Heisenbergsche Unschärferelation

In der Quantenphysik besagt die Heisenbergsche Unschärferelation oder Unbestimmtheitsrelation, dass der Ort x und der Impuls p eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Sie wurde 1927 von Werner Heisenberg entdeckt. Danach gilt für die Ortsunschärfe $\Delta x$ und die Impulsunschärfe $\Delta p$ stets

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }},$

wobei h = 6,6261 · 10^-34 Js das Plancksche Wirkungsquantum und π die Kreiszahl ist.

Überblick

Die Unbestimmheitsrelation bezüglich Ort und Impuls ist eine unmittelbare Konsequenz der Wellennatur der Materie in der Quantenphysik und damit eines der fundamentalen Gesetze der Physik. Sie wird oft irrtümlich damit erklärt, dass eine Messung des Ortes eines Teilchens notwendigerweise seinen Impuls stört. Heisenberg selbst hatte diese Erklärung zuerst gegeben. Die Unbestimmheitsrelation gilt jedoch sogar dann, wenn nach der Messung des Ortes die Messung des Impulses an einer Kopie des Systems erfolgt (siehe Ensembleinterpretation unten). Ähnliche Unschärfebeziehungen gibt es auch zwischen Energie und Zeit und anderen Paaren von physikalischen Größen (siehe allgemeine Unschärferelation unten).

Folgende Analogie verdeutlicht die Unbestimmheit: Nehmen Sie an, dass Sie ein zeitveränderliches Signal, z. B. eine Schallwelle haben und Sie die genaue Frequenz dieses Signals zu einem bestimmten Zeitpunkt messen wollen. Das ist unmöglich, denn um die Frequenz exakt zu ermitteln, müssen Sie das Signal über eine gewisse Zeitspanne beobachten und dadurch verlieren Sie Zeitpräzision. Das heißt, ein Ton kann nicht zu nur einer bestimmten Zeit da sein, wie etwa ein kurzer Impuls, und gleichzeitig eine exakte Frequenz besitzen, wie etwa ein ununterbrochener reiner Ton sie hat. Der Zeitpunkt und die Frequenz der Welle sind analog zu betrachten zum Ort und Impuls eines Teilchens.

Die Unbestimmtheitsrelation wird oft verwechselt mit einem anderen quantenmechanischen Phänomen, dem Zusammenbruch der Wellenfunktion, nach dem die Wellenfunktion, die ein Teilchen beschreibt, sich genau dann verändert, wenn dieses Teilchen beobachtet wird. Dieses Phänomen und die Unbestimmtheitsrelation sind verschieden, aber miteinander verwandt.

Im Rahmen des mathematischen Formalismus ergeben sich die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Orts- und Impulsmessungen und damit die Unschärfen aus den zugehörigen Wellenfunktionen. Die Unschärferelation folgt dann aus dem Umstand, dass die Wellenfunktionen bezüglich Ort und Impuls über eine Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Die Fouriertransformierte eines lokal begrenzten Wellenpakets ist nun wiederum ein Wellenpaket, wobei das Produkt der Paketbreiten einer Beziehung gehorcht, die der obigen Unschärferelation entspricht.

Interpretationen

Die Heisenbergsche Unschärferelation gibt es in unterschiedlichen Interpretationen. Man unterscheidet die Ensembleinterpretation, die eine Aussage über ein ganzes System macht, ein so genanntes Ensemble_(Physik) und die Kopenhagener Interpretation, die ein einzelnes Teilchen beschreibt.

Die Ensembleinterpretation

Der große Unterschied zu den bisherigen beiden Interpretationen ist, dass die Ensembleinterpretation nicht wie bei Bohr oder Heisenberg Aussagen für ein Teilchen macht, sondern Wahrscheinlichkeitsaussagen für eine große Anzahl von Experimenten; allerdings mit — das ist die Voraussetzung — identischen Teilchen.

Ein Ensemble ist die Gesamtheit aller identischen Teilchen, die ein Präparationsverfahren ergibt, die in dem Experiment allerdings nicht miteinander wechselwirken dürfen, analog zu Photonen im Doppelspaltexperiment.

Aussagen über ein Experiment sind in folgender Weise möglich: Das Ensemble wird halbiert, um an einem Teil des Ensembles eine Eigenschaft zu messen, etwa den Ort, x, und an dem anderen Teil des Ensembles eine andere Eigenschaft zu messen, etwa den Querimpuls, p_x. Mit den vielen Messwerten einer Eigenschaft, die man erhält, kann man nun Statistik betreiben. Man kann den Mittelwert der Messwerte bestimmen und auch die Standardabweichung, die als Größe für die mittlere Abweichung zu verstehen ist und auf dem Mittelwert aufbaut. Die Standardabweichung der Orte wird dann dargestellt als Δx. Dadurch kann die Heisenbergsche Unschärferelation folgendermaßen formuliert werden:

Formulierung der Heisenbergschen Unschärferelation in der Ensembleinterpretation

Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt in der Ensembleinterpretation, dass es nicht möglich ist, ein Ensemble in einem Zustand so zu präparieren, dass

$\Delta x\Delta p_{x}<{\frac {h}{2\pi }}$

für das ganze Ensemble erfüllt ist.

Vorteile der Ensembleinterpretation

Das Interessante an der Ensembleinterpretation ist, dass mit dieser Interpretation die Heisenbergsche Unschärferelation klar formuliert ist. Außerdem wird diese Interpretation wissenschaftlich anerkannt und gilt als Minimaltheorie, der die meisten Wissenschaftler zustimmen können. Zudem gelingt eine Verbindung von Theorie und Experiment. Schließlich sind Δx und Δp_x klar und relativ einfach über die Standardabweichung definiert.

