sein? -- Digamma 16:57, 2. Aug. 2010 (CEST)

Stelligkeit

Danke für den Hinweis. Schon interessant, welche Fehler man unbemerkt begehen kann... :/ --Daniel5Ko 00:40, 5. Aug. 2010 (CEST)

Keine Ursache. -- Digamma 10:06, 5. Aug. 2010 (CEST)

Absolute Stetigkeit

Hi. Warum hast du deinen Revert rückgängig gemacht und das dann ungesichtet gelassen? Ich finde die Version ohne "abzählbar" auch sinnvoller. --Daniel5Ko 21:47, 9. Sep. 2010 (CEST)

Im Nachhinein sind mir Zweifel an meinem Revert gekommen, weil es hier natürlich nicht um die Folge, sondern um die Abzählbarkeit geht. Deshalb habe ich meinen Revert wieder rückgängig gemacht. Vielleicht sollte man von einer abzählbaren Menge sprechen? Das passt aber nicht zur Notation. -- Digamma 21:50, 9. Sep. 2010 (CEST)

Hmm, ja, "abzählbare Menge" wäre wohl besser. Die Notation lässt sich auch anpassen: $\sum _{[x,y]\in J}{y-x}\;<\;\delta$, wobei J die Intervallmenge ist, etc. --Daniel5Ko 22:19, 9. Sep. 2010 (CEST)

Das überzeugt mich nicht so ganz. Aber vielleicht einfach endliche oder abzählbar unendliche Menge paarweise disjunkter Intervalle $[x_{k},y_{k}]$? Oder vielleicht "Familie" statt "Folge"? -- Digamma 22:25, 9. Sep. 2010 (CEST)

Ja, "endlich" ist natürlich auch erlaubt. "Familie" unnötig. Die Summierungen und die Forderung nach paarweiser Disjunktheit ergeben bereits, dass man ohne Verluste von Mengen sprechen kann.

PS: Es ist wahrscheinlich sinnvoll, diese Diskussion auf die Artikeldiskussionsseite zu verschieben. --Daniel5Ko 22:52, 9. Sep. 2010 (CEST)

Gleichheit von Tupeln

Vielleicht möchtest auch Du einen Blick auf den Diskussionsbeitrag vom 17.Sep. auf der TupelDisk werfen und dort antworten? -- 80.134.155.60 17:35, 17. Sep. 2010 (CEST)

Ich habe den Beitrag gesehen. Rein formal ist Dein Einwand sicher richtig. Nach meinem ersten Eindruck bekommt man dieser Definition immer dann Probleme, wenn unter den Einträgen des Tupels selbst Tupel sind. Wenn man dies zulässt, dann ist die Länge des Tupels gar nicht wohldefiniert.

Ich bevorzuge deshalb die Definition als endliche Folge. (Wobei dann ein 2-Tupel formal etwas anderes ist als ein geordnetes Paar, nämlich das 2-Tupel eine Folge der Länge 2, das geordnete Paar aber z.B. ein Kuratowski-Paar. Man kann das geordnete Paar nicht als Folge der Länge 2 definieren, weil man es schon voraussetzen muss für die Definition einer Folge (als Spezialfall einer Funktion)). -- Digamma 17:48, 17. Sep. 2010 (CEST)

Diskussion Versionsänderung Zufallsvariable

Hallo Digamma,

natürlich dürfen Sie sich jederzeit einmischen, denn ich äußerte mich nur, um etwas zu hinterfragen. Und wenn ich dann von jemanden auf meine Fragen die richtigen Antworten bekomme, um so besser! Und da es vielleicht anderen auch so geht, und diese eventuell auf die Diskussion stoßen, kann es dazu führen, anderen bei einem gleichen Verständnisproblem zu helfen. Inforfern bin ich natürlich dankbar für jeden Hinweis. Alles in allem bleibt festzuhalten, dass schlicht und einfach das fehlende Wissen für die Fragen verantwortlich waren. Jetzt weiß ich es besser. Danke. Man lernt ja bekanntlich nie aus. Achja, es wäre dann bei dem Hinweis in dem betreffenden Artikel vielleicht nett gewesen, nicht von einem fachsprachlichen Plural zu reden, dann wäre ich vielleicht selber drauf gestoßen. Denn offensichtlich handelt es sich bei dieser Form ja nur um die Anwendung der deutschen Deklination. Das es sich bei dem Begriff um Fachsprache handelt ist doch irrelevant für die verwendete Form im Plural, oder nicht? Einen schönen Gruß noch =) (nicht signierter Beitrag von Strimpeff (Diskussion | Beiträge) 20:40, 17. Sep. 2010 (CEST))

Disjunkte Vereinigung

Hallo Digamma,

warum hast du eigentlich in einigen Differentialgeometrieartikeln das Koprodukt $\coprod$ durch ein eckiges Vereinigungssysmbol ersetzt? Dieses Symbol habe ich noch in keinem Buch gesehen. Dahingegen kenne ich das Koproduktzeichen aus den Büchern von Lee. --18:03, 24. Okt. 2010 (CEST)

Das Koproduktzeichen habe ich noch nie für die disjunkte Vereinigung gesehen. Im Zusammenhängen mit Vektorräumen finde ich es ziemlich missverständlich, denn das Koprodukt in der Kategorie der Vektorräume ist die direkte Summe. Ich hatte vermutet, dass das Koproduktzeichen an dieser Stelle ein Notbehelf für ein nicht vorhandenes eckiges Vereinigungssymbol sein sollte. Ein Kompromissvorschlag wäre das übliche Vereinigungszeichen mit Punkt.

Warum signierst Du nur mit Datum, ohne Namen? -- Digamma 19:30, 24. Okt. 2010 (CEST)

Huch mit dem Signieren ist wohl etwas schief gelaufen! Ich habe noch nie drüber nachgedacht, ob das Koprodukt an der Stelle kategorientheoretisch Sinn macht. Ich habs bis jetzt einfach so hingenommen, weil ich glaube, es auch schon in anderen Büchern so gesehen zu haben. Gibt es denn das Vereinigungszeichen mit Punkt in der Latex-Version von WP? Wegen mir kann es auch so bleiben. Das Vereinigungszeichen mit Punkt habe ich in der Literatur auch noch nie geshen, kenne es nur aus Vorlesungen. In dem Buch von R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu und in dem Buch W. Boothby werden (warum auch immer) einfache Vereinigungszeichen verwendet, was ich aber für Wikipedia als nicht sinnvoll erachte. --Christian1985 ( 20:11, 24. Okt. 2010 (CEST)

Das Vereinigungszeichen mit Punkt wird im Artikel Disjunkte Vereinigung verwendet. Es wird üblicherweise dann verwendet, wenn die beteiligten Mengen schon disjunkt sind, um auf diese Tatsache hinzuweisen. Man bekommt ihn einfach durch \dot\bigcup. Das eckige Vereinigungszeichen (oder das Koproduktzeichen) werden bevorzugt dann verwendet, wenn die Mengen erst disjunkt gemacht werden müssen. Es wird im englischen Artikel verwendet. -- Digamma 20:34, 24. Okt. 2010 (CEST)

Ergänzung: Bei allen Zugängen zum Tangentialraum, die mir auf Anhieb einfallen, sind die Tangentialräume sowieso paarweise disjunkt. Auch Bröcker - Jänich definiert das Tangentialbündel einfach als Vereinigung der Tangentialräume. -- Digamma 21:01, 24. Okt. 2010 (CEST)

Ja gut die Tangentialräume sind als disjunkt anzusehen. Ich erinnere mich jedoch noch an meine erste Begegenung mit dem Tangentialbündel und dem dazugehörigen Übungsblatt. Mir war damals nicht klar, dass bei der Vereinigung $\bigcup$ auch das p mitgeschleppt wird. So saß ich eine ganze Weile vor dem Zettel bis ich mal auf Wikipedia geschaut habe und mir eben dies klar wurde. Daher mag ich diese Notation überhaupt nicht! Einigen meiner Komolitonen erging es ähnlich.--Christian1985 ( 21:11, 24. Okt. 2010 (CEST)

So ganz verstehe ich nicht, was Du mit „dass bei der Vereinigung $\bigcup$ auch das p mitgeschleppt wird“ meinst. Dass jeder Tangentialvektor seinen Fußpunkt kennt?

Ich finde die Schreibung als geordnetes Paar (p,v) eher verwirrend, weil die Vektorraumverknüpfnungen nur in der zweiten Komponente stattfinden. Das p steht eigentlich nur dumm rum und im Weg. :-) -- Digamma 21:16, 24. Okt. 2010 (CEST)

Ja genau, ich meinte, dass jeder Tangentialvektor seinen Fußpunkt kennt. Ich mag die Schreibung (p,v) recht gern, wowohl man mit dem p recht wenig anfangen kann. Naja das ist wohl geschmackssache. Aber irgendwie muss man dem Leser ja $T\mathbb {R} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{2n}$ erklären. --Christian1985 ( 21:24, 24. Okt. 2010 (CEST)

Hauptachsentransformation

Hallo Digamma,

ich spreche dich als "bewährten Kritiker" meiner Geometrie-Edits an ;D. Ich habe versucht, in der Einleitung des Abschnitts Hauptachsentransformation#Klassifizierung deutlich zu machen, wie es zu den "Typen von Quadriken" kommt (affine Äquivalenz). Nach Überlesen fürchte ich, dass diese meine Einleitung irgendwie nahe an Anti-Oma geraten ist. Meine Frage: Hast du irgendeine Idee oder Anregung, wie man die Tatsache, dass Quadriken (die Gleichungen) insbesondere im Fall, dass ihre Erfüllungsmenge leer ist, nicht einfach mit ihrer Erfüllungsm enge gleichgesetzt werden können? Mir fällt da nur ein weiter Ausgriff in den algebraischen Abschluss (also hier C) als Begründung ein, der hier irgendwie überdimensioniert erscheint. --KleinKlio 19:42, 26. Okt. 2010 (CEST)

Erst einmal grundsätzlich: Meiner Meinung nach gehört das alles eher in den Artikel Quadrik (der zurzeit eine Großbaustelle ist) als in Hauptachsentransformation. Hier würde ich mich auf die lineare Algebra beschränken. Zumindest kenne ich bisher den Begriff "Hauptachsentransformation" nur für das Diagonalisieren einer symmetrischen Matrix bezüglich einer ONB. Beim weiteren Nachdenken darüber bin ich mir aber nicht mehr sicher.

