Satz von Beckman und Quarles

Im Jahre 1952 bewiesen F. S. Beckman und D. A. Quarles, dass eine beliebige Abbildung Phi des R hoch n in den R hoch n (n aus N ohne 0 und 1) bereits eine Bewegung des euklidischen R hoch n ist, wenn für eine feste reelle Zahl r > 0 die Bedingungen

(1) Es gibt X,Y aus dem R hoch n: Q (X-Y) = r => Q (Phi(X) - Phi(Y)) = r erfüllt ist, wenn Phi also bezüglich r distanztreu ist. Hierbei ist Q die üblicherweise für den R hoch n zugrundegelegtem euklidische quadratische Form

(2) Q: Abbildung des R hoch n nach R: (X1, ..., Xn) => ½ (X 2 über 1, ... X 2 über n)

gelten.