Benutzer:HeinrichKü/Entwurf „Entwurf und Parametrierung von Standard-Reglern“

Entwurf und Parametrierung von Standardreglern an Regelstrecken

Je nach Anforderung der Qualität des Regelung, der Stückzahl der Regler, die Art der vorhandenen Signale der Strecke, die Art der gegebenen Hilfsstromversorgung und auch ob Sicherheitsvorschriften berücksichtigt werden müssen, kann entschieden werden, ob ein unstetiger Regler, ein analoger Regler, ein digitaler Regler und evtl. redundante Einrichtungen eingesetzt werden können.

Was grundsätzlich bei der Auswahl des Reglers und der Parametrierung interessiert:

• zeitliches Verhalten der Regelgröße bis zum Erreichen des Sollwertes
• Höhe der Überschwingung bzw. den Dämpfungsgrad
• Verhalten des Einflusses der Störgrößen.

(Siehe Kapitel Einfluss der Störgrößen)

• Nach welchen Gesichtspunkten erfolgt die Parametrierung des Reglers

Für die Auswahl des Reglers und dessen Parametrierung muss die Regelstrecke bekannt sein. Der idealste Fall wäre gegeben, wenn die Beschreibung der Regelstrecke als Übertragungsfunktion (LZI-System) vorliegen würde. Dies ist jedoch selten gegeben. Deshalb müssen Maßnahmen ergriffen werden, die Übertragungsfunktion der Regelstrecke durch geeignete Verfahren zu ermitteln. Siehe dazu Kapitel „Experimentelle Identifikation von Regelstrecken“

Parametrierung eines PID-Reglers für eine lineare Regelstrecke

Bei den linearen Standardreglern spielen Materialkosten keine Rolle, wenn es um die Entscheidung geht, einen P-, PI-, PD- oder PID-Regler zu verwenden. Es wird hier ein Beispiel des PID-Reglers betrachtet. Wie schon im Kapitel „Lineare Standardregler“ definiert, hat der PID-Regler folgende Eigenschaften:

• Er kann 2 PT1-Glieder der Strecke kompensieren und damit die Strecke vereinfachen,
• Er hat vermeidet eine statische Regelabweichung,
• Bedingt durch den I-Anteil fügt der Regler eine Polstelle mit 180 ° Phasenverschiebung in die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises ein.

Allen der nachfolgend geschilderten Verfahren der Parametrierung ist gemeinsam, dass für eine erfolgreiche Dimensionierung des Regelkreises noch weitere Einflüsse berücksichtigt werden müssen:

• Bei analogen Bauelementen müssen bei D-Gliedern sogenannte parasitäre Verzögerungen berücksichtigt werden.
• Bei analogen und digitalen Reglern müssen Amplituden-Begrenzungen berücksichtigt werden, die das Regelverhalten stark beeinflussen können,
• Ein gefordertes Störverhalten muss evtl. auf Kosten des guten Führungsverhaltens berücksichtigt werden.

Regelstrecke für 3 Fallbeispiele:

Steckenparameter einer Srungantwort durch die Tangente am Wendepunkt

Es wird eine Regelstrecke 4. Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion betrachtet:

Gs1(s ) = 1 / [(2,4*s+1)*(1,2*s+1)*(0,6*s+1)*(0,1*s+1)]

Beispiel-Anwendungen:

• 1. Es wird angenommen, dass die Regelstrecke nach G1(s) als Sprungantwort grafisch vorliegt. Ermittlung der Streckenbeiwerte einer Ersatzstrecke aus der Sprungantwort Gs1(s) nach dem Wendetangentenverfahren.

Dimensionierung eines PID-Reglers nach dem Faustformelverfahren.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

• 2. Dimensionierung eines PID-Reglers für die Strecke Gs1(s) nach dem Verfahren der Polstellen-Nullstellenkompensation.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

• 3. Von der Regelstrecke Gs1(s) wird angenommen, dass sie nur als Sprungantwort vorliegt und eine Ersatz-Übertragungsfunktion gefunden wurde.

$Gs2(s)={\frac {e^{-0,5*s}}{(1,9*s+1)^{2}}}$

Dimensionierung eines PID-Reglers nach dem Verfahren der Polstellen- Nullstellenkompensation.

Darstellung der Sprungantwort des Regelkreises.

Beispiel PID-Reglerstruktur für vorgegebene Einstellwerte (Faustformelverfahren)

Für die Verfahren zur Identifikation der Regelstrecke, die sich nicht auf die Definition der Ersatz-Übertragungsfunktion (Ziegler-Nichols, T-Summenregel) sondern auf Einstelldaten für verschiedene Standardregler beziehen, kommt für die Anwendung des PID-Reglers nur die Parallelstruktur in Frage:

GR(s) = Kp*(1+1/(Tn*s)+Tv*s)

Die Werte für die Vorhaltezeit Tv und der Nachstellzeit Tn sind nach dieser Gleichung definiert, wenngleich eine Umrechnung in die Produktdarstellung sich genau so darstellt, wie im nachfolgenden Beispiel definiert, haben die Beiwerte Kp, Tn und Tv eine andere Bedeutung, sie sind mit einander verknüpft.

Nach Chiem, Hrones und Reswick können für die 3 erforderlichen Parameter des PID-Reglers solche Werte gewählt werden, dass für den geschlossenen Regelkreis die Sprungantwort aperiodisch oder mit 20% Überschwingungen verläuft. Des Weiteren können diese beiden Fälle noch mit unterschiedlichen Führungseigenschaften und Störeigenschaften gewählt werden.

