Eins

1

Die Eins (1) ist die natürliche Zahl zwischen Null und Zwei. Sie ist ungerade, eine Quadrat- und eine Kubikzahl.

Mathematische Eigenschaften

Die Zahl 1 ist keine Primzahl, aber Teiler jeder natürlichen Zahl. Sie ist die kleinste natürliche Zahl. Ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, das definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Die 1 wird auch in anderen Bedeutungen in der Mathematik verwendet, wie etwa als neutrales Element bei der Multiplikation in einem Ring, genannt Einselement. In diesen anderen Systemen können andere Rechenregeln gelten, so dass 1+1 verschiedene Bedeutungen hat und verschiedene Resultate ergeben kann.

Die 1 wird häufig als eine der fünf wichtigsten Konstanten der Analysis bezeichnet (neben 0, π, e und i). Die eulersche Identität

{\begin{matrix}e^{\mathrm {i} \,\pi }+1=0\end{matrix}}

stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen diesen mathematischen Konstanten her.

Bedeutung in der Informatik

In der Informatik ist die Eins sehr wichtig, da sie zusammen mit der Null ein Teil des Binärsystems ist. Sie steht in der Maschinensprache für „An“ (On) und in Programmiersprachen als Datentyp Boolean wiederzufinden (1 = True = Wahr, 0 = False = Falsch).

In der Datenmodellierung (speziell im Entity-Relationship-Modell), in der Beziehungen und Häufigkeiten von Entitäten zueinander geklärt und beschrieben werden, spielt die "zu-1"-Beziehung eine wichtige Rolle, da sie die Eindeutigkeit einer Zuordnung festlegt. Beispiel: die Entität "Kfz" steht zur Entität "Besitzer" in einer "N-zu-1"-Beziehung: ein Besitzer kann mehrere Kfz haben, aber jedes Kfz muss genau einen Besitzer haben.

Schreibweisen

Das Symbol 1

Das Symbol 1 wird als Ziffer des Stellenwertsystems verwendet. Steht die Ziffer 1 allein, so bedeutet sie nach üblicher Interpretation die Zahl Eins. Insbesondere ist die 1 die größte Ziffer im Dualsystem.

Periodischer Dezimalbruch

Die Zahl Eins besitzt neben der üblichen Schreibung als 1 eine periodische Dezimalbruchdarstellung als $0{,}{\bar {9}}=0{,}999\ldots$ .

Diese Aussage lässt sich auf verschiedene Arten beweisen, z. B. durch die folgenden:

Zurückführung auf einen bekannten unendlichen Dezimalbruch: ${\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots$; $3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots$; $1=0{,}999\ldots$

Dieser Beweis ist weit verbreitet – es ist aber folgendes zu bedenken:

Die erste Zeile wird hier vorausgesetzt, wäre aber eigentlich mit ähnlichen Mitteln zu beweisen wie die Aussage selbst.
Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile verwendet auf der rechten Seite eine Eigenschaft von Grenzwerten, nämlich, dass die Multiplikation mit einer Konstanten (hier 3) mit der Grenzwertbildung vertauschbar ist.

Anordnung der reellen Zahlen

Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl z gibt, die zwischen ihnen liegt, für die also x < z < y oder y < z < x gilt. Die Existenz einer solchen Zahl z ist in diesem Fall nach Definition der Dezimalbruchentwicklung nicht möglich.

Grenzwert einer Zahlenfolge

$0{,}999\ldots$ ist der Grenzwert der Zahlenfolge $0{,}9\ \ 0{,}99\ \ 0{,}999\ \ 0{,}9999\ \ \ldots$
Das allgemeine Glied $a_{n}$ dieser Folge ist $a_{n}=0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}$ . Die Differenz zwischen $1$ und $a_{n}$ ist $1-a_{n}={\frac {1}{10^{n}}}$ . Dieser Wert kann für große $n$ beliebig klein gemacht werden, also gilt nach Definition des Grenzwerts $0{,}999\ldots =1$ .

Geometrische Reihe

$0{,}999\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{10^{n}}}$ und dies ist eine unendliche geometrische Reihe der Form $\sum _{i=0}^{\infty }a\cdot q^{i}$ . Solche Reihen sind für $|q|<1\;$ konvergent und haben den Wert $a\cdot {\frac {1}{1-q}}$ . Mit $a={\frac {9}{10}}$ und $q={\frac {1}{10}}<1$ ergibt sich der Summenwert als ${\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{\frac {9}{10}}}=1$ .

Andere Stellenwertsysteme

In anderen Stellenwertsystemen tritt an die Stelle der Ziffer 9 die höchste Ziffer des jeweiligen Systems. Im Binärsystem ist also 1 gleich $0{,}111\ldots$ , im Hexadezimalsystem gleich 0,FFF... etc.

Andere Zahlschriften

Die Römische Zahl für Eins ist I. In der hebräischen Schrift hat der Buchstabe Aleph (א) den Zahlenwert Eins, in der arabischen Schrift dessen Äquivalent, das Alif (ا). Das arabische Schriftzeichen für die Eins ist ١; in Bengalî wird die Zahl ebenfalls ۱ geschrieben, in Devanagari १, in Malayalam ൧ und in chinesisch 一.

Sonstige Bedeutungen

Die Eins wird in vielen Ländern als Schulnote verwendet und steht unter anderem in Deutschland und Österreich für „sehr gut“, bezeichnet in der Schweiz jedoch die schlechteste Note.

In der Zahlensymbolik wird die 1 gerne als Symbol für alles, den Anfang oder Gott verwendet (siehe auch Chinesische Zahlensymbolik).

Sprachliches

Wörter, die eine Einzigkeit ausdrücken, beginnen häufig mit der griechischen Vorsilbe mono, etwa Monokel oder Monografie, oder sind aus dem lateinischen singularis oder solus abgeleitet, wie Singular oder Solo.

Wörter, die eine Einheitlichkeit ausdrücken, sind häufig aus dem lateinischen unus abgeleitet: Union oder Uniform. Auch Wörter die Einzigartigkeit darstellen, wie z.B. Unikat, unifarben... sind vom lateinischen unus abgeleitet.

Wird auf die Rang- oder Abfolge Bezug genommen, so wird der lateinische Stamm prim- verwendet, etwa bei Primus oder Primzahl.

Siehe auch

Weblinks

Commons: 1 (number) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: eins – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen