Diskussion:Grenzwert (Funktion)

Der Artikel besitzt keine richtige _Definition_ in der Einleitung. Wäre nett, wenn jemand eine gute finden würde.

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Die Seite Approximation besteht aus einem redirect auf diese Seite. Hier wird jedoch nicht erklaert, was Approximation (z.B. einer Funktion) ist. Deshalb finde ich diesen redirect falsch. Ich habe (vergebens) versucht, den redirect einfach zu loeschen. Kann jemand helfen? MH 16:02, 5. Mär 2004 (CET)

Limes ist nicht unendlich

Hallo Mathematiker, nach meiner unmaßgeblichen Erinnerung kann ein Limes nicht unendlich sein. Da gehen nämlich alle Definitionen mit Epsilon-Umgebung etc. in die Hose. Daher musst ich die betreffenden Beispiele löschen.

Suricata 20:15, 17. Aug 2004 (CEST)

Soweit ich weiß bedeutet $\lim _{x\to 0}f(x)=\infty$ lediglich, dass die Funktion an der Stelle 0 über alle Grenzen wächst und nicht, dass der Grenzwert (aktuell) unendlich ist, so habe ich das zumindest in der Schule gelernt ;) . siehe: Unendlichkeit#Analysis --Oracle of truth 01:28, 12. Okt 2004 (CEST)

Man kann $\lim f(x)=\infty$ noch etwas mehr Sinn geben: auf R vereinigt mit unendlich definiert man eine Umgebungsbasis von unendlich durch Intervalle (x,unendlich]. Die Limesaussage bedeutet dann, dass f, fortgesetzt durch f(0)=unendlich, stetig ist. Irgendwo in diesem Artikel fehlt dringend der allgemeine Limesbegriff aus der Topologie.--Gunther 00:12, 26. Feb 2005 (CET)

limes superior

hi sollte hier nich auch was über den lims superior zu lesen sein?

Ja, sollte. Vielleicht sollte es aber auch einen eigenen Artikel ueber Limes superior und Limes inferior (schreibt man den so?) geben, mit Redirects von Limes inferior und eventuell von Limsup, Liminf, Lim sup, Lim inf. --SirJective 12:44, 10. Feb 2005 (CET)

So, jetzt steht hier was übern Limes superior. Ist ausgeschnitten von Limes superior und Limes inferior -- 80.138.104.199 18:03, 28. Apr 2005 (CEST)

Verschieben

Fast inhaltsgleich mit Konvergenz (Mathematik) --qwqch 21:40, 8. Feb 2005 (CET)

Diskussion darueber bitte auf Diskussion:Konvergenz (Mathematik). --SirJective 12:44, 10. Feb 2005 (CET)

Verständlichkeit

Da das Lexikon nicht nur Mathematiker und Physiker benutzen fände ich es hilfreich, wenn eine etwas leichter verständliche Einleitung den Anfang machen würde, bevor die genaue Erklärung kommt. Der "normale" Leser, der vor zehn Jahren vielleicht mal Mathe Grundkurs hatte muss sich erst ziemlich lange mit dem Artikel beschäftigen um möglicherweise nur zu erfahren: Für was brauchen wir den? Was sagt der mir? Gruß, Kaffeefan 18:30, 8. Jun 2005 (CEST)

lim sup

So besonders gelungen finde ich den Abschnitt allerdings auch nicht, z.B. für den lim sup der Folge (1/n).--Gunther 01:32, 12. Jun 2005 (CEST)

It's a wiki. Eine kurze Erläuterung finde ich aber in jedem Fall besser als ein Siehe auch. Die Einleitung müsste auch mal überarbeitet werden, das Wort Konvergenz taucht irgendwie viel zu spät auf. --DaTroll 11:47, 12. Jun 2005 (CEST)

Limes superior...

Tut mir leid, DaTroll aber ein "Limes superior" ist nun mal nur ausnahmsweise eine obere Schranke, und man kann ihn sich auch nicht als solche "vorstellen". Die Sache ist komplizierter und sprengt meines Erachtens den Rahmen dieses Artikels. Im Originalartiel Limes superior und Limes inferior geht der Satz noch ein bisschen weiter. Richtig verständlich ist er auch dort nicht, aber in der jetzt hier eingefügten Verkürzung ist er so sinnvoll wie das berühmte Goethe-Zitat "Grau, teurer Freund, alle Theorie und grün." -- Peter Steinberg 22:35, 12. Jun 2005 (CEST)

Übrigens habe ich mit gutem Grund nicht zu Limes superior und Limes inferior verlinkt, sondern auf den eher verständlichen Artikel Supremum. -- Peter Steinberg 22:47, 12. Jun 2005 (CEST)

Habe den fraglichen Abschnitt und den Einleitungssatz in Limes superior und Limes inferior überarbeitet.--Gunther 23:00, 12. Jun 2005 (CEST)

Wäre nicht Häufungspunkt noch eingängiger als Grenzwert einer konvergenten Teilfolge? Gut, der unliebsame Fall $\pm \infty$ bliebe dann noch gesondert zu behandeln, von einem uneigentlichen Häufungspunkt hab ich jedenfalls noch nie was gehört.--MKI 23:09, 12. Jun 2005 (CEST)

Hm, ich habe das genau umgekehrt eingeschätzt: Ich dachte, dass Häufungspunkte ein eher ungewohnter Begriff sind, während es z.B. bei $(-1)^{n}$ klar ist, welche Teilfolgen man wählen muss. Auch formuliert man ja meistens: "Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent gegen den selben Grenzwert.", und nicht "Konvergente Teilfolgen haben genau einen Häufungswert." Aber lass' Dich nicht davon abhalten, es zu ändern, wenn Du es anders siehst.--Gunther 23:20, 12. Jun 2005 (CEST)

@Peter Steinberg: wenn ein bestimmter Textteil unverständlich ist, ist es nicht sinnvoll, ihn deswegen zu löschen, er sollte dann verbessert werden. Danke an Gunther für die Überarbeitung. --DaTroll 09:13, 13. Jun 2005 (CEST)

rerevert

Der Limes ist aber kein Näherungsverfahren. Und $n=\infty$ einsetzen ist verboten. Dieser Gedanke war im Barock verbreitet. Der Grenzwert darf nicht angenommen werden, weil er dann weder Maximum noch Minimum ist und nichts begrenzt. Und man erhält aus der Grenzwertbildung nicht den Grenzwert, sondern beweist, daß der Grenzwert (deswegen im vornehinein) einer ist. Leider gibt es Weierstraß' Grundlegung der Analysis nur aus zweiter Hand von seinen Schülern. Ich möchte in der Einleitung drinhaben, daß der Grenzwert ein einzelner Wert ist, und daß die Annäherung nur für $x_{0},x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ betrachtet wird, und nicht für $x_{n+1},x_{n+2},\cdots ,x_{\infty }$. Man kann ja auch eine falsche Grenze einsetzen, dann funktionierts nicht.

Hier noch zwei Zitate Cantors im Zusammenhang mit Irrationalzahlen (eines Schülers Weierstraßens):

1. Man sieht, daß hier das Erzeugungsmoment, welches die Menge mit der durch sie zu definierenden Zahl verknüpft, in der Summenbildung liegt; doch muß wesentlich hervorgehoben werden, daß nur die Summation einer stets endlichen Anzahl von rationalen Elementen zur Anwendung kommt und nicht etwa von vorneherein die zu definierende Zahl b als die Summe $\sum a_{\nu }$ der unendlichen Reihe $(a_{\nu })$ gesetzt wird; es würde hierin ein logischer Fehler liegen, weil vielmehr die Definition der Summe $\sum a_{\nu }$ erst durch Gleichsetzung mit der notwendig vorher schon definierten fertigen Zahl b gewonnen wird. Ich glaube, daß dieser erst * von Hernn Weierstraß vermiedene logische Fehler in früheren Zeiten fast allgemein begangen und aus dem Grunde nicht bemerkt worden ist, weil er zu den seltenen Fällen gehört, in welchem wirkliche Fehler keinen bedeutenden Schaden im Kalkül anrichten können. --

• * Nicht ganz: Weierstraß war der zweite, Cauchy hat diesen Fehler auch nicht gemacht, hatte aber keine "Schule", es bekannt zu machen.
• Bemerkung: Es wird $\nu =\infty$ statt heute üblich:$\nu \to \infty$ geschrieben. Nicht eingesetzt!

2. Nach allen diesen Vorbereitungen ergibt sich als erster streng beweisbarer Satz, daß wenn b die durch die Fundamentalreihe $(a_{\nu })$ bestimmte Zahl ist, alsdann $b-a_{\nu }$ mit wachsendem $\nu$ dem absoluten Betrage nach kleiner wird als jede denkbare rationale Zahl, oder was dasselbe heißt, daß

$\lim _{\nu =\infty }a_{\nu }=b$

.

