Arithmetisches Mittel

Mittelwert einer Stichprobe

Der Mittelwert einer Stichprobe mit n Messwerten berechnet sich wie folgt:

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der Standardmittelwert. (Durchschnitt)

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

Beispiel für das arithmetische Mittel von 50 und 100:

${\frac {50+100}{2}}=75$

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, von denen das Produkt anstelle der Summe interpretierbar ist, z. B. von Verhältnissen oder Wachstumsraten.

${\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}$

Beispiel für das geometrische Mittel zwischen 3 und 300:

${\sqrt[{2}]{3\cdot 300}}=30$

Harmonisches Mittel

Das harmonische Mittel ist ein geeignetes Lagemaß für Größen, die durch einen Bezug auf eine Einheit definiert sind, z.B. von Geschwindigkeiten (Strecke pro Zeiteinheit) oder Ernteerträgen (Gewicht oder Volumen pro Flächeneinheit)

${\bar {x}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$

Beispiel für das harmonische Mittel zwischen 5 und 20:

${\frac {2}{{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}}}={\frac {2}{\frac {1}{4}}}=8$

Verallgemeinerter Mittelwert

${\bar {x}}(m)={\sqrt[{m}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}}}$ mittels geeigneter Wahl des Parameters m können die drei obigen Mittelwerte erzeugt werden:

Arithmetisches Mittel

m=1

Geometrisches Mittel

m->0

Harmonisches Mittel

m=-1

Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert der Funktion $f$ mit dem Gewicht $g$ ist

${\bar {f}}={\frac {\int f(x)g(x)\mathrm {d} x}{\int g(x)\mathrm {d} x}}$

Mittelwerte der Stochastik

Gewichtetes Mittel

Das gewichtete Mittel wird verwendet, wenn man Mittelwerte aus Stichproben der gleichen Grundgesamtheit mit verschiedenen Stichprobenumfängen miteinander kombinieren will:

${\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

Die Gewichte $w_{i}$ sind die Umfänge der Teilstichproben oder, in anderen Anwendungen, ein Maß für die Zuverlässigkeit des jeweiligen Wertes, der dementsprechend den Mittelwert mehr oder weniger stark beeinflusst.

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch "Ausreißer", d.h. einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte kontaminiert sind, so sortiert man die Beobachtungswerte nach aufsteigender Größe, schneidet eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrigbleibenden Werten den Mittelwert. Ein 10% winsorisiertes Mittel erhält man, wenn man 5% der Gesamtzahl aller Werte am unteren und 5% am oberen Ende auslässt.

Siehe auch: Median, Erwartungswert, Stage migration, Minimumseigenschaften von Lagemaßzahlen