Ich habe nicht den Eindruck, dass Deine Einleitung nicht OMA-freundlich wäre. Ich kenne das ganze nur aus der LA-Vorlesung in meinem Studium. Da haben wir unter "Quadrik" nicht die Gleichung, sondern nur die Erfüllungsmenge verstanden. Gleichungen mit leerer Erfüllungsmenge haben wir gar nicht weiter betrachtet.

Zwischenfrage: Geht die Eindeutigkeit nicht schon bei entarteten Fällen verloren? Wenn a und b positiv sind, beschreibt $ax^{2}+by^{2}=0$ immer einen Punkt, egal, was man für a und b wählt. $ax^{2}-ay^{2}=0$ beschreibt dasselbe Geradenpaar, egal, was man für a wählt ($a\neq 0$).

Von C würde ich die Finger lassen. Da gibt es kein Vorzeichen, die Klassifizierung bricht dann zusammen. Da kannst Du nichtmehr zwischen einer Ellipse und einer Hyperbel unterscheiden. Oder täusche ich mich da?

Erstmal: Danke fürs prompte Antworten! Zum Grundsätzlichen (wo gehört das hin). D'accord: in die „Großbaustelle“ Quadrik. Dort ist die Beschränkung auf die einfachen Fälle (reell und komplex) eigentlich schon viel zu bescheiden, man müsste für die Zahlentheorie nach ca. 1970 zumindest noch einige quadratische Zahlkörper mit betrachten. Das Werkzeug "Quadrik" beherrscht ja auch z. B. die neuere Theorie der pellschen Gleichung.

Meine Motivation war aber noch bescheidener: Die "Typen" in der üblichen reellen 2D- und 3D-Klassifikation (Ich muss zugeben, dass ich noch nicht einmal ganz genau nachgeprüft habe, ob in Hauptachsentransformation keiner vergessen wurde), stellen in den nichtentarteten Fällen Punktmengen dar, die durch Affinitäten ineinander überführt werden können. Das springt sozusagen ins Auge, insofern: nichts gegen die reichliche Bebilderung, sehen wir da mal von der wiki-Form ab...

Bei der Hauptachsentrafo mit einer Orthogonalmatrix und Mittelpunktsverschiebung oder allgemeiner unter Affinitäten bleibt aber mehr als die Erfüllungsmenge erhalten. Das sind der Rang der Matrix, die die Quadrik definiert, der Rang der erweiterten Matrix und die "Signatur", also (im wesentlichen) die Vorzeichen der Eigenwerte, wobei die dritte Invariante leider wieder uneinheitlich definiert ist. Dadurch unterscheiden sich auch verschiedene Quadriken mit leerer Erfüllungsmenge noch voneinander, egal, wie man das Koordinatensystem wählt. In all diesen Fällen (entartete gehören spätestens in der 3. Dimension dazu, d'accord) müsste man vernünftig begründen, wodurch sich verschiedene Typen noch unterscheiden.

Ich fürchte halt bei solchen Artikeln immer den Tag, an denen mein Sohn mich fragt, „Warum ist eigentlich 1=2 keine nullteilige Quadrik?“.

In der projektiven komplexen Klassifikation gibt es in jedem Raum der Dimension $n$ genau $n+1$ Äquivalenzklassen von Quadriken. Die einzige Invariante ist ihr projektiver Rang (also der erweiterte Rang im Affinen). Die reell-affinen Klassen entstehen daraus durch zwei willkürliche Wahlen (bei denen leider noch nicht mal die Reihenfolge wurscht ist):

1. Welche Gerade wird zur Ferngeraden (-> Rang, erweiterter Rang)?
2. Wie identifiziere ich den komplexen Koordinatenkörper (Koordinatensystem) mit $R^{2}$ (-> wieder Rang und Signatur)?

Die gute Nachricht ist, dass der Rest Kombinatorik (auf schwäbisch: Fallunterscheidungspfriemelei) ist. Die schlechte, dass in „Hauptachsentrafo“ vermutlich keiner was davon hören will.

