Folge (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Folge eine Abbildung f der natürlichen Zahlen in eine Menge A, im engeren Sinne meist auf die reellen Zahlen.

$f:\mathbb {N} \rightarrow A$ bzw. $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R}$

Das i-te Folgenglied $a_{i}$ wird folgendermaßen definiert:

$a_{i}:=f(i),\quad i\in \mathbb {N}$

Von wesentlicher Bedeutung für die Analysis sind die unendlichen Folgen und ihre Grenzwerte.

Wenn man die Glieder einer Folge addiert, erhält man eine Reihe.

Die Folge (a_i) muss man von der Bildmenge f(N) = {a_i | i aus N} unterscheiden.

Beispiele

Folgen in den reellen Zahlen

Die Inversen:
$a_{i}={1 \over i}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}={\frac {1}{2}}=0,\!5,\ a_{3}={\frac {1}{3}}=0,\!{\bar {3}},\ \dots$

Eine rekursiv definierte Folge rationaler Zahlen, die gegen √2 konvergiert:
$a_{1}=2,a_{i+1}={\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {a_{i}}{2}}\Rightarrow a_{1}=2,\ a_{2}={\frac {3}{2}}=1,\!5,\ a_{3}={\frac {17}{12}}=1,\!41{\bar {6}},\ \ldots$

Folgen in den ganzen Zahlen

Die natürlichen Zahlen:
$a_{i}=i\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=2,\ a_{3}=3,\ \dots$

Die Dreieckszahlen:
$a_{i}={\frac {i(i+1)}{2}}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ a_{3}=6,\ a_{4}=10,\ \dots$

Die Quadrate der natürlichen Zahlen:
$a_{i}=i^{2}\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=4,\ a_{3}=9,\ \dots$

Die Folge der ganzzahligen Zweierpotenzen:
$a_{i}=2^{i}\Rightarrow a_{0}=1,\ a_{1}=2,\ a_{2}=4,\ a_{3}=8,\ a_{4}=16,\ \dots$

Die Primzahlen:
$a_{1}=2,\ a_{2}=3,\ a_{3}=5,\ a_{4}=7,\ a_{5}=11,\ \dots$

Die Fibbonacci - Folge:
$a_{0}=0,\ a_{1}=1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=2,\ a_{4}=3,\ a_{5}=5,\ \dots$

Die ungeraden natürlichen Zahlen:
$a_{i}=2\cdot i-1\Rightarrow a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ a_{3}=5,\ \dots$

Eine alternierende Folge:
$a_{i}=(-1)^{i}\Rightarrow a_{1}=-1,\ a_{2}=1,\ a_{3}=-1,\ a_{4}=1,\ \ldots$

Folgen in Mengen ("Mengenfolgen")

$a_{i}=\{1,\dots ,i\}\Rightarrow a_{1}=\{1\},\ a_{2}=\{1,2\},\ a_{3}=\{1,2,3\},\ \dots$

Weblinks

• Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen enthält eine Sammlung gebräuchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion.