Regelungstechnik

Die Regelungstechnik ist eine Ingenieurwissenschaft, in der untersucht wird, wie Systeme so beeinflusst werden können, dass eine bestimmte Größe zu jeder Zeit einen vorgegebenen Wert aufweist. Ein einfaches Beispiel ist die Raumtemperatur: die Heizung wird über einen Thermostaten so geregelt, dass der dort eingestellte vorgegebene Wert eingehalten wird. Untersuchter Gegenstand der Disziplin Regelungstechnik ist der Regelkreis. Im Zentrum steht dabei die mathematische Behandlung von Regelungen, die besonders leistungsfähige Strukturen zur Systembeeinflussung sind. Es wird eine spezielle Systemtheorie verwendet, deren mathematische Methoden im Zuge der Ausformung der Regelungstechnik entwickelt worden sind.

Bei einer 'Regelung' wird die zu regelnde Größe (Regelgröße x) eines Prozesses fortlaufend gemessen und mit einem vorgegebenen Wert (Soll- oder Führungswert w) verglichen. Besteht zwischen diesen beiden Größen eine Abweichung (Regeldifferenz oder Regelfehler e=w-x bzw. Regelabweichung), wird - abhängig von der Regelabweichung - eine den Prozess beeinflussende Stellgröße (y) derart verändert, dass die Regelgröße mit dem Führungswert wieder in Übereinstimmung gebracht wird. Ein Hauptziel der Regelungstechnik ist die Untersuchung der Stabilität des Regelkreises, da die zu regelnde Größe grundsätzlich nie exakt mit dem Führungswert übereinstimmt (der Regelfehler wäre dann 0), sondern um den Führungswert schwingt. Ein Grund für diese Schwingungen liegt in der Verzögerung der Signale im Regelkreis (hervorgerufen durch die sog. Totzeit oder durch die sog. Verzögerungszeit der Komponenten, die beide Einfluss auf die Phasenverschiebung der Signale haben). Ein weiteres Hauptziel ist die Untersuchung des Übergangsverhaltens: in welchem zeitlichen Verlauf ändert sich die Regelgröße bei einer Änderung der Führungsgröße (z.B. durch exponentielle Annäherung an den neuen Wert oder aber durch Überschwingen und nachfolgendes Zurückpendeln) und wie sind dann letztendlich die Verhältnisse im sog. eingeschwungenen Zustand .

Der Begriff der Regelung oder des Regelkreises bezeichnet diesen geschlossenen Wirkungskreis (Rückkopplung, engl. feedback) - siehe auch Kybernetik.

Als Regler wird diejenige Komponente im Regelkreis bezeichnet, die in Abhängigkeit des Regelfehlers die Stellgröße y bestimmt. Der Entwurf eines zum Prozess passenden Reglers ist eine Hauptaufgabe der Regelungstechnik.

Definition Regelung nach DIN

In der Norm DIN 19226 ist der Begriff der Regelung wie folgt definiert: Das Regeln, die Regelung, ist ein Vorgang, bei dem fortlaufend eine Größe, die Regelgröße (zu regelnde Größe), erfasst, mit einer anderen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird.
Kennzeichen für das Regeln ist der geschlossene Wirkungsablauf, bei dem die Regelgröße im Wirkungsweg des Regelkreises fortlaufend sich selbst beeinflusst.

Teil dieser Definition sind drei Kriterien zur Bestimmung einer Regelung nach einem Entwurf für die DIN 19226 von 1962 und der "Nomenklatur der Regelungstechnik" des Schweizer elektrotechnischen Vereins von 1956:

Die Aufgabe einer Regelung ist Befehlsausführung im Allgemeinen; sie soll eine Größe (die Regelgröße) einer vorgegebenen Größe (die Führungsgröße) angleichen.
Eine Regelung wirkt in einem geschlossenen Kreis mit negativer Rückkopplung.
Eine Regelung besitzt ein Element zum Erfassen der Regelgröße, das von den Einrichtungen, die in die Regelstrecke eingreifen, physisch getrennt ist (Anmerkung: = Sensor).

Der Begriff Regelung ist zu unterscheiden von dem im allgemeinen Sprachgebrauch oft synonym gebrauchten Begriff der Steuerung - bei dieser fehlt die fortlaufende Rückkopplung und deren Bearbeitung. So können zum Beispiel bei einer SPS (Speicherprogrammierbare Steuerung) durchaus Rückkopplungen vorgesehen sein, beispielsweise mittels Sensorsignalen; die hierdurch erfasste Größe wirkt jedoch über die Steuerung nicht fortlaufend auf sich selbst ein; typischerweise stellen SPS die Abarbeitung von schrittweise ablaufenden Prozessen (Endlicher Automat) sicher oder realisieren eine Schaltalgebra (Boolesche Algebra).