Das ganze Fass (Quadrik+HATrafo) lohnt jedenfalls der Bemühung, ich denke ich bastele mal nach meiner Literatur eine Angriffsbasis projektive Quadrik. Schaun mer mal! --KleinKlio 01:39, 27. Okt. 2010 (CEST)

Nach Überlesen möchte ich noch hinzufügen: Mein belehrender Tonfall ist nicht persönlich gemeint, beruht auf professioneller Deformation und ist hier natürlich deplacé, da du ja mit den beiden diskutierten Artikeln gar nicht befasst warst. Danke für die Anregungen!--KleinKlio

Ich lasse mich gerne belehren. Und die déformation professionnelle haben wir wohl gemeinsam. :-) -- Digamma 18:53, 27. Okt. 2010 (CEST)

Revertierung

Die Zurücksetzung meiner vorgeschlagenen Ergänzung verstehe ich nicht. Was passiert ist, sieht man hier: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Definitheit&action=historysubmit&diff=81154457&oldid=81151328 Es gibt auch im Moment keine Bemerkungen hierzu auf der Diskussionsseite, oder ich habe an falscher Stelle gesucht.

Ich habe mich unmittelbar nach der Zurücksetzung Deiner Änderung auf der Diskussionsseite geäußert. Das war um 20.17 Uhr.

Die von mir bezweifelte Aussage steht im entsprechenden englischen Wikipediaartikel en:definite bilinear form, aber auch dort ohne Beleg oder Begründung. Die Behauptung ist jedenfalls weder offensichtlich noch Allgemeingut. -- Digamma 21:25, 5. Nov. 2010 (CET)

Die Behauptung ist schon Allgemeingut, wir haben das irgendwann im 3. Semester gelernt, Spezialgebiet Numerische Mathematik.

Ich habe jetzt die richtige Stelle gefunden. Nicht auf "Diskussion" muß man klicken (dann landet man hier), sondern auf "Beiträge". Mein Hinweis wurde heute, am 05.11.2010, 09:31 Uhr, akzeptiert und der Artikel um 09:41 Uhr entsprechend ergänzt, was auf der Diskussionsseite um 09:44 vermerkt wurde. Danke.

Rechtswert in Kartesisches Koordinatensystem

Hi Digamma,
Ja da hab ich mich wohl selbst etwas verwirrt. Ich hab den Fehler aus meinem vorigen Text entfernt und den Rest aber wieder eingefügt. Ich hoffe das passt diesmal...der Abschnitt sollte aber trotzdem nochmal komplett überarbeitet werden, als Laie versteht man vermutlich so gut wie nix. Gruß, --Rockwurm 09:28, 12. Nov. 2010 (CET)

Dem stimme ich zu. Da ich in diesem Gebiet aber selbst Laie bin, werde ich die Finger davon lassen. -- Digamma 10:57, 12. Nov. 2010 (CET)

Noch eine Ergänzung

Der Abschnitt "Definitheit von Matrizen" wurde von mir vorläufig bearbeitet. Die von mir eingebrachten Erkenntnisse im vorigen Abschnitt sind nämlich bisher dort nicht durchgedrungen. Was ich geschrieben habe, kann man sicherlich auch mit anderen Worten ausdrücken, es ist mir bewußt, dass Formulierungen wie "bringt nichts Neues" nicht glücklich sind, aber ich wollte so wenig wie möglich am Text ändern. Schlimmer noch ist der (ziemlich kurze) Abschnitt "Symmetrischer Anteil". Gewiß, es stimmt im reellen Fall, aber im komplexen Fall ist es kompletter Unfug. Diese Aussage ist derartig falsch, dass ich erstmal nachdenken muß, um sie richtig zu formulieren. Ich sehe es gern, wenn mir jemand anders zuvorkommt, und lasse das erstmal so stehen. Wolfgang Burmeister in 01187 Dresden, Deutschland.

Ich habe den Abschnitt über Matrizen gerade umformuliert. Ist es so OK? Den Abschnitt über den symmetrischen Anteil muss ich mir erst noch anschauen. -- Digamma 21:46, 7. Dez. 2010 (CET)

Ja, es ist jetzt so, wie ich es beabsichtigt hatte. Danke für die Korrektur der Parser-Fehler. Ich habe mich auch darum bemüht (Bearbeitungskonflikt, kein Problem). Indessen verstehe ich nicht, warum einige Formeln so klein dargestellt werden, das kann man vielleicht auch noch ändern, aber ich bekomme es nicht hin.