Sprungantwort eines Regelkreises nach dem "Faustformelverfahren"

Für einen PID-Regler mit Führungsverhalten und aperiodischem Einschwingen der Regelgröße werden folgende Einstellwerte angegeben:

Kp = 0,6*Tg / (Ks*Tu), Tn = Tg, Tv = 0,5*Tu

Man darf davon ausgehen, dass es sich bei diesen Angaben nur um „Annäherungswerte“ handelt, denn es ist nicht bekannt, wie diese Daten entstanden sind:

• Ungenauigkeiten beispielsweise bei dem Wendetangentenverfahren als Funktion der Sprungantwort unterschiedlicher Ordnung der Verzögerungsglieder.
• Unter welchen Signalbegrenzungen wurden die Einstelldaten gewonnen? Es darf angenommen werden, dass im Jahre 1952 nur Analogrechner zur Verfügung standen.
• Wie wurde mit dem D-Glied differenziert, hat man eine parasitäre Zeitkonstante berücksichtigt?
• Welche Störungsübertragungsfunktion wurde berücksichtigt. Greift die Störung am Eingang der Strecke oder am Ausgang der Strecke an?

Grafische Darstellung

Die dargestellten 2 Abbildungen beziehen sich auf die Ermittlung der Ersatzstrecke nebst Kennwerten und der Sprungantwort des so dimensionierten Regelkreises mit PID-Regler. Für die Parametrierung des Reglers wurde „Führungsverhalten mit aperiodischem Einschwingen" gewählt. Der Verlauf der Regelgröße zeigt kein aperiodisches Verhalten und ist außerdem schlecht gedämpft.

Beispiel PID-Reglerstruktur für eine Regelstrecke 2. oder höherer Ordnung mit bekannter Übertragungsfunktion

Parametrierung eines PID-Reglers nach der Polstellen- Nullstellenkompensation

Liegt die Übertragungsfunktion der Strecke vor, empfiehlt sich für die Parametrierung des Reglers die Methode der Polstellen-Nullstellenkompensation anzuwenden. Der PID-Regler wird in Produktschreibweise definiert, d.h. der PID-Regler wird aus den Anteilen der Gesamtverstärkung des offenen Kreises und den beiden PD-Gliedern zusammengefasst.

• Gesamtverstärkung K = KPID*Ks
• PD-Glied Gr1(s) = Tv1*s+1)
• PD-Glied Gr2(s) = Tv2*s+1)
• I-Glied Gr3(s) = 1 / s

Damit stehen 2 unabhängige PD-Glieder für die Kompensation von 2 PT1-Gliedern zur Verfügung. Die Übertragungsfunktion des PID-Reglers lautet damit:

Gr(s) = K*(Tv1*s+1)*(Tv2*s+1) / s

Strategie der Dimensionierung des PID-Reglers nach der Polstellen- Nullstellenkompensation

Es werden die 2 Verzögerungsglieder mit den größten Zeitkonstanten kompensiert. Damit fehlt nur noch die Dimensionierung von K. Der damit wirksame offene „Rest-Regelkreis“ nach der Kompensation besteht noch aus K, I-Glied und einem oder mehreren PT1-Gliedern.

Für die Berechnung der Gesamtverstärkung K des Reglers gibt es einfache Zusammenhänge, die davon abhängen, ob weitere Verzögerungen oder eine Totzeit der Strecke vorliegen.

Durch Analyse eines Regelkreises bestehend aus einem I-Glied und einem PT1-Glied kann man nachweisen, dass für eine bestimmte Kreisverstärkung K für beliebig große PT1-Glieder mit der Zeitkonstante T eine konstante Dämpfung der Regelgröße erreicht wird.

K = 0,5 / T für eine Überschwingung der Sprungantwort von 5 % für alle T-Werte,

K = 0,7 / T für eine Überschwingung der Sprungantwort von 10 % für alle T-Werte.

Liegen noch weitere Verzögerungen vor, können die Zeitkonstanten addiert werden, mit dem Nachteil, dass sich die Dämpfung verschlechtert.

Mit diesen Angaben kann ein PID-Regler für eine nichtschwingende PT3-Regestrecke – also 3. Ordnung – direkt für gutes Führungsverhalten dimensioniert werden.

• Bei insgesamt 2 Verzögerungen

Wenn keine weiteren Verzögerungen vorhanden sind, kann für K theoretisch eine unendliche Verstärkung gewählt werden.

• Bei insgesamt 3 bis 4 Verzögerungen

Wenn nur eine weitere 3. bzw. eine dominante Zeitkonstante T3 und eine 4. wesentlich kleinere Zeitkonstante T4 vorliegt, gilt folgende Beziehung:

K = 0,7 / T3 oder K = 0,7 / ( T3+T4)

Bei dieser Verstärkung K ergibt sich eine Überschwingung von 10 % für die Sprungantwort!

Grafische Darstellung

Die Sprungantwort zeigt entsprechend der Parametrierung des PID-Reglers den gewünschten Verlauf. Wegen der Zeitkonstante T4 beträgt die Überschwingung anstatt 10% ca. 12%.

Beispiel: PID-Reglerstruktur für eine Regelstrecke mit 2 Verzögerungen und einer Totzeit

Steckenparameter nach einer Ersatzregelstrecke mit 2 PT1-Gliedern und einer Totzeit

Siehe Kapitel „Experimentelle Identifikation von Regelstrecken“

Für die im Beispiel aufgeführte Regelstrecke Gs1(s) wurde aus der Sprungantwort eine Ersatz-Übertragungsfunktion Gs2(s) durch ein Simulationsprogramm gefunden, das aus 2 gleichen PT1-Gliedern und einem Totzeitglied besteht. Der Verlauf der Sprungantworten beider Regelstrecken unterscheidet sich um weniger als 1 % des Maximalwertes. Die Übertragungsfunktion der Ersatzregelstrecke lautet:

Gs2(s) = e^(-sTt) / (T*s+1)² = e^(-s*0,5) / (1,9*s+1)²

Der empfohlene PID-Regler wird in faktorieller Darstellung wie im vorhergehenden Beispiel definiert:

Gr(s) = K*(Tv1*s+1)*(Tv2*s+1) / s

Durch Analyse eines Regelkreises bestehend aus einem I-Glied und einem Totzeitglied kann man nachweisen, dass für eine bestimmte Kreisverstärkung K für beliebig große Tt-Werte eine konstante Dämpfung der Regelgröße erreicht wird.

