Unidirektionale Schicht

Unidirektionale Schicht (kurz: UD-Schicht) ist die Bezeichnung für ein Schicht eines Faserverbundwerkstoffs die nur aus einem Fasertyp besteht der in eine einzige Richtung orientiert ist. Die Fasern werden dabei als ideal parallel und homogen verteilt angenommen. Die UD-Schicht ist das Grundelement geschichteter Faserverbundwerkstoffe.

Anwendung

Die UD-Schicht ist das Grundelement der Berechnung von geschichteten Faserverbundwerkstoffen. Dies betrifft sowohl die Berechnung der elastischen Eigenschaften mit Hilfe der klassische Laminattheorie als auch die Festigkeitsberechnung (Bruchkriterien für Faserkunststoffverbunde).

Alle in Faserverbundwerkstoffen verwendete Faserhalbzeuge (z.B. Gewebe, Vliese, Multiaxialgelege) können aus elementaren UD-Schichten aufgebaut werden. So stellt ein Gewebe einen Kreuzverbund dar, der aus zwei, um 90° gedrehten, UD-Schichten aufgebaut ist.

Die UD-Schicht stellt hinsichtlich ihrer Steifigkeit und Festigkeit den Idealfall einer faserverstärkten Schicht dar. Daher werden die Steifigkeits- und Festigkeitseigenschaften von UD-Schichten oft abgemindert. Insbesondere die Annahme der ideal gestreckten Faser trifft in der Realität oft nicht zu. Wellige Schichten haben aber insbesondere eine niedrige Paralleldruckfestigkeit $R_{\|}^{+}$

mechanische Eigenschaften der UD-Schicht

Die UD-Schicht ist, unabhängig vom verwendeten Faser- oder Matrixtyp, transversal isotrop. Auch UD-Schichten die aus einer isotropen Faser (z.B. Glasfaser) bestehen ergeben eine orthotrope Elastizität. Die transversale Isotropie ist eine Sonderform der rhombischen Anisotropie oder Orthotropie. Bei der transversalen Isotropie ist eine Symmetrieebene des Werkstoffs gegenüber der Drehung invariant. Wird die UD-Schicht außerhalb ihrer Orthotropieachsen belastet zeigt sie anisotropes Verhalten.

Die transversale Orthotropie der UD-Schicht ist durch das Fehlen der Schiebungs-Dehnungs-Kopplung, eines richtungsabhängigen Elastizitätsmodul sowie der Invarianz gegenüber der Drehung um die Faserachse gekennzeichnet.

Indizierung

Die Beschreibung der UD-Schicht erfolgt in einem physikalischen $\|,\perp$-Koordinatensystem, bzw. im 1,2,3-System. Dabei entspricht 1 und $\|$ der faserparallelen Richtung und 2 bzw. $\perp$ der fasersenkrechten Richtung. Die Orthotropieachsen fallen mit den Koordinatenachsen zusammen.

International ist die 1,2,3-Indizierung üblich. Im englischsprachigen Raum wird jedoch oft eine andere Indizierung der Querkontraktionszahlen benutzt. Da die Querkontraktionszahlen $\nu _{\|\perp }$ und $\nu _{\perp \|}$ nicht identisch sind, kann es hier schnell zu Irrtümern kommen. Die Querkontraktionszahl $\nu _{\|\perp }$ ist stets die Kleinere von beiden und wird dementsprechend im Englischen, um Verwechslungen vorzubeugen, minor poisson ratio genannt.

Berechnung der Grundelastizitätsgrößen

Die Grundelastizitätsgrößen einer UD-Schicht berechnen sich aus den Elastizitätsgrößen von Faser und Matrix auf mikromechanischer Basis. Entsprechend ihrem Faservolumennteil gehen die Elastizitätsgrößen in die Gesamtsteifigkeit ein. Dabei wird in eine Reihenschaltung oder Parallelschaltung der Steifigkeiten unterschieden.

Die unabhängigen Elastizitätsgrößen sind der UD-Schicht eigen und können auf keinem anderen Weg berechnet werden. Alternativ können sie in Versuchen gemessen werden. Dies erweist sich jeoch, besonders im Fall der Querkontraktionszahlen, als schwierig. Daher wird überwiegend der Berechnungsweg über die Mikromechanik gewählt. Um Effekte wie die Dehnungsvergrößerung zu berücksichtigen sind eine Reihe von Korrekturen notwendig, die jedoch in der Mikromechanik berücksichtigt werden. Berechnungverfahren können der Literatur entnommen werden.

Die abhängigen Elastizitätsgrößen werden aus den unabhängigen Elastizitätsgrößen berechnet.

unabhängige Grundelastizitätsgrößen

Die folgenden Grundelastizitätsgrößen sind notwendig, um eine UD-Schicht vollständig zu beschreiben.

• 2-dimensionales Elastizitätsgestz: $E_{\|},E_{\perp },G_{\|\perp },\nu _{\|\perp }$
• 3-dimensionales Elastizitätsgestz: $E_{\|},E_{\perp },G_{\|\perp },\nu _{\|\perp },\nu _{\perp \perp }$

Anders als bei isotropen Werkstoffen lässt sich der Schubmodul $G_{\|\perp }$ nicht aus der Querkontraktionszahl berechnen. Dieser Schubmodul ist daher eine abhängige Größe.

Der Elastizitätsmodul in faserparalleler Richtung $E_{\|}$ ist wesentlich größer als der Modul in fasersenkrechter Richtung $E_{\perp }$. Dies ist darin begründet, daß die parallele Richtung von den steifen Fasern dominiert wird, während die senkrechte Richtung matrixdominiert ist.

abhängige Grundelastizitätsgrößen

Aus den unabhängigen Elastizitätsgrößen können die fehlenden abhängigen Elastizitätsgrößen berechnet werden. Der Schubmodul auf der transversalisotropen Ebene berechnet sich wie im Isotropen aus: ${\frac {E_{\perp }}{2(1+\nu _{\perp \perp })}}$. Die zweite Querkontraktionszahl $\nu _{\perp \|}$ wird aus der Maxwell-Betti-Beziehung $\nu _{\perp \|}=\nu _{\|\perp }{\frac {E_{\|}}{E_{\perp }}}$ berechnet.

Steifigkeitsmatrix

Mit Hilfe der abhängigen und unabhängigen Elastizitätsgrößen lässt sich die Steifigkeitsmatrix für den ebenen Spannungsfall aufstellen.

${\begin{bmatrix}{\frac {E_{\|}}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&{\frac {\nu _{\perp \|}E_{\perp }}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&0\\{\frac {\nu _{\|\perp }E_{\|}}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&{\frac {E_{\perp }}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&0\\0&0&G_{\perp \|}\end{bmatrix}}$

Die Matrix für den räumlichen Spannungsfall ergibt sich analog.

Transformation

Mit Hilfe der Polartransformation kann die Steifigkeitsmatrix der UD-Schicht um die 3-Achse (Achse normal zur Schichtebene) gedreht werden. Damit ist z.B. der Aufbau eines ausgeglichenen Winkelverbunds möglich. Die Polartransformation um einen Winkel $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}},\pi ,{\frac {3\pi }{2}}\dots$ führt zur Anisotropie in der UD-Schicht und damit zur Dehnungs-Schiebungs-Kopplung.

Anwendung in der Finite-Elemente-Methode

Die Grundelastizitätsgrößen können in allen gängigen FEM-Programmen genutzt werden, um das orthotrope bzw. anisotrope Verhalten einer UD-Schicht zu beschreiben. Es muss jedoch auf eine ausreichend feine Diskretisierung in Schichtdickenrichtung geachtet werden.