Zur Taylorformel in n Variablen

Im Artikel "Partielle Ableitung" hast Du im Abschnitt "Höhere Ableitungen" unter dem Unterabschnitt "Eigenschaften" die n-dimensionale Taylorformel angegeben. Dazu folgende Bemerkung, die unter "==Einzelnachweise und Fußnoten==" (<.ref> 'Text' < /.ref>, der Punkt "." dient nur der optischen Sichtbarkeit und entfällt in der Praxis) unmittelbar als Fußnote per <.ref> </.ref> ins Kapitel eingeführt werden könnte:

<.ref> Die Formel ist einfacher zu merken und kann auf Elementareres zurückgeführt werden, wenn man folgenden Trick benutzt :

Man betrachtet statt der Funktion f(x₁, ... ,x_n) die Funktion g(t):=f(t•x₁, ..., t•x_n) und setzt am Ende t=1. Auf diese Weise kann man auch scheinbar kompliziertere Ableitungen (höhere "Frechét-Ableitungen" und Anderes) auf „Schulstoff“ zurückführen. </.ref>

Letztlich ist dieser Trick wohlbekannt. Er sollte nur systematischer benutzt (z.B. explizit erwähnt) werden. -- MfG, Meier99 09:38, 10. Jan. 2011 (CET)

Ich würde im Artikel Partielle Ableitung nicht zu viel dazu schreiben. Man könnte das vielleicht eher bei Taylor-Formel unterbringen. Aber wenn es nur um eine Fußnote geht, spricht auch nicht wirklich etwas dagegen.

Ich bin mir sowieso etwas unsicher, ob das alles in den Artikel soll, oder ob der sich eher auf Beispiele zur Berechnung und auf den Zusammenhang zur Richtungsableitung und zur totalen Ableitung (Jacobi-Matrix) beschränken sollte. -- Digamma 14:15, 10. Jan. 2011 (CET)

"Bitte kein TeX erzwingen..."

Hallo Digamma, wenn, wie in diesem Abschnitt, jede Menge Indizes benutzt werden, und die dann teilweise auch noch mit Apostrophen, wird das einfach schwer zu lesen, selbst mit 'nem halbwegs ordentlichen Monitor. Denn wenn die Pixel verkleben, hilft einem ja nicht mal mehr die Bildschirmlupe. Dachte also, es wäre für die Allgemeinheit nützlich, dass man diesen Abschnitt ohne Rätselei darüber, was der jeweilige "Fliegendreck" ;-) wohl sein mag, lesen kann, und mit 'ner gewissen Einheitlichkeit in der Typographie, nicht so wie jetzt, wo's mal mit, mal ohne TeX dasteht und man den Eindruck hat, dass der Autor einfach zu faul war, alles in einer einheitlichen Schreibweise zu formatieren. Klar, durch die unterschiedliche Größe der TeX- und Normalschrift sieht das alles recht doof aus, ich könnte Dir also noch folgen, wenn man TeX des Schriftbildes wegen konsequent aus allen Textpassagen verbannt. So aber bleibt's ein Kompromiss auf halber Strecke, "weder Fisch noch Fleisch", wie man so sagt. Aber ok, Du meinst, dieses Problem sollte man den Lesern überlassen: wem's zu winzig ist, sein Bier? Nicht gerade "barrierefrei" gedacht, aber, ja mei, wenn's die Leute bis jetzt so hingenommen haben, wirst Du wohl recht haben... Schöne Grüße --Qniemiec 12:33, 27. Jan. 2011 (CET)

Hallo Qniemiec,

das eine ist: Wie das angezeigt wird, hängt von den Einstellungen ab. Der eine hat seine Einstellung so gewählt, dass möglichst viel in HTML angezeigt wird ("Wenn möglich als HTML darstellen, sonst PNG"), der andere so, dass möglichst viel in TeX (also als Bild) ("Immer als PNG darstellen") angezeigt wird, andere, wie ich, haben einen Mittelweg eingestellt ("Wenn möglich als HTML darstellen, sonst PNG" oder "Empfehlenswert für moderne Browser").

Was die Apostrophe angeht, da gebe ich dir recht. Die sind so dran geklebt, dass man sie praktisch nicht sieht. Wenn du diese änderst, da habe ich nichts dagegen. -- Digamma 18:18, 27. Jan. 2011 (CET)

Primzahl

Hallo Digamma, könntest du evt. mal beim Primzahlartikel, genauer gesagt bei der Diskussion hier vorbeischauen, ich fürchte, dass sich da einige Dinge gerade recht unerfreulich entwickeln. Danke --KMic 23:18, 7. Feb. 2011 (CET)

Danke für deine Einschätzung - ich denke, diese hat uns allen sehr weitergeholfen. Der Artikel gefällt mir nun besser als vorher.--KMic 12:46, 11. Feb. 2011 (CET)

Basiswechsel

Bzgl. deines kürzlichen Änderungskommentars dort: Ob die Formel in die Einleitung gehört, kann ich auch nicht genau sagen. Bauchgefühl: Wahrscheinlich eher nicht. Aber mir kam eine andere Idee. Nämlich: ein kommutatives Diagramm könnte für einen groben Überblick sinnvoll sein. Mögliche Basen eines n-dimensionalen Vektorraums V werden als lineare Abbildungen von Kⁿ nach V angesehen, und der Basiswechsel ist eben eine lineare Abbildung von Kⁿ nach Kⁿ. Das Diagramm wäre also ein Dreieck mit zwei Kⁿ-Instanzen. In etwa das linke oder rechte Teildreieck in dem Diagramm in Abbildungsmatrix. Meinst du auch, das hülfe? Oder wäre der Erklärungsbedarf, wie man von der Basis zur entsprechenden linearen Abbildung kommt, zu groß oder zu ablenkend? --Daniel5Ko 21:22, 10. Feb. 2011 (CET)

Ich bin eher skeptisch. Basiswechsel als lineare Abbildungen des Koordinatenraum (eben als Koordinatentransformation) zu betrachten, scheint mir eher unüblich zu sein.