Man achte wohl auf diesen Kardinalpunkt, dessen Bedeutung leicht übersehen werden kann: Bei der dritten Definitionsform wird nicht etwa die Zahl b definiert als "Grenze" der Glieder $a_{\nu }$ einer Fundamentalreihe $(a_{\nu })$; denn dies würde ein ähnlicher logischer Fehler sein wie der bei Besprechung der ersten (Zitat 1.) Definitionsform hervorgehobene und zwar aus dem Grunde, weil alsdann die Existenz der Grenze $\lim _{\nu =\infty }a_{\nu }$ präsummiert würde; vielmehr verhält sich die Sache umgekehrt so, daß durch unsere vorangegangen Definitionen der Begriff b mit solchen Eigenschaften und Beziehungen zu den rationalen Zahlen bedacht worden ist, daß daraus mit logischer Evidenz der Schluß gezogen werden kann: $\lim _{\nu =\infty }a_{\nu }$ existiert und ist gleich b. ...

Diese Gedanken treffen wohl doch auch auf gewöhnliche Grenzwertprozesse zu. Sonst taugt diese Beweisart nichts.

Was sollen die Existenz- und All-Quantoren in dem Grenzwert einer Folge. Ist unlesbar, und den Zusammenhang dort zwischen zweiten All-Quantor und dem vorhergehenden Existenz-.Quantor kann ich mindestens sprachlich nicht fassen.Ich meine dieses Monster:

$\left(\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}\right)=a\right)\quad \Longleftrightarrow \quad \forall \left(\epsilon >0\right)\exists \left(N\in \mathbb {N} \right)\forall \left(n>N\right):\left|a_{n}-a\right|<\epsilon$

Ich brauche eine genaue Aussage darüber für die Schildkröte und warum Zenon, mit unserem Ansatz nicht einverstanden ist.

Wenn wieder keiner antwortet rereverte ich. Das ist eine Drohung!--[[ Benutzer:Roomsixhu|Roomsixhu]] 15:47, 14. Jul 2005 (CEST)

Endlich viele Werte "wissen" nichts vom Grenzwert. Man kann immer endlich viele Folgenglieder weglassen, und es ändert sich nichts an Konvergenz oder Grenzwert. Der Grenzwert ist ja gerade als die einzige Zahl charakterisiert, für die gilt, dass in jeder Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen. Das hat aber nichts mit "unendlich klein" oder "unendlich nahe bei" zu tun.

Das erste Zitat bezieht sich auf unendliche Reihen, die auf die Konvergenz von Folgen endlicher Teilsummen zurückgeführt werden; den Bezug zu Deinen Änderungen sehe ich nicht. Das zweite Zitat scheint sich auf die Konstruktion der reellen Zahlen zu beziehen, der Zusammenhang ist mir auch nicht klar.

Die Erklärung, was $|a_{n}-a|<\epsilon$ bedeutet, würde ich nicht in Klammern einfügen; das verschlechtert die Lesbarkeit. Es wäre aber sinnvoll, das in einem separaten Satz zu erläutern, dass das eine Kurzschreibweise für "der Abstand von $a_{n}$ und $a$ ist kleiner als $\epsilon$" oder "$a_{n}$ liegt in einer $\epsilon$-Umgebung um $a$" ist.--Gunther 16:34, 14. Jul 2005 (CEST)

Unendlich viele hieß bei mir fast alle . Du sagst mir nur, daß ich mit $x_{n+1},x_{n+2},\cdots ,x_{\infty }$ rechnen soll, das werde ich nicht tun. Herrscht da nicht ein Induktionsbeweis mit N als Anfang und Schluß von n auf n+1 vor? Da kommt auch nichts von $n=\infty$ vor. Was ist noch mit dem gutlesbaren Monster? Ich meine, daß man nicht erwarten sollte aus der Grenzwertdefinition den Grenzwert berechnen zu können, sondern damit einen Grenzwert beweist. Und Du setzt bei Deiner Begriffsbildung den Grenzwert schon voraus. Die unendlich vielen Glieder wissen etwas vom Grenzwert. Wieso?--Roomsixhu 17:18, 14. Jul 2005 (CEST)