K = 0,5 / Tt für eine Überschwingung der Sprungantwort von 5 % für alle Tt-Werte,

K = 0,6 / Tt für eine Überschwingung der Sprungantwort von 10 % für alle Tt-Werte.

Die Ermittlung der Parameter erfolgt durch die Polstellen-Nullstellenkompensation.

Tv1 = 1,9 [s], Tv2 = 1,9 [s], K = 0,6 / 0,5 = 1,2 für 10 % Überschwingungen.

Grafische Darstellung

Bei der in diesem Beispiel dargestellten Grafik wird in der Simulation als Regelstrecke die (eigentlich unbekannte) Originalfunktion Gs1(s) berücksichtigt. Die Parametrierung des Reglers erfolgte nach der durch Simulation gefundenen Ersatzfunktion. Die Sprungantworten der beiden Regelstrecken Gs1(s) und Gs2(s) sind nahezu identisch. Der Verlauf der Regelgröße ist ähnlich wie in dem vorherigen Beispiel mit direkter Parametrierung des Reglers nach der Übertragungsfunktion Gs1(s).

Einschränkungen:

Die nach diesen Vorgaben eingesetzte Strategie der Auslegung des PID-Reglers für eine gegebene Regelstrecke nach Beispiel 2 uns 3 ist einfach und ergibt in der Simulation des Regelkreises für eine Sprungantwort ein gutes Führungsverhalten, dass nicht nachjustiert werden muss.

In der Realität müssen die nachfolgend geschilderten Punkte beachtet werden:

• Parasitäre Zeitkonstante

Für den Einsatz analoger Regler mit einem D-Glied muss eine kleine parasitäre Zeitkonstante hinzugefügt werden, anderenfalls würde die Ausgangsstufe von der Eingangsimpedanz des D-Gliedes zu stark belastet. Diese zusätzliche Verzögerung führt in dem geschlossenen Regelkreis zu einer Verschlechterung der Dämpfung.

• Signalbegrenzungen

Bei analogen Reglern lassen sich Signalbegrenzungen nicht vermeiden. Das Ziel muss sein, wenigstens im Arbeitsbereich des Reglers für eine Regelgröße von 100 % die Begrenzungen erst bei dem 5- bis 10-fachen Wert wirken zu lassen. Die Begrenzung der Strecke muss der des Reglers angepasst sein.

Bei digitalen Reglern ist zu prüfen, ob die Schnittstelle Regler-Strecke die genannten Bedingungen einhält.

• Forderungen der Störverhaltens

Wenn die Störgröße am Ausgang der Regelstrecke angreift, bestimmt die sogenannte charakterische Gleichung - das Nennerpolynom - das Verhalten der Störungsübertragungsfunktion. Die charakteristische Gleichung ist für das Führungsverhalten wie auch für das Störverhalten identisch. Durch Erhöhung der Kreisverstärkung wird das Abklingen der Störung reduziert und gleichzeitig die Dämpfung verschlechtert.

Greift die Störung z.B. am Eingang der Regelstrecke an, muss ein Kompromiss zwischen guter Führungs- oder Störungseigenschaft getroffen werden. Eine Reduzierung der Amplitude dieses Störeinflusses erfordert eine Erhöhung der Kreisverstärkung und der Zeitkonstanten Tv. Damit verschlechtert sich die Dämpfung der Regelgröße u.U. erheblich. Ein guter Kompromiss kann mit einem Simulationsprogramm gefunden werden.

• Sind die Parameter der Regelstrecke auf Dauer konstant?

Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)

Der Begriff der Systemtheorie wird in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen angewendet und hat in Bezug auf den Primärbegriff "System" keine einheitliche Bedeutung. Systeme können sich als physikalische, ökologische, ökonomische, soziale oder biologische Systeme klassieren. Diese lassen sich wiederum als mathematische oder physikalische Modelle darstellen.

Die Systemtheorie der Ingenieurwissenschaft wird selten als eine eigenständige Disziplin aufgefasst, sondern sie ist notwendiger Bestandteil des Fachwissens in der Forschung, Lehre und technischer Bereiche wie Automatisierung, Mess- und Regelungstechnik, Verfahrenstechnik, Informatik, Elektrotechnik und andere.

Grundsätzlich bezieht sich die Systemtheorie auf einen Prozess innerhalb eines abgegrenzten dynamischen Systems beliebiger Struktur von Einzelsystemen mit beliebiger Anzahl von Eingangs- und Ausgangsgrößen. Sie analysiert und synthetisiert dynamische Systeme als Übertragungssystem und die Signale der Systemschnittstelle.

Methoden der Systemtheorie:

• Identifikation der Systemstruktur
• Modellbildung eines Systems
• Methoden der mathematischen Beschreibung des Einzelsystemverhaltens
• Systeme mit Zeitinvarianz und Zeitvarianz
• Lineare und nichtlineare Systeme
• Definition von Mehrgrößensystemen
• Allgemeine Definition der Systemstabilität
• Definition geeigneter Testsignale
• Identifikation des Systems aus der Systemantwort

Dynamische Systeme

Ein dynamisches System ist eine Funktionseinheit mit einem bestimmten Zeitverhalten und hat mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang. Es ist meist ein mathematisches Modell eines realen Systems, welches mit Hilfe mathematische Werkzeuge für gegebene Eingangssignale den Verlauf der Ausgangssignale eines bestimmten Zeitpunktes t(0) für t > t(0) detailliert bestimmt.

Ausnahmsweise werden auch physikalisches Modelle verwendet. Beispiele: Strömungskanal im verkleinertem Maßstab, Regelkreisnachbildung mit einem Analogrechner.