Der Artikel steht schon länger auf meiner To-Do-Liste. Eigentlich möchte ich ihn komplett neu schreiben. Mir schwebt folgernder Aufbau vor:

• Basiswechselmatrix
  • Interpretation als Darstellung der Identität bzgl. neuer und alter Basis
  • Interpretation als Matrix-Darstellung der Abbildung alter Basisvektor -> neuer Basisvektor bzgl. der alten Basis.
• Transformationsverhalten der Koordinaten
• Transformation der Darstellungsmatrizen von linearen Abbildungen.

Jeweils mit Beispiel. -- Digamma 21:48, 10. Feb. 2011 (CET)

Achso, ich war ein wenig ungenau. Die linearen Abbildungen zwischen den Koordinatenräumen sind natürlich nicht irgend welche beliebigen, sondern wegen der gewünschten Kommutativität des Diagramms durch die von den beiden Basen induzierten linearen Abbildungen eindeutig festgelegt. Und diese Abbildungen zwischen den Koordinatenräumen sollen halt für beliebige Basis-Paare gefunden werden. Das ist das Ziel, und darum geht's. Das soll das Diagramm zusammenfassend aussagen, viel mehr erstmal nicht. --Daniel5Ko 22:41, 10. Feb. 2011 (CET)

Das habe ich schon verstanden. Es ist nur so, dass man in der lineare Algebra eher über die Basen als über die Koordinatenfunktionen spricht und demgemäß beim Basiswechsel eher betrachtet, wie sich die Basisvektoren ändern (das beschreibt die Basiswechselmatrix), als wie sich die Koordinaten ändern. Aber du kannst ja mal einen Versuch starten. -- Digamma 11:46, 11. Feb. 2011 (CET)

Hm? Die Basisvektoren ändern sich ja nicht. Es geht doch eher darum, den gleichen Vektorraum mit unterschiedlichen Basen betrachten zu wollen. Und der Wechsel von einer Basis zur anderen entspricht in den Koordinatenräumen der Multiplikation mit der Darstellungsmatrix der Identität im Vektorraum in der einen oder anderen Richtung. Auch die Basisvektoren der einen Basis werden natürlich auf sich selbst abgebildet, erhalten aber andere Koordinaten (und haben bzgl. der Ausgangsbasis die kanonischen Einheitsvektoren als Koordinaten, aber das ist ja klar). Man kommt aus meiner Sicht doch gar nicht darum herum, wenn man von Basen spricht, auch von Koordinaten zu sprechen. Und wenn man eh muss, dann darf man auch. Die Frage läuft darauf hinaus: Welche Koordinaten haben die Basisvektoren der einen Basis bezüglich der anderen? (ich vermute fast, das ist das, was du mit "wie sich die Basisvektoren ändern" meintest) Wegen der Linearität lässt sich die Antwort darauf natürlich auf alle Vektoren erweitern. Oder wo gehe ich damit fehl?

Naja, wie dem auch sei, wenn mir 'was gutes einfällt, oder anderweitig über den Weg läuft, schreib' ich's mal rein. Dass du als Mathematiklehrer das nicht besonders nützlich findest (auch wenn ich diesen Umstand bisher nicht so ganz nachvollziehen kann) ist ja auch schonmal recht hilfreiches Feedback (und u.U. weniger Aufwand ;) ) für mich. Ich entnehme dem ungefähr: Selbst wenn es kein Käse ist, was ich hier erzähle, macht es didaktisch vielleicht nicht viel Sinn. --Daniel5Ko 00:07, 12. Feb. 2011 (CET)

Das stimmt schon alles, was du schreibst. Schau mal in den Artikel, was ich bisher geschrieben habe. Der Knackpunkt ist das "in der einen oder anderen Richtung." Da entsteht leicht Verwirrung, in welche Richtung. Bei genauerem Nachdenken und nachdem ich das Diagramm in Abbildungsmatrix angeschaut habe, gefällt mir Dein Vorschlag aber immer besser. Allerdings habe ich den Eindruck, dass die Bezeichnung $T_{B'}^{B}$ dort gerade andersherum als im Artikel Basiswechsel (Vektorraum) benutzt wird. Hast Du zufällig geeignete Literatur zur Hand? Im Artikel wird ja leider keine angegeben, aber nach der Diskussion zu schließen, stammt die Notation aus dem Buch von Fischer.

