Stetige Funktion

Stetige Funktionen sind Funktionen mit weiter unten definierten Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Physik und Mathematik als besonders nützlich herausgestellt haben.

Definitionen

Im folgenden werden verschiedene Definitionen von Stetigkeit angegeben:

"Naive" Definition von Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph der Funktion "ohne Absetzen des Stiftes" gezeichnet werden kann - also die Funktionswerte keine Sprünge machen. Diese Definition von "Stetigkeit" ist mathematisch natürlich nicht exakt, wird aber gerne zur Anschauung benutzt. Sie funktioniert natürlich nur bei Funktionen mit einer Veränderlichen.

Stetigkeit reellwertiger Funktionen

Reellwertige Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Wertemenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Schränkt man den Funktionsbegriff auf die Abbildung von reellen Zahlen in den Bereich der reellen Zahlen ein (wie es i.A. in der Schule gemacht wird), so ist die Stetigkeit von f in einem Punkt $x_{0}$, in dem f definiert ist, folgendermaßen definiert:

$f:X\rightarrow Y{\mbox{ stetig in }}x_{0}:\Leftrightarrow \left(\forall \epsilon >0\,\exists \delta >0:\forall x{\mbox{ mit }}|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

$x,x_{0}$ sind in dieser Definition reelle Zahlen.

Für spätere Verallgemeinerung wird im folgenden der Zusammenhang mit allgemeinen metrischen und topologischen Räumen angegeben.

Topologischen Räume sind durch so genannte offene Mengen charakterisiert.

Eine offene Menge G auf der reellen Zahlenachse ist dadurch charakterisiert, dass um jeden ihrer Punkte ein offenes Intervall existiert, das diesen Punkt enthält und das ganz in der Menge G liegt. Ein offenes Intervall wird über die euklidische Metrik d definiert:

$d(x,x_{0})=|x-x_{0}|$

Ein offenes Intervall um den Punkt $x_{0}$ herum ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die $|x-x_{0}|$ kleiner als eine vorgegebene positive reelle Zahl ist.

Hierüber lassen sich dann die Eigenschaften allgemeinerer Abbildungen zwischen topologischen Räumen motivieren (das wird weiter unten definiert).

Beispiele

• Sind f und g stetig mit einem gemeinsamen Definitionsbereich, so sind auch f + g, f - g, f * g stetig. Ist $g(x)\neq 0$ für alle x im Definitionsbereich, dann ist auch f/g stetig.
• Die Komposition zweier stetiger Funktionen f o g ist ebenfalls stetig.

Im folgenden bezeichne f:R->R eine Funktion

• f(x) = sin(x) ist für alle x aus R stetig.
• f(x) = cos(x) ist für alle x aus R stetig.
• f(x) = cos(x) + sin(x) ist für alle x aus R stetig.
• f(x) = $e^{cos(x)}$ ist für alle x aus R stetig.

Im folgenden bezeichne f:D->R eine Funktion von einer Teilmenge D von R nach R

• f(x) = 1/x ist für x=0 nicht definiert. In der Schulmathematik sagt man dann, f wäre in der 0 unstetig, nach der exakten Definition ist der Begriff der Stetigkeit auf diese Stelle jedoch gar nicht anwendbar - f ist also weder stetig noch unstetig in der 0. f ist in seinem Definitionsbereich (R\{0}) stetig.
• f(x) = sin(x)/cos(x) ist stetig in seinem Definitionsbereich, d.h. in allen x aus R, für die cos(x) ungleich 0 ist. Man bezeichnet f auch als tan.

Im folgenden bezeichne f:C->C eine Funktion

• f(z) = exp(z) ist für alle z aus C stetig

(exp bezeichne die komplexe Exponentialfunktion, exp(z) = $e^{z}$)

Stetige Funktionen zwischen metrischen Räume

Ein Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist nur eine Beschreibung, eine mögliche exakte Definition mittels des Epsilon-Delta-Kriterium ist folgende:

Seien (X,d_x), (Y,d_y) metrische Räume, dann heißt

$f:X\rightarrow Y{\mbox{ stetig in }}x_{0}:\Leftrightarrow \left(\forall \epsilon >0\,\exists \delta >0:\forall x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow d_{y}(f(x),f(x_{0}))<\epsilon \right)$

dabei bezeichnet U_δ(x_0) die offene δ-Umgebung um x₀, d.h.

$U_{\delta }(x_{0})=\{x\in X|d_{x}(x,x_{0})<\delta \}\quad .$

Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

Noch allgemeiner lässt sich Stetigkeit zwischen topologischen Räumen wie folgt definieren (die Stetigkeit in metrischen Räumen ist eine Folgerung dieser Definition):

Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild von f von jeder in Y offenen Menge U wieder offen in X ist, oder etwas formaler:

$f:X\rightarrow Y{\mbox{ stetig }}:\Leftrightarrow \left(\forall \,U\subset Y,U{\mbox{ offen in }}Y\Rightarrow f^{-1}(U){\mbox{ ist offen in }}X\right)$

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

Satz 1 (Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen)

Sei f eine reellwertige Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich D(f) stetig ist, D(f) sei eine Teilmenge der reellen Zahlen, $x_{0}$ sei aus dem Definitionsbereich von f,

dann gilt für jede Folge reeller Zahlen $x_{n}$ aus D(f) die gegen $x_{0}$ konvergiert, dass die Folge der Funktionswerte $f(x_{n})$ gegen $f(x_{0})$ konvergiert.

Bemerkung zu Satz 1

Dieser Satz gilt auch für stetige Abbildungen zwischen beliebigen metrischen Räumen.