Satz von Radon-Nikodým

In der Mathematik verallgemeinert der Satz von Radon-Nikodym die Ableitung auf signierte Maße. Er gibt Auskunft über die Darstellbarkeit eines signierten Maßes $\nu \!$ durch das Lebesgue-Integral einer Funktion $f\!$ und ist von zentraler Bedeutung sowohl für die Maß- als auch die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Sei $\mu$ ein σ-endliches Maß auf dem Messraum $(X,{\mathcal {A}})$ und sei $\nu$ absolut stetig bezüglich $\mu$ ($\nu \ll \mu$) für ein signiertes Maß $\nu$.

Dann gibt es eine $\mu$-fast überall eindeutige Funktion f, so dass

$\forall E\in {\mathcal {A}}:\nu (E)=\int _{E}f\mathrm {d} \mu$

f wird als Radon-Nikodym Dichte oder Radon-Nikodym Ableitung von $\nu$ bezüglich $\mu$ bezeichnet und in Analogie zur Differentialrechnung als ${\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}$ geschrieben.

Benannt ist der Satz ist nach dem österreichischen Mathematiker Johann Radon, der 1913 den Spezialfall $\mathbb {R} ^{n}$ bewiesen hat, und nach Otton Marcin Nikodym, der den allgemeinen Fall 1930 bewiesen hat.