Differentialoperator

Ein Differentialoperator ist in der Mathematik die Interpretation einer Ableitungsvorschrift als Operator, der auf eine Funktion angewendet wird. Das Ergebnis ist wiederum eine Funktion. So kann d/dx in

${d \over dx}f={df \over dx}$

als ein solcher Operator interpretiert werden. Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man auf diese Weise reine Operatorgleichungen (Operatorkalkül) wie beispielsweise

${d \over dx}{d \over dx}={d^{2} \over dx^{2}}.$

Differentialoperatoren dienen in der Praxis vor allem zur abkürzenden Schreibweise von Differentialgleichungen.

Beispiele

• Differentialoperatoren der partiellen Ableitung einer Funktion nach einer von mehreren Variablen, beispielsweise

$\partial _{x}={\partial \over \partial x},$

sowie Kombinationen, wie beispielsweise

$\partial _{xy}=\partial _{x}\partial _{y}.$

• Der Nabla-Operator ${\vec {\nabla }}$, oft auch als $\nabla$ geschrieben. Er hat für den dreidimensionalen Fall mit kartesischen Koordinaten die Gestalt des formalen Vektors

${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right).$

Er wird für die Formulierung des Gradienten, der Divergenz und der Rotation verwendet.

• Der Laplace-Operator oder Deltaoperator

$\Delta ={\vec {\nabla }}^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Er erscheint oft in Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen.

• Der d'Alembert-Operator auch Quabla genannt

$\Box \varphi ({\vec {r}},t)=\Delta \varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}$

wobei c meist die Lichtgeschwindigkeit ist.

Eigenschaften

Differentialoperatoren sind linear, das heißt ist D ein Differentialoperator, f und g Funktionen und c eine Konstante, so gilt

$D\,(f+g)=(Df)+(Dg)$

$D\,(cf)=c\,(Df)$.

Differentialoperatoren lassen sich allgemein gemäß

$(D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f))$

kombinieren. Jedes Polynom von Differentialoperatoren ist wiederum ein Differentialoperator.