Das Problem ist: es ist natürlich, wie im Artikel, die Matrix zu betrachten, die die Koordinaten der neuen Basis bezüglich der alten enthält. Das ist aber die Matrix der Identität bezüglich der neuen Basis im Urbild und der alten im Bild. Für die Umrechnung der alten in die neuen Koordinaten braucht man aber gerade die andere Matrix: Die Matrix der Identität bezüglich der alten Basis im Urbild und der neuen im Bild, also die Matrix, die die Koordinaten der alten Basis bezüglich der neuen enthält. -- Digamma 11:41, 12. Feb. 2011 (CET)

(entrückt) Disclaimer: Das Diagramm in Abbildungsmatrix hab' ich gemalt. Die (auch schräg) nach oben gehenden Pfeile und ihre Beschriftungen hab' ich mir so aus den Fingern gesogen, dass etwas einigermaßen sinnvolles 'rauskommt. Die restlichen Pfeile und ihre Beschriftungen kommen direkt aus dem Artikel.

Nein, Literatur in Totholz-Form habe ich leider nicht. Gestern habe ich u.a. dies [1] gefunden, wo Basiswechsel lediglich als ein trivialer Spezialfall herauskommt, wenn man untersucht, wie sich Verkettungen von Abbildungen auf die Abbildungsmatrizen auswirken. Richtungsverwirrung wird elegant umgangen, indem einfach beide Richtungen gleichzeitig genannt werden. :D

Zu beobachten ist eine leicht andere Benennung der zu einem (Abbildung, Basis, Basis)-Tripel gehörenden Abbildungsmatrix sowie eine andere Pfeilrichtung zwischen Koordinatenraum und "eigentlichem" Vektorraum. Beides ist aber letztlich ziemlich Wurst (letzteres wegen der Bijektivität). Hauptsache wir bleiben, oder werden, (gerne auch artikelübergreifend) einigermaßen einheitlich. Ich glaube, es sollte unbedingt $T_{B}^{A}=M_{B}^{A}(\operatorname {id} )$ sein. Wenn man davon ausgeht, dass die Bezeichnungswahl (also wo man welche Basis hinschreibt) bei T und M unabhängig ist voneinander, dann kann man sie ja so wählen, dass oben immer die Ausgangsbasis und unten immer die Zielbasis steht (oder umgekehrt). Bei Verkettungen von vielen Ts und Ms ist das übersichtlicher. Abbildungsmatrix macht das gegenwärtig so. Oben genannte Quelle umschifft das ganze, indem gar nicht so explizit etwas dem T analoges eingeführt wird, sondern nur mit M(id) gearbeitet wird, soweit ich sehe.

So. Und nun, nachdem ich zuvorstehendes aufgeschrieben habe, bin ich total richtungsverwirrt und überlege nochmal ganz in Ruhe, wieviel davon überhaupt stimmt... --Daniel5Ko 14:54, 12. Feb. 2011 (CET)

Ich habe mal in der google-Vorschau-Version des Fischers geblättert und auch sonst ein bisschen recherchiert und festgestellt: Bei Fischer und den Intenet-Autoren enthält die Basiswechselmatrix (Transformationsmatrix) die Koeffizienten der alten Basis bzgl. der neuen. Das ist dann konsistent mit der Abbildungsmatrix der Identität mit der alten Basis im Urbild und der neuen im Bild. Ich habe den Artikel umgeschrieben. Es sollte so auch keine Verwirrung mit der Richtung mehr aufkommen. Ich bitte nun sehr darum, ein kommutatives Diagramm einzufügen. Ich habe noch vor, einen Abschnitt über den Basiswechsel bei den Abbildungsmatrizen linearer Abbildungen einzufügen. -- Digamma 15:06, 12. Feb. 2011 (CET)

Okay. Ich bastle mal eins. Quadrat mit id oder Dreieck? Vorschläge für Pfeilbeschriftungen und Richtung der "Basisinterpretations"-pfeile? --Daniel5Ko 16:04, 12. Feb. 2011 (CET)

Gute Frage. Fischer, S. 154 hat ein Dreieck. Ich glaube, dass das besser ist. Pfeilrichtungen und -beschriftungen wie im Dreieck auf der rechten Seite beim Diagramm in Abbildungsmatrix. -- Digamma 16:34, 12. Feb. 2011 (CET)

Vielen herzlichen Dank. Noch schöner wäre es, wenn das Dreieck gleichschenklig (mit Spitze V) wäre.

Ich bin mir etwas unsicher, wie ich den Bezug zum Text herstellen soll. Ich möchte ungern neue Symbole für die Abbildung

$\Phi _{B}\colon K^{n}\to V,\ (x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto x_{1}b_{1}+\dots x_{n}b_{n}$

oder für ihre Umkehrung

$k_{B}\colon V\to K^{n},\ x_{1}b_{1}+\dots x_{n}b_{n}\mapsto (x_{1},\dots ,x_{n})$

einführen. Vielleicht wäre doch ein Viereck mit der id-Abbildung als vierter Seite besser, und auf der gegenüberliegenden Seite statt nur $T_{B'}^{B}$ sollte dann $T_{B'}^{B}=M_{B'}^{B}(\operatorname {id} _{V})$ stehen.

Bzgl. des Diagramms: Nicht so wankelmütig! Wir wollen doch nicht innerhalb weniger Stunden Commons mit -zig trivialen Variationen des selben Diagramms versorgen. Wenn das jeder täte... :) Als Entscheidungshilfe hier auch mal meine Meinung: Ich fände ein Quadrat wahrscheinlich auch am besten. Ob nun mit $T_{B'}^{B}$ oder stattdessen mit $T_{B'}^{B}=M_{B'}^{B}(\operatorname {id} _{V})$, kann ich jedoch nicht eindeutig sagen. Ich glaube aber, ich habe noch nie ein kommutatives Diagramm mit einer Gleichung als Pfeilbeschriftung gesehen (braucht man ja auch nicht, denn ein weiterer Pfeil täte es; aber einfach im Text ist die Gleichung meist noch besser aufgehoben).

Bzgl. Bezug: Naja, man könnte ungefähr so argumentieren: Eine Basis B eines n-dimensionalen Vektorraums V kann ganz direkt als Funktion $B:n\to V$ interpretiert werden. Die naheliegende natürliche Erweiterung dieser Funktion nach $B:K^{n}\to V$ erreicht man über den Begriff der Linearkombination; das Ergebnis ist eine lineare Abbildung. Dieser Erweiterung von B kann man durchaus (nur ganz geringfügig schlampig) den selben Namen geben, weil keine Verwechselungsgefahr besteht. Frag' mich nicht, wie man daraus einen kurzen, schönen, verständlichen Text generieren soll. Ich hab' da auch vorerst keine Idee. --Daniel5Ko 23:23, 12. Feb. 2011 (CET)

OK, ich präferiere das Quadrat, mit der Beschriftung $M_{B'}^{B}(\operatorname {id} _{V})$. Das mit dem zweiten Pfeil verstehe ich nicht. Die Beschriftung mit dem Gleichheitszeichen soll doch keine Aussage sein, dass zwei Abbildungen gleich sind, sondern dass die eine Abbildung (hier: = Matrix) zwei verschiedene Bezeichnungen hat. Für den Text werde ich mir schon etwas einfallen lassen. -- Digamma 23:45, 12. Feb. 2011 (CET)

Es gibt nun 2 weitere Diagramme. Change_of_basis_square.svg und Change_of_basis_squared.svg.

Zur Namenswahl: beide sind Quadrate, letzteres ist bei passendem Text redundant/doppelt/quadriert, darum das d am Ende.

Zum zweiten Pfeil: Es ist ja gerade die Festlegung für kommutative Diagramme, dass beliebige Pfeilfolgen das gleiche ergeben sollen. Daher kann ein Pfeil von A nach B mit der Beschriftung "x=y" gleichwertig mit 2 Pfeilen von A nach B mit den Beschriftungen x und y ausgedrückt werden. --Daniel5Ko 03:19, 13. Feb. 2011 (CET)

Substitutionsregel und Transformationsformel

Hallo Digamma,

die Transformationsformel wird im eindimensionalen Fall nicht zur Substitutionsregel, weil die Determinante der Jacobi-Matrix im Betrag steht. Der Betrag kommt daher, dass das Lebesgue-Integral im Gegensatz zum Riemann-Integral nicht orientiert ist. Auch sind die Voraussetzungen für die Gültigkeit der Transformationsformel ja stärker.

Grüße Dschaen --Dschaen 17:38, 17. Feb. 2011 (CET)

Das ist weitgehend schon richtig. Es hat dennoch nichts mit dem Unterschied zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral zu tun. Dass man im Eindimensionalen Fall orientierte Integrale betrachtet und im mehrdimensionalen Fall nicht, hat vor allem mit der Dimension zu tun. Riemann- und Lebesgue-Integral unterscheiden sich nur darin, welche Funktionen integrierbar sind: beim (eigentlichen) Riemann-Integral sind das mehr. Solange man das Integral von stetigen Funktionen betrachtet, spielt das aber keine Rolle. --Digamma 20:04, 17. Feb. 2011 (CET)

Das sehe ich anders - die Substitutionsregel ist in dieser Formulierung für das Lebesgue-Integral im Allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel kann man konstruieren, wenn man ein stetig differenzierbares Phi annimmt, das kein Diffeomorphismus ist. Entsprechend sind die Voraussetzungen der Transformationsformel für das Riemann-Integral zu restriktiv. Das eindimensionale Lebesgue-Integral ist per Konstruktion auch nicht orientiert, obwohl es mit dem Riemann-Integral übereinstimmt, vorausgesetzt, dass für eine gegebene Funktion beide Integrale existieren.--Dschaen 20:37, 17. Feb. 2011 (CET)

Wie sieht so ein Gegenbeispiel aus? --Digamma 20:49, 17. Feb. 2011 (CET)