Allgemeiner Regelkreis

Bild: Regelkreis mit Beispiel Temperaturregelung einer Heizung:

w = Sollwert, Führungsgröße; Größe, der die Aufgabengröße in vorgegebener Abhängigkeit folgen soll (z.B. elektr. Spannung entsprechend der Solltemperatur);
x = Regelgröße, Aufgabengröße; Größe die geregelt wird (z.B. Isttemperatur des Raumes);
r = Rückführungsgröße; Größe, die aus der Messung der Regelgröße hervorgeht (z.B. elektr. Spannung entsprechend der Isttemperatur);
e = Regeldifferenz; Differenz zwischen Führungsgröße und Rückführgröße (z.B. als elektr. Spannungsdifferenz);
y = Stellgröße; Ausgangsgröße der Regeleinrichtung zum Beeinflussen eines Energie- oder Massestromes (im Steller) (z.B. verstärkte elektr. Spannung steuert die Heizleistung eines Strahlers);
z = Störgröße; beeinflusst die Aufgabengröße in unerwünschter Weise (z.B. Außentemperatur oder Wärmeverlust des Raumes);

In diesem Kreis ist die Regelgröße (d.h. die zu regelnde Größe) negativ rückgekoppelt. Ihr Wert wird von der Führungsgröße (auch Sollgröße oder Sollwert) abgezogen und die entstehende Differenz (Regelfehler) wird dann zur Ansteuerung des Reglers genutzt. Diese Art Rückkopplung ist eine wesentliche Eigenschaft des Regelkreises und sorgt für dessen Stabilität (eine positive Rückkopplung würde den Regelkreis "aufschaukeln" und instabil machen (Beispiel "Heizung": je heißer es wird, desto mehr wird noch geheizt). Man spricht deswegen von einem geschlossenen Wirkungskreis, während im Gegensatz dazu bei einer Steuerung ein offener Wirkungskreis vorliegt.

Die Regelungstechnik im einzelnen

Die Darstellung der Regelungstechnik baut im Wesentlichen auf die mathematische Beschreibung eines Systems mittels Differentialgleichungen und deren Laplace-, und Z-Transformationen auf. Weniger gebräuchlich ist hier die Fourier, die eher in der Rauschanalyse, Signaltheorie und Systemtheorie stochastischer Systeme angewendet wird.

Die Laplace-Transformation ermöglicht als eine Integraltransformation die Beschreibung von Differentialgleichungssystemen linearer, zeitinvarianter und kontinuierlicher Systeme im "Frequenzbereich". Die Mächtigkeit dieses Hilfsmittels liegt in der einfachen algebraischen Beschreibung der transformierten Eingangs- und Ausgangsgrößen als (gebrochen) rationale Funktionen.

Die sog. Übertragungsfunktion G(s) - mit s als komplexer Variable - liefert die Ausgangsgröße, wenn sie entweder als Rücktransformierte im Zeitbereich mit der Eingangsfunktion gefaltet oder im Bildbereich mit der Transformierten des Eingangs multipliziert wird.

Zur Modellierung, Beschreibung und Simulation werden Signalflusspläne mit diskreten Signalgliedern verwendet (s. DIN 19226). Die Grundgleichungen für Übertrager werden graphisch in regelungstechnischen Blöcken dargestellt. (Siehe Übersicht über die Übertragungsglieder)

Reglerschaltungen mit Operationsverstärker

Die gebräuchlichsten Regler (I, P, PID...) lassen sich mit einfachen Operationsverstärkerschaltungen realisieren. (s.a.allgemeine Operationsverstärkerschaltung). Die Buchstaben stehen dabei für das Zeitverhalten der Komponente:

P = Proportionalglied: kein Zeitverhalten, das Ausgangssignal ist dem Eingangssignal zeitlich proportional,
I = Integralglied: das Ausgangssignal ist das Integral über das Eingangssignal,
D = Differentialglied: das Ausgangssignal entspricht der Veränderung des Eingangssignales,
sowie Mischformen aus diesen 3 zeitlichen Verhaltensweisen.

Regelkreis

hier kann noch einiges mit dem Artikel Regelkreis abgeglichen werden.
Als offener Regelkreis wird die Regelstrecke und der Regler allerdings ohne die Rückkopplung der Regelgröße bezeichnet. Somit ist es kein Regelkreis im eigentlichen Sinne. Aus der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises (F0(s)), die sich aus der Übertragungsfunktion der Strecke (Fs(s)) und der des Reglers (Fr(s)) zusammensetzt, leitet sich für niedrige Frequenzen die Kreisverstärkung (V0) ab.

Die Führungsübertragungsfunktion Fw ergibt sich aus der einfachen Rückkopplung (Gegenkopplung) der Ausgangsgröße auf den Regler. Dabei gilt: Fw = F0 / (1+F0) Wird Fw bei kleinen Frequenzen betrachtet so ergibt sich die bleibende Regelabweichung des Systems: Fw(0) = 1-bleibende Regelabweichung

Berechnungen und Hilfsmittel

Bodediagramm

Stabilität

Die Stabilität eines Regelkreises lässt sich mit Hilfe von einigen Methoden abschätzen. Grundvoraussetzung ist, daß ein mathematisches Modell der Regelstrecke vorliegt, was in der Praxis oft nicht der Fall ist.