Das zeitliche Verhalten des dynamischen Systems ist durch die inneren Systemgrößen bestimmt, die als Energiespeicher vorhanden sind und sich nicht sprunghaft ändern können. Sie bedeuten z.B. Spannung an einem Kondensator, Strom in einer Induktivität, bei einem Feder-Massesystem die potentiellen und kinetischen Energieanteile. Diese Systeme können sich linear, nichtlinear, zeitinvariant und zeitvariant als Eingrößen- und Mehrgrößensystem verhalten.

Ein statisches System im Sinne der Systemtheorie hat verschwindend kleine Energiespeicher und damit angenähert kein Zeitverhalten, sondern wird durch das Eingangs-Ausgangsverhalten des Systems definiert. Dieses Verhalten kann kontinuierlich linear, kontinuierlich nichtlinear oder diskontinuierlich (gebrochene Funktion) auftreten und wird -soweit möglich - durch eine mathematische Modellbeschreibung oder durch Wertetabellen angenähert beschrieben.

Als Ubertragungsverhalten eines dynamischen Systems bezeichnet man die Bewegung des Ausgangssignals dieses Systems in Abhängigkeit von dessen Eingangssignal bei verschwindenden Anfangsbedingungen für beliebige Eingangssignale. Dieses Verhalten eines Ein- oder Mehrgrößensystems bezeichnet man als Übertragungsfunktion G(s) mit der komplexen Frequenz s.

Berechnungen des Verhaltens von linearen Systemen im s-Bereich setzen für die systembeschreibende Differenzialgleichung f(t) wie auch für das Eingangssignal eine Transformation in f(s) voraus. Der Vorteil dieser Systemberechnung liegt in der einfachen algebraischen Behandlung.

Von Interesse ist aber auch das Übertragungsverhalten eines Systems, dessen Energiespeicher Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0 haben. Für diese Anwendungen kommen andere mathematische Werkzeuge wie Lösungsverfahren der homogenen und partikulären inhomogenen Differenzialgleichung infrage.

Modelle eines dynamischen Übertragungssystems werden mathematisch beschrieben durch:

• Differenzialgleichungen

Die Beschreibung von linearen, zeitinvarianten Systemen mit konzentrierten Energiespeichern (im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Speichern → Partielle Differenzialgleichung) erfolgt mit gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Von Interesse ist die homogene und partikuläre Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung.

• Übertragungsfunktion

Für lineare zeitinvariante Systeme ist die Übertragungsfunktion die häufigste Darstellungsform für das Ausgangs- Eingangsverhalten eines Übertragungssystems im komplexen Frequzenzbereich mit der komplexen Variable s.

Sie entsteht durch die Laplace-Transformation der Terme der systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Analyse verschiedener Arten einer linearen gewöhnlichen Differenzialgleichung beliebiger Ordnung ergibt maximal 3 verschiedene Grundpolynome der Übertragungsfunktion, nämlich ein Monom, Binom und Trinom. Diese haben ein völlig unterschiedliches Übertragungsverhalten, ob sie im Nenner (verzögernd) oder Zähler (differenzierend) einer Übertragungsfunktion stehen.

• Zustandsraumdarstellung

Das Zustandsraummodell kann für nicht sprungfähige Systeme direkt aus den Koeffizienten der systembeschreibenden Differenzialgleichung oder der zugehörigen Übertragungsfunktion erstellt werden. Es gilt als ingenieurtechnisch geeignete Methode der Analyse und Synthese dynamischer Systeme im Zeitbereich und ist besonders effizient bei der regelungstechnischen Behandlung von Mehrgrößensystemen, nichtlinearen und zeitvariablen Übertragungssystemen.

• Numerische Beschreibung linearer und nichtlinearer Systeme

Relativ einfache Übertragungssystem-Strukturen mit nichtlinearen Elementen, Begrenzungseffekten und Totzeitsystemen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar. Abhilfe bietet die numerische Berechnung im diskreten Zeitbereich Δt.

Derartige Modellberechnungen insbesondere bei Systemen höherer Ordnung linear oder nichtlinear mit und ohne Anfangswerten sind besonders anschaulich verständlich, weil sie das Zeitverhalten einer Kette von Modulen für einen kleinen Zeitschritt beschreiben, so wie sich das Übertragungssystem in der Realität darstellt.

Beschreibung linearer Prozesse im Zeitbereich

Ein dynamisches System kann durch das Aufstellen von Differenzialgleichungen modelliert werden. Dazu benötigt man für die Energie-/Materie-Speicher zunächst Bilanzgleichungen.

Fur jeden konzentrierten Speicher entsteht eine Differenzialgleichung erster Ordnung. Das Verhalten eines linearen Systems wird vollständig durch die Lösung der Differenzialgleichung wiedergegeben. Es wird untersucht, wie für gegebenen Anfangszustand der Ausgangsgröße y(t=0)= Y(0) und gegebene Eingangsgröße u(t) die Differenzialgleichung gelöst und mit Hilfe der Ausgabegleichung die Ausgangsgröße u(t) des Systems berechnet werden kann.

Als Grundlage dafür wird zunächst die aus der Mathematik bekannte Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung

$y'(t)={\frac {dy}{dt}}=a\cdot y+b\cdot u(t);\quad Anfangswert:\,y(t=0)=y(0)$

wiederholt, die einer Differenzialgleichung erster Ordnung entspricht.

Linearität: Ein Zusammenhang y = f (x) ist linear, wenn es gilt:

• Additivität (Superpositionsprinzip):

$f(x_{1})+f(x_{2})=f(x_{1}+x_{2})\,$

• Homogenität (Verstärkungsprinzip):

$K\cdot f(x)=f(K\cdot x)\,$

Kausalität:

Der Ausgang eines kausalen Systems zum Zeitpunkt t = t₀ hängt nur von Größen der Gegenwart t = ≥ t₀ und der Vergangenheit t ≤ t₀ ab. Eine Eingangsgröße zum Zeitpunkt t = t₀ kann nur den gegenwärtigen und den zukünftigen Verlauf t ≥ t₀ der Ausgangsgröße beeinflussen.