Die Kopenhagener Interpretation

Die Kopenhagener Interpretation war allerdings die erste abgeschlossene und in sich konsistente Interpretation des mathematischen Gebäudes der Quantenmechanik. Sie führte zu stärkeren philosophischen Diskussionen. Das Grundkonzept baut auf folgenden drei Prinzipien auf:

Unverzichtbarkeit klassischer Begriffe

Klassische Begriffe werden in ihrer üblichen Bedeutung auch in der Quantenwelt benutzt, sie erhalten allerdings Vorschriften über ihre Anwendbarkeit. Das sind die Definitionsgrenzen von Ort und Impuls, unterhalb derer die Begriffe Ort und Impuls keinen Sinn mehr ergeben, also undefiniert sind. Die klassische Physik ist dadurch ausgezeichnet, dass gleichzeitig die raumzeitliche Darstellung, also die Möglichkeit der Ortsangabe zu gewissen Zeiten, und die Erhaltung des Kausalitätsprinzips, also die Bestimmung des zeitlichen Verlaufs bei Angabe eines Anfangszustandes, erfüllt sind.

Komplementarität

In Bereichen, in denen die so genannte Wirkung in Größenordnung des Planckschen Wirkungsquantums, $\hbar$, liegt, kommt es zu Quanteneffekten und zwar aufgrund unkontrollierbarer Wechselwirkungen zwischen Objekt und Messgerät. Komplementarität bedeutet nun, dass Raumzeitdarstellung und Kausalitätsforderung nicht beide gleichzeitig erfüllt sein können. Ansonsten würde sich folgender Widerspruch ergeben:

Eine Eigenschaft eines Teilchens sei bestimmt. Dann muss nach der Quantenmechanik die Beeinflussung durch ein Messgerät fehlen. Das heißt, es muss eine Messung fehlen. Damit geht der Sinn der Bestimmtheit verloren, denn wie soll diese Eigenschaft bestimmt sein?

Ganzheitlichkeit der Quantenphänomene

Hinter der Ganzheitlichkeit der Quantenphänomene steckt die Vorstellung, dass ein Quantenexperiment ein völlig neues Phänomen aufweisen könnte, wenn das Experiment geändert wird, z. B. indem eine weitere Messung an dem Experiment vorgenommen werden soll. Beim Doppelspaltexperiment findet z. B. gleichzeitig zur Impulsbestimmung noch eine Ortsbestimmung hinter einem Spalt statt.

Die feinen Unterschiede der weitgehend recht ähnlichen Ansichten von Bohr und Heisenberg, die beide die wesentlichen Begründer der Kopenhagener Interpretation waren, werden deutlich, indem man die Begriffe der objektiven und subjektiven Eigenschaften eines Quantenobjektes ihren Vertretern Bohr, bzw. Heisenberg zuordnet.

Bohr meint mit der objektiven Eigenschaft eines Quantenobjektes, dass es in der Natur eines Teilchens liegt, dass unterhalb gewisser Grenzen (nämlich der Grenzen, die durch die Unschärferelation gegeben sind) diesen Teilchen z. B. Ort und Impuls nicht mehr zugeordnet werden können, weil dort diese Begriffe einfach keinen Sinn mehr ergeben.

Heisenberg hingegen vertrat - zumindest in der Anfangszeit, eher er auch (zumindest teilweise) zur Ensembleinterpretation umschwenkte - die subjektive Auffassung, dass wir als Menschen — als Messer — nicht in der Lage sind sei es durch die Störung durch ein Messgerät, durch unsere Unfähigkeit oder durch eine unzulängliche Theorie, die Eigenschaften Ort und Zeit an einem Quantenobjekt gleichzeitig beliebig genau zu messen, wobei dabei aber missverstanden werden könnte, dass das Quantenobjekt in Wirklichkeit einen festen Wert besitzt.

Allgemeine Unschärferelation

Unschärfebeziehungen gibt es auch zwischen Energie und Zeit, Drehimpuls und Winkel, Phase und Teilchenzahl und zwischen vielen anderen Paaren von physikalischen Größen. Mit den Rechenmethoden der Quantenmechanik kann man für zwei Größen A und B allgemein formulieren:

$\Delta A\,\Delta B\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|$

Dabei gilt:

A and B sind zwei Messgrößen,

${\hat {A}}$ und ${\hat {B}}$ sind ihre zugehörigen Operatoren,

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]$ bezeichnet den Kommutator von ${\hat {A}}$ und ${\hat {B}}$,

$\left\langle \,\right\rangle _{\psi }$ beschreibt den Mittelwert des Zustandes |ψ〉 und

ΔX ist die Standardabweichung von X: ${\sqrt {\langle {\hat {X}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\hat {X}}\rangle _{\psi }^{2}}}$

Grob formuliert: Das Produkt der A-Unschärfe und der B-Unschärfe ist mindestens halb so groß wie der Betrag des Erwartungswertes des Kommutators von A und B. Im Allgemeinen ist also die Mindestgröße des Unschärfeproduktes vom quantenmechanischen Zustand abhängig.

Beispiele

Die heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation zeigt sich in der Natur unter anderem im Tunneleffekt und in den Vakuumfluktuation. Die Unbestimmtheit ist ein typisches Wellenphänomen, das auch in der klassischen Physik auftritt. Beispielsweise lassen sich nicht gleichzeitig die Frequenz und die Ankunftszeit einer Welle exakt bestimmen. (Die Frequenz hängt in der Quantenphysik mit der Energie zusammen). Um die Frequenz exakt zu bestimmen, müsste man mehrere Wellenberge abwarten. Dann ist aber die Ankunftszeit nicht mehr bestimmt.