Zum "sprachlichen Monster": Für jeden Mathematiker ist das leicht lesbar; ausgesprochen wird es in etwa: "Für jedes Epsilon größer Null existiert ein N, sodass für jedes n größer N gilt, dass die Differenz zwischen a_n und a betragsmäßig kleiner Epsilon ist." Wo ist das Problem? Kannst Du das "sodass" sprachlich nicht fassen? Ich stimme allerdings zu, dass man die sprachliche Fassung ergänzen sollte und dass es die Sprechbarkeit erleichtert, wenn man statt N N_0 (oder einen anderen unterschiedlich gesprochenen Buchstaben) schriebe. --NeoUrfahraner

Ich kann das fassen, aber nicht aussprechen. Der erste All-Quantor heißt für jedes, der zweite sodass für jedes, sie sehen aber beide gleich aus. Ist "sodass" ein Implikation? Muß ich zur Entscheidung für oder gegen sodass Aussagenlogik treiben? Kann man die Bedeutung an der Stellung nach dem Existenzquantor ablesen? Bitte ein Kochrezept dazu. --Roomsixhu 17:44, 14. Jul 2005 (CEST)

Nein, das "so dass" ist Teil des Existenzquantors. Existenzquantoren lesen sich immer als "es existiert ein x, so dass".--Gunther 17:50, 14. Jul 2005 (CEST)

Was meinst Du mit "Nein"? Aber sonst danke, ist hilfreich.--Roomsixhu 17:54, 14. Jul 2005 (CEST)

Warum hast Du bei Limes einer Funktion die Folge wieder herausgenommen? Dann füge doch etwas ein, was den sinnentleerten Hinweis $x\to a$ wieder sinnvoll und umgänglich macht. War hier die Darstellung ohne Betragsstriche auch schlecht lesbar?--Roomsixhu 18:04, 14. Jul 2005 (CEST)

Die Definitionssätze sind für sich genommen schon schwierig genug. Sie dann noch durch Einschübe in Klammern zu unterbrechen, halte ich für ungünstig. Und die $\epsilon$-$\delta$-Definition kommt ohne Folgen aus. Man kann (und sollte) irgendwo erwähnen, dass $f(x)\to b$ genau dann gilt, wenn für jede Folge mit $x_{n}\to x$ auch $f(x_{n})\to b$ gilt, aber nicht mitten in der Definition.--Gunther 18

11, 14. Jul 2005 (CEST)

Ja gut, dann bitte unten anhängen.(Kein Witz) Und gleich elegant zur Zahlentheorie überleiten.(Ein Witz)--Roomsixhu 18:22, 14. Jul 2005 (CEST)

Einleitung

In der Einleitung steht:

• Grenzwert ist durch Grenzwertbildung (Vorschrift) definiert. Schlecht: Ein Begriff mit sich selbst erklärt.
• in einer Folge von Schritten, stellen Schritte eine Annäherung (Approxiamtion) dar. Genauso steht es da, die Schritte stellen die Annäherung dar. Was macht dann die Folge?(Oft. Wie oft? Immer öfters?)
• Diese Annäherung nähert sich irgendwann (manchmal) nicht mehr dem Grenzwert.

Stattdessen nähern sich (jetzt wieder) Einzelwerte dem Grenzwert. Was sind Einzelwerte? Glieder einer Folge?

Was ist dann eine Folge von Schritten??

Das ist eine Achterbahn--Roomsixhu 19:01, 14. Jul 2005 (CEST)

Wenn die Folge den Grenzwert annimmt, bricht aber die ganze Vorschrift zusammen.

Vorschlag zur Einleitung:

Das Infinitesimale (ein Unendlichkleines) ist nicht Gegenstand dieser Vorschrift, sondern ein Merkmal (Attribut) der Bestandteile der Vorschrift. Es kommen nur endliche Größen vor und man sagt, wenn ein Wert seine unendliche Eigenschaft annimmt gleichzeitig, daß die Folge (o.ä) gegen den Grenzwert konvergiert oder divergiert, je nachdem. --Roomsixhu 19:27, 28. Jul 2005 (CEST)

Oh, tut mir leid, habe erst nach dem Revert gesehen, dass Du die Änderung hier vorgeschlagen hattest. Nochmal ausführlicher:

• Das "Infinitesimale" wird nicht erklärt und taucht vorher nicht auf.
• Mir ist auch nicht klar, was "das Infinitesimale" überhaupt ist, infolgedessen verstehe ich den ganzen ersten Satz nicht.
• Mir ist nicht klar, was Du damit meinst, dass "ein Wert seine unendliche Eigenschaft annimmt".