Zeitinvarianz:

Ein dynamisches Übertragungssystem ist zeitinvariant, wenn es über die Zeit nicht ändert. D.h. die Systemantwort y(t+t₀) auf ein identisches Eingangssignal u(t+t0) ist von t₀ unabhängig. Die Parameter der mathematischen Systembeschreibung sind zeitlich unveränderlich (invariant).

Zeitvarianz

Ein zeitvariantes System verhält sich zu verschiedenen Zeitpunkten unterschiedlich. Bei technischen Systemen liegt der Grund dafür meist in zeitabhängigen Parameterwerten, z. B. durch Änderung der Energiespeicher.

Beispiel für ein typisches zeitvariantes Verhalten ist eine startende Rakete, deren Masse sich durch den verbrauchten Treibstoff ändert. Häufig spielt bei kleineren Massen der mechanische Verschleiß eine Rolle.

Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Eine Differenzialgleichung (kurz DGL) ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält.

Kommen Ableitungen nur bezüglich einer Variablen vor, spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen, wobei der Begriff "gewöhnlich" sich darauf bezieht, dass die betrachtete Funktionen nur von einer Veränderlichen abhängt.

Mit den gewöhnlichen DGL lassen sich viele dynamische Systeme aus der Technik, Natur und Gesellschaft beschreiben. Viele auf den ersten Blick sehr verschiedene physikalische Probleme lassen sich mit DGL jedoch formal identisch darstellen.

Gleichungen, deren Lösungen Funktionen mehrerer Variablen sind und die partielle Ableitungen dieser Funktionen enthalten, sind partielle Differentialgleichungen.

Eine lineare DGL enthält die gesuchte Funktion und deren Ableitungen nur in der ersten Potenz. Es dürfen keine Produkte der gesuchten Funktion und ihren Ableitungen auftreten. Die gesuchte Funktion darf auch nicht in Argumenten von Winkelfunktionen, Logarithmen usw. erscheinen.

Nichtlineare Differenzialgleichungen sind nur in sehr seltenen Ausnahmefällen analytisch lösbar. Sie können mittels der numerischen zeitdiskreten Methoden gelöst werden

Ein dynamisches System kann durch das Aufstellen von Differenzialgleichungen modelliert werden. Dazu werden für sämtliche Energiespeicher des Systems die zugehörigen Bilanzgleichungen benötigt, die durch eine Differenzialgleichung 1. Ordnung beschrieben werden. Für jeden konzentrierten Energiespeicher entsteht eine Differenzialgleichung erster Ordnung. Das Ergebnis ist eine lineare zeitinvariante gewöhnliche DGL mit konstanten Koeffizienten.

Nach der Systemtheorie wird ein lineares dynamisches System g(t) durch einen oder mehrere Eingänge u(t) und einen oder mehrere Ausgänge y(t) beschrieben. Lineare Systeme mit mehreren Ein- und Ausgängen werden durch ein System von Differenzialgleichungen beschrieben.

Grundlagen der Differenzialgleichung

Notation zur Darstellung der Ableitungen

• Die formal korrekte Darstellung einer Ableitung einer Funktion f(x) lautet: ${\frac {d}{dx}}f(x)$

• Die gleiche Funktion in Kurzform: $f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)$

• Die 2. Ableitung dieser Funktion lautet: $f''(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)$

• Bei höheren Ableitungen ist diese Kurzform nicht geeignet, statt dessen wird n = Zahl der Ableitungen in Klammern angegeben:
  

$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$

• Bei physikalischen Prozessen würd häufig nach der Zeit abgeleitet und dies bei der Kurzform durch Punkte gekennzeichnet.
  

Beispiel: Geschwindigkeit v = Weg Δs / Zeit Δt.

Bestimmung der Geschwindigkeit: $v={\frac {d}{dt}}s(t)$

• Bestimmung der Geschwindigkeit in Kurzform: $v={\dot {s}}(t)={\frac {d}{dt}}s(t)$

• Bestimmung der Beschleunigung a als 2. Ableitung des Weges s: $a={\dot {v}}(t)={\ddot {s}}(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Fazit: Ableitungsstriche sind leichter zu erkennen als Punkte. Ableitungen nach der Zeit sind eindeutig durch die unabhängige Variable (t) zu erkennen.

Allgemeine Definition:

Eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, in der eine Funktion y(x) und deren Ableitungen auftreten. Gesucht ist die Funktion.

Beispiele für Formen gewöhnlicher DGL:

$x(t)=c\cdot {\dot {x}};\qquad {\dot {x}}(t)=-c\cdot {\ddot {x}};\qquad x(t)=c_{1}\cdot {\dot {x}}+c_{2}\cdot {\ddot {x}}+c_{3}\cdot x^{3}+\cdots$

Eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist eine DGL, die nur die Ableitung erster Ordnung der gesuchten Funktion enthält, nicht jedoch höhere Ableitungen. Außerdem kann die DGL erster Ordnung noch die Funktion selbst, einen konstanten Term oder die unabhängige Variable enthalten.

Eine DGL erster Ordnung ist linear, wenn sie in folgender Form darstellbar ist.

${\dot {x}}=a\cdot x(t)+g(t)$

Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden:

oder im physikalischen Fall (bei einer Ableitung nach der Zeit)

Mathematische Definition der DGL mit der Systemausgangsgröße y(t) als Variable:

Eine gewöhnliche DGL ist eine Bestimmungsgleichung für eine Funktion einer Variablen. Die Ordnung der Differentialgleichung ist bestimmt durch die höchste auftretende Ableitung:

Eine Gleichung, in der gewöhnliche Ableitungen einer unbekannten Funktion y(t) bis zur n-ten Ordnung auftreten, wird als gewöhnliche Differentialgleichung n-ter ordnung bezeichnet. Ordnung. Eine gewöhnliche DGL n-ter Ordnung enthält als höchste Ableitung die n-te Ableitung
y⁽ⁿ⁾(t) der unbekannten Funktion y(t). Sie kann auch Ableitungen niedrigerer Ordnung sowie die Funktion y(t) und deren unabhängige Variable t enthalten.

Die DGL können in impliziter oder expliziter Form dargestellt werden.

In der impliziter Form lässt sich eine DGL n-ter Ordnung wie folgt beschreiben:

$F(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots y^{(n)})\,=0$

Ist die implizit dargestellte DGL nach der höchsten Ableitung y⁽ⁿ⁾ auflösbar, so ergibt sich die explizite Form:

$y^{(n)}=f(t;\ y;\ {\dot {y}};\ {\ddot {y}}\ \cdots y^{(n-1)})\,$

$F(y;{\frac {dx}{dy}};\,{\frac {dx'}{dy'}};\,{\frac {dx''}{dy''}}\cdots {\frac {dx^{(n)}}{dy^{(n)}}})\,=f(x)$

Separation der Variablen:

Eines der bekanntesten Verfahren zum expliziten Lösen der DGL ist das Lösen durch Trennung der Variablen. Für die homogene DGL erster Ordnung ist das Standardlösungsverfahren die Trennung bzw. Separation der Variablen. Dabei wird die DGL auf eine Form gebracht, bei der die Variablen x und y nur noch in voneinander getrennten Termen auftreten. Die entstehende Gleichung kann dann sofort integriert werden.

Dazu werden alle Terme mit t auf die eine Seite der Gleichung gebracht, alle Terme mit x auf die andere.

Eine Differentialgleichung erster Ordnung heißt linear, wenn sie in der Form je nach Art der Variable

$y'={\frac {dy}{dx}}=g(y)*f(x)\quad oder\quad x'=a\cdot x(t)+g(t)\,$

darstellbar ist.

Beispiel:

$y'={\frac {dy}{dx}}=y^{2}*x$

Entstehung einer Differenzialgleichung

Eine DGL ist eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion. Die Lösung einer DGL ist keine Zahl sondern eine Funktion!

Beispiel elektrischer Schwingkreis:

Spannungsbilanz: Nach dem 2. Kirchhoffschen Satz ist Summe aller Spannungen einer Masche gleich Null.

$U_{R}+U_{L}+y=u\,$

Der Spannungsabfall am Widerstand R ergibt sich zu U_R = i * R. Nach dem Induktionsgesetz ist die Spannung an der Induktivität U_L = L * di / dt. Der Ladestrom am Kondensator ist proportional der Spannungsänderung am Kondensator i(t) = C * dy / dt.

Die Anwendung des Maschensatzes führt zunächst zu einer Differenzialgleichung 1. Ordnung:

$R\cdot i(t)+L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+U_{C}(t)=u(t)$

Setzt man in die DGL für i(t):

$i(t)=C\cdot {\frac {dU_{C}(t)}{dt}}$

ein, dann ergibt sich die Schwingungsgleichung:

$y(t)+R\cdot C\cdot {\dot {y}}(t)+L\cdot C\cdot {\ddot {y}}(t)=u(t)\,$

Es können Zeitkonstanten wie T1 = R * C und T2² = L * C eingeführt werden. Damit lautet die bekannte DGL für einen Reihenschwingkreis:

$T_{2}^{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+T_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=u(t)\,$

Allgemeine Form einer Differenzialgleichung für die Ausgangsgröße y(t) mit der Eingangsgröße u(t):

$a_{n}\cdot y^{(n)}(t)+\ \cdots \ +a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)+b_{1}\cdot {\dot {u}}(t)+b_{2}\cdot {\ddot {u}}(t)+\ \cdots \ +b_{m}\cdot u^{(m)}(t)$

Anmerkungen zur Form einer DGL aus der Sicht der Systemtheorie:

• Die Koeffizienten der Terme der DGL enthalten die Parameter, aus denen die DGL entstanden ist. Es kann für die verschiedenen Lösungswege der DGL sinvoll sein, den Koeffizienten der höchsten Ableitung a_n auf 1 zu beziehen, in dem sämtliche Terme durch a_n dividiert werden.
• Die Koeffizienten a beziehen sich auf die Ableitungen der Ausgangsgröße y(t), deren Terme üblicherweise links des Gleichheitszeichen steht.
• Die Koeffizioenten b beziehen sich auf die Ableitungen der Eingangsgröße u(t), deren Terme rechts des Gleichheitszeichen steht
• Die Ein- und Ausgangsgrößen y(t) und u(t) sind die Variablen der DGL.
• Der höchste Grad der Ableitung von $y(t)\;$ gibt die Anzahl der Speicherelemente des Übertragungssystems wieder. Das Verhältnis der maximalen Ableitungen der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße eines Übertragungssystems bezieht sich auf n ≥ m. In der Praxis sind nur Systeme
  n > m realisierbar.

Differentialgleichungen 2. Ordnung

Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist eine Erweiterung der DGL erster Ordnung, bei der eine zusätzliche 2. Ableitung der gesuchten Funktion auftritt. Die technische Realisierung entspricht in Abhängigkeit der Koeffizienten a untereinander einem Übertragungssystem mit 2 in Reihe geschalteten Verzögerungsgliedern 1. Ordnung (2 PT1-Glieder) mit reellen Polen oder einem Schwingungsglied mit konjugiert komplexen Polen und einer Dämpfung 1 > D > 0.