Im Fall von LZI-Systemen kann für die Betrachtung der Stabilität auf die charakteristische Gleichung zurückgegriffen werden. Diese lautet

$1+F_{o}(s)=0$ .

Dabei besitzt ein Regelsystem n-ter Ordnung mit vollständig steuer- und beobachtbarer Strecke eine charakteristische Gleichung n-ter Ordnung. Liegen bei zeitkontinuierlichen Systemen alle Pole, das heißt Lösungen der charakteristischen Gleichung, in der linken Halbebene der komplexen s-Ebene, so ist das Regelsystem stabil.

Stabilitätsabschätzung über die Dämpfung Hurwitzkriterium Manchmal ist das System nicht zustandsstabil aber BIBO-stabil.

Einstellregeln für (quasi) analoge Regler

Es gibt mehrere Methoden, um Regler einzustellen. Sie dienen dazu, einen Regler beim ersten Einsatz einigermassen richtig einzustellen. Sie stellen selten ein absolutes Oprimum dar, die Feinjustage muss mit der Erfahrung des Ingenieurs erfolgen.

Es gibt Einstellregeln für Regelsysteme, wo man bereits ein Modell kennt und rein empirische, welche ohne jede mathematische Systemkenntnis funktionieren.

Ziegler-Nichols

Das Verfahren von Ziegler und Nichols funktioniert für Systeme, wo die Kritische Verstärkung $K_{P,kr}$ und die Schwingungsfrequenz $\omega _{kr}$ bei der kritischen Verstärkung bekannt sind. Die Schwingungsperiode bei der kritischen Verstärkung, gemessen in Radian/s beträgt $T_{kr}={\frac {2\pi }{\omega _{kr}}}$ . In diesem Fall lauten die Einstellregeln für die Verstärkung $K_{P}$ , die Nachstellzeit $T_{N}$ und die Vorhaltezeit $T_{V}$ :

für P-Regler: $K_{P}=0.5K_{P,kr}$
für PI-Regler: $K_{P}=0.45K_{P,kr}$ , $T_{N}=0.85T_{kr}$
für PD-Regler: $K_{P}=0.55K_{P,kr}$ , $T_{V}=0.15T_{kr}$
für PID-Regler: $K_{P}=0.6K_{P,kr}$ , $T_{N}=0.5T_{kr}$ , $T_{V}=0.12T_{kr}$

Kompensation von Zeitkonstanten

Die Nachstellzeit des Reglers wird auf die größte Zeitkonstante des Systems eingestellt, dadurch vereinfacht sich die Übertragungsfunktion $F_{0}$ des aufgeschnittenen Regelkreises um eine Ordnung.

T-Summen-Regel

Bei Strecken mit Tiefpassverhalten wird die Summenzeitkonstante als Summe aller verzögernden Zeitkonstanten abzüglich aller differenzierenden Zeitkonstanten gebildet.

Für die Reglereinstellungen gilt dann folgendes:

P-Regler: $K_{P}=1/K_{s}$
PI-Regler: $K_{P}=K_{s}/2,\;T_{N}=0,5T_{Summe}$
PD-Regler: $K_{P}=1/K_{s},\;T_{V}=0,33T_{Summe}$
PID-Regler: $K_{P}=01/K_{s},\;T_{N}=0,66T_{Summe},\;T_{V}=0,167T_{Summe}$

Symmetrisches Optimum

?

Zustandsregelung

Regelung mit Beobachtern

Digitale Regelung

In der digitalen Regelung werden die Rückführungsgröße und die Sollgröße in festen Zeitabständen abgetastet und in digitale Zahlenwerte umgewandelt. Der Regler berechnet aus diesen digitalisierten Größen die Stellgröße, die wieder in festen Zeitabständen ausgegeben und in eine analoge Größe umgewandelt wird. Zur mathematischen Behandlung von digitalen Regelungen wird häufig die z-Transformation eingesetzt.

Weitere Regler

Siehe auch

Weblinks

Literatur

Jan Lunze: Regelungstechnik (Springer Verlag): Bd. 1 ISBN 3-540-20742-2, Bd. 2 ISBN 3-540-22177-8
Otto Föllinger: Regelungstechnik (Hüthig Verlag): ISBN 3-778-52336-8
Wilhelm Haager: Regelungstechnik (öbv&hpt, Wien): ISBN 3-209-01903-7
Heinz Unbehauen: Regelungstechnik 1 (Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden): ISBN 3-528-93332-1
Lutz & Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik (Verlag Harry Deutsch) ISBN 3-8171-1629-2, Ausgabe 2005: ISBN 3-8171-1749-3