--Gunther 00:07, 4. Aug 2005 (CEST)

Ich hatte es erst hierhin geschrieben aber das beachtet ja keiner. In der Einleitung steht siehe oben sowieso eine Achterbahn. Wenn das Infinitesimale keine Rolle spielt, braucht man doch keinen Grenzwert und ich verweise auf Zenon Achilles_und_die_Schildkröte. Aber warum wird nicht unendlich eingesetzt oder durch Null geteilt? Man kann altenativ in der Einleitung ja auch nur die endlichen Werte erwähnen. es steht gar nichts über wie oft. (endlich? nein unendlich=infinitesimal!). War auch nur ein Vorschlag, wenn es sonst keinen stört, na bitte. Ich mach auch Nichtstandardanalysis, aber na und? Tschuldigung für den Zeilenumbruch. Ich mach nächstesmal wohl lieber eine Baustelle, wenn mich was wurmt. Gruß --Roomsixhu 00:20, 4. Aug 2005 (CEST)

Ich meine folgendes: Welcher Erklärungsansatz wird hier verfolgt? Ein moderner? Der wird sofort historisch sobald er seine Aufgabe erfüllt hat. Hat er das? Ich habe zwar eine Idee vom Grenzwertbegriff, verstehe aber die Einleitung nicht. Das macht mir nicht so viel aus, denn ich habe mindetens fünf Wege mich diesem Gebiet zu nähern.

1. Cauchy war der erste der das Unendlichkleine aus der Diskussion des Grenzwertbegriffs ausschloß. Im Barock stellte sich die Diskussion so dar wie auf unserer Differentialseite. Cauchy versuchte rationale und irrationale Zahlen auseinanderzuhalten, hat das nur nicht durchgehalten. Cauchys Zahlbegriff war aber nicht zukunftweisend und diametral entgegengesetzt dem von Weierstraß.
2. Weierstraß hat im selben Sinne das Infinitesimale nicht zugelassen. Im Zusammenhang mit dem Zahlbegriff versuchte er zu den Irrationalzahlen die Gleichheit von sie bildenden Reihen zu beweisen. Das gelang ihm nicht. Er konnte nur beliebig genaue Vergleiche anstellen. "In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert eine Größe" wäre in diesem Sinne zu beweisen.
3. Sein Schüler Cantor hatte auch keinen weiteren Begriff, schenkte uns aber die Mengenlehre mit ihrer beeindruckenden Axiomatik. Ist das vielleicht der unsrige Ansatz, nach Bourbaki?
4. Dedekind hatte wieder eine andere Auffassung. In diesem Zusammenhang erwähne ich, daß es nicht unter allen Umständen (damit meine ich bei bestimmten Zahlbegriffen) angebracht ist Werte auszunehmen, um einer Folge das Annehmen des Grenzwertes zwischendurch zu gestatten. "Dabei kann es vorkommen, dass keiner dieser Approximationsschritte den Grenzwert selbst erreicht". Zumindestens ist das heikel.
5. Schließlich kann man noch sagen die unendlichen Zahlen (gibt es mehrere?) sind Zahlen wie alle anderen einschließlich der Rechengesetze, laßt uns damit rechnen, ist zwar vielleicht umständlich aber die Nichtstandardanalyisis macht das. "es handelt sich um eine Folge von Schritten, die Approximationen an den Grenzwert (an den was?) darstellen" passt dann hier wieder nicht gut.
6. und natürlich der Wikipediaansatz.

Zu "Stattdessen nähern sich die Einzelwerte immer mehr an den Grenzwert an" fällt mir nur ein: "Die Natürlichen Zahlen schenkte uns Gott", weiß nicht mehr von wem das Zitat ist. "unterschiedlich" meint hier bestimmt nicht historisch unterschiedlich. Deswegen ärgert mich auch die Nichtbezeichnung "oft" und die ganze Nichteinleitung. Darum, welche Aufgabe hat dieser Wikiansatz erledigt? Nicht historisch werden? Würde das Gegenteil jemanden kränken? Wikipedia ist doch nicht für Unverstand verantwortlich, sondern sollte Gutes auch wiederholen dürfen und darauf hinweisen, daß man unendlich nicht einsetzt in eine Gleichung.--Roomsixhu 01:43, 4. Aug 2005 (CEST)

Ja, die derzeitige Einleitung ist unverständliches Geschwafel, aber das wird nicht dadurch besser, dass man es durch andere unverständliche Sätze ergänzt. Meinetwegen kann man die Einleitung ersetzen durch:

In der Mathematik bezeichnet der Limes oder Grenzwert einer Folge denjenigen Wert, den