Als Übertragungsverhalten eines derartigen Systems bezeichnet man die Bewegung des Ausgangssignals y(t) dieses Systems in Abhängigkeit des Eingangssignals u(t) bei verschwindenden Anfangsbedingungen. Dieses Verhalten wird mit der partikulären Lösung der DGL beschrieben.

Liegen Anfangswerte y(0) des Übertragungssystems vor, so wird der homogene Teil der DGL mit u(t) = 0 gelöst. Die Gesamtlösung der DGL setzt sich für ein gegebenes Eingangssignal u(t) und Anfangswerten y(0) aus der Addition der homogenen Lösung und der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen.

$y(t)=y_{H}(t)+y_{P}(t)\,$

In den meisten Anwendungsfällen der Systemanalyse technischer Systeme interessiert die partikuläre Lösung y_P(t) der gewöhnlichen DGL.

Die allgemeinste Form ist die inhomogene DGL 2. Ordnung eines Übertragungssystems G(t) mit der Ausgangsgröße y(t) und der Eingangsgröße u(t) mit konstanten Koeffizienten lautet:

$y''+a_{1}\cdot y'+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)$

Der Koeffizient der 2-fachen Ableitung a2 von y⁽²⁾(t) wurde aus Vereinfachungsgründen gleich 1 gesetzt, in dem die gesamte DGL durch a2 dividiert wurde.

Lösung gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen

• Die Lösung einer Differentialgleichung erfogt durch Integration.

• Jede Integration ergibt Integrationskonstanten, deren Anzahl durch die Ordnung der DGL bestimmt ist. Die Lösung einer DGL n-ter Ordnung enthält n voneinander unabhängiger Integrationskonstanten.

• Eine lineare gewöhnliche DGL hat zwei Lösungsanteile:

Die Lösung der homogenen DGL entspricht der freien Bewegung des Systems und ist abhängig von den Anfangswerten y(t = 0) = y₍₀₎ zum Zeitpunkt t = 0. Sind keine Anfangswerte gegeben, ist die homogene Lösung der DGL y_H = 0.

Die partikuläre Lösung der inhomogenen DGL beschreibt die erzwungene Bewegung des Systems durch das Eingangssignal u(t), das gelegentlich auch als Störglied bezeichnet wird.

Erst die Gesamtlösung der DGL gibt Aufschluß darüber, wie sich bei bekanntem Eingangssignal u(t) und möglichen Anfangswerten y(0) sich das Ausgangssignal y(t) verhält.

• Das Lösungsschema für gewöhnliche lineare DGL lautet wie folgt:

Bestimmung der Lösung y_H(t) der homogenen Differenzialgleichung.

Die homogene DGL beschreibt das Verhalten ohne Eingangsgröße (also für u(t) = 0), das sog. Eigenverhalten, d.h. das System bleibt ausgehend von den Anfangswerten sich selbst überlassen:

$a_{n}\cdot y^{(n)}(t)+\ \cdots \ +a_{2}\cdot y''(t)+a_{1}\cdot y'(t)+a_{0}\cdot y(t)=0$

• Das Verfahren der Separation der Variablen auf lineare homogene DGL ist auf DGL 1. Ordnung beschränkt.
• Mit Hilfe des Exponentialansatzes lassen sich auch DGL höherer Ordnung lösen. Er gilt als universelles Lösungsverfahren für homogene DGL beliebiger Ordnungen mit konstanten Koeffizienten.

Folgender Exponentialalansatz für y(t) liefert Ableitungen der Form:

$y=e^{\lambda \cdot t}$

Die Ableitungen des Lösungsansatzes ergeben sich zu:

${\dot {y}}=\lambda \cdot e^{\lambda \cdot t}=\lambda \cdot y;\qquad {\ddot {y}}={\lambda }^{2}\cdot e^{\lambda \cdot t}={\lambda }^{2}\cdot y;\qquad y^{(n)}={\lambda }^{(n)}\cdot e^{\lambda \cdot t}={\lambda }^{n}\cdot y$

Werden diese Ableitungen in die oben stehende homogene DGL eingesetzt, entsteht die charakteristische Gleichung als Polynom n-ter Ordnung:

$a_{n}\cdot {\lambda }^{n}+a_{n-1}\cdot {\lambda }^{n-1}+\cdots +{\lambda }\cdot a_{1}+a_{0}=0$

Damit entsteht die Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte von λ.

Beispiel einer DGL 1. Ordnung:

Die DGL der Beschreibung einer elektrischen Beschaltung mit einem Widerstands R im Eingang und einem Kondensator C mit dem Eingangssignal u(t) und dem Ausgangssignal y(t) am Kondensator lautet:

$R\cdot C\cdot {\dot {y}}(t)+y(t)=u(t)$

Diese Gleichung wird so umgeformt, dass der Koeffizient der Ableitung R * C = 1 ist, in dem sämtliche Terme der Gleichung durch R*C dividiert werden und die Koeffizienten neu geordnet werden. Damit verschwindet der Koeffizient der Ableitung und wird zu 1.
Die Normalform der inhomogenen DGL 1. Ordnung lautet:

${\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)$

Lösung der DGL 1. Ordnung

Die Gesamtlösung der gewöhnlichen DGL ergibt sich aus der Überlagerung der Systemantworten für die Anfangsbedingung und dem Eingangsignal:

$y(t)=y_{H}(t)+y_{P}(t)\,$

Für die homogene Lösung der DGL wird das Eingangssignal u(t) gleich 0 gesetzt. Die Ausgangsgröße y(t) beschreibt das Verhalten des Systems für einen Anfangswert y₍₀₎ des Systemspeichers zum Zeitpunkt t ≥ 0:

${\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=0\,$

Die homogene Lösung der DGL mit einem Anfangswert y₍₀₎ z.B. = 1 = 100 % lautet:

$y_{H}(t)=e^{-a_{0}\cdot t}\cdot y_{0}$

Die partikuläre Lösung der DGL lautet mit Hilfe des Faltungsintegrals:

$y_{P}(t)=b_{0}\underbrace {\int _{0}^{t}e^{-a_{0}\cdot (t-\tau )}\cdot u(\tau )\cdot d\tau } _{Faltungsintegral}$

Die partikuläre Lösung der DGL für einen Einheitssprung 1 für t ≥ 0 als Eingangssignal u(t) lautet:

$y_{P}(t)={\frac {b_{0}}{a_{0}}}\cdot (1-e^{-a_{0}\cdot t})$

Es ergeben sich für den Eingangssignal-Sprung mit dem Koeffizienten a₀ je 3 Fälle des Verhaltens des Ausgangssignal y(t) der homogenen und partikulären Lösung der DGL:

Einfluss Koeffizient a0	Signalverlauf des Ausgangssignals
Koeffizient a0 > 0	yH(t) klingt exponentiell von der Anfangsbedingung y(0) auf 0 ab yP(t) nähert sich von 0 exponentiell dem Endwert b0 / a0
Koeffizient a0 = 0	yH(t) verbleibt an dem Niveau der Anfangsbedingung y(0) yP(t) steigt von 0 rampenförmig stetig an
Koeffizient a0 < 0	yH(t) wächst exponetiell über die Anfangsbedingung y(0) hinaus über alle Grenzen yP(t) wächst von 0 exponentiell über alle Grenzen

Beispiel einer DGL 2. Ordnung:

$a_{2}\cdot {\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=b_{0}\cdot u(t)$

Diese Gleichung wird so geformt, dass der Koeffizient der höchsten Ableitung a₂ = 1 ist, indem sämtliche Terme der Gleichung durch a2 dividiert werden und die Koeffizienten neu geordnet werden. Damit verschwindet a₂.

Die homogene Lösung der DGL 2. Ordnung lautet:

${\ddot {y}}(t)+a_{1}\cdot {\dot {y}}(t)+a_{0}\cdot y(t)=0$

Die Ableitungen des Exponentialansatz werden in die homogene DGL eingesetzt

${\lambda }^{2}\cdot y+a_{1}\cdot {\lambda }\cdot y+a_{0}\cdot y=0$

Diese charakteristische Gleichung ist für beliebige y erfüllt, wenn das charakteristische Polynom verschwindet.

${\lambda }^{2}+a_{1}\cdot {\lambda }+a_{0}=0$

Die Ermittlung der Eigenwerte (Nullstellen) erfolgt mit der bekannten Lösung der gemischt quadratischen Gleichung:

${\lambda }_{1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}-a_{0}}}$

Für die homogene DGL zweiter Ordnung müssen 2 Anfangswerte y₀ und y'₀ für die Berechnung der Integrationskonstanten C₁ > 0 und C₂ > 0 vorgegeben werden, damit die Gleichung gelöst werden kann. Die Integrationskonstanten C errechnen sich durch Vorgabe von Werten y₀ und y'₀ anstelle von y_H(t) der Lösungsgleichung der homogenen DGL 2. Ordnung. Die Lösungsgleichung für y₀ wird für t = 0 errechnet und für y'₀ werden die Ableitungen für t bestmmt.

Durch die verschiedenen Arten der Lösungen der Wurzel bedingt durch die Größe des Radikanten ergeben sich 3 unterschiedliche Fälle der Eigenwerte λ der DGL wie:

Lösung der homogenen linearen Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten	Wurzeln (Nullstellen)	Anfangswertproblem Bestimmung C1, C2
Der Radikant > 0 hat 2 reelle Wurzeln $y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot e^{{\lambda }_{2}\cdot t}$	${\lambda }_{1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}-a_{0}}}$	$C_{1}={\frac {{\dot {y}}_{(0)}-y_{(0)}\cdot \lambda _{2}}{\lambda _{1}-\lambda _{2}}}\,$ $C_{2}=y_{(0)}-C_{1}\,$
Der Radikant = 0 hat 2 gleiche Wurzeln $y_{H}(t)=C_{1}\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}+C_{2}\cdot t\cdot e^{{\lambda }_{1}\cdot t}$	$\lambda =\lambda _{1;2}=-{\frac {a_{1}}{2}}$	$C_{1}=y_{(0)}\,$ $C_{2}={\dot {y}}_{(0)}-y_{(0)}\cdot \lambda \,$
Der Radikant < 0 führt zu konjugiert komplexen Wurzeln $y_{H}(t)=e^{\alpha \cdot t}\cdot [C_{1}\cdot cos(\beta \cdot t)+C_{2}\cdot sin(\beta \cdot t)]$	${\lambda }_{1;2}=\alpha \pm i\cdot \beta$ $\alpha =-a_{1}/2\,$ $\beta ={\sqrt {a_{0}-{\frac {{a_{1}}^{2}}{4}}}}$	$C_{1}={\frac {{\dot {y}}_{(0)}-\alpha \cdot y_{(0)}}{\beta }}$ $C_{2}=y_{(0)}\,$

Die partikuläre Lösung beschreibt das Übertragungsverhalten des Systems als Funktion des Eingangssignals u(t) und ist meist von hauptsächlichem Interesse. Mit Hilfe von y_P(t) lässt sich die partikuläre Lösung der DGL mittels

berechnen. Dabei dient als Ansatz die Lösung der homogenen DGL, wobei die n Konstanten C_K als Funktion C_K(t) aufgefasst werden.

Die DGL bezeichnet den Teil der Lösung, der durch ein von Null verschiedenes Eingangssignal (u(t) ≠ 0) erzeugt wird. Dieser Lösungsanteil ist durch das Eingangssignal u(t) vom System erzwungen.

• Schritt 3: Die Gesamtlösung ergibt sich aus der Überlagerung der Systemantworten auf die Anfangsbedingungen und auf das Eingangssignal:

y(t) = y_H(t) + y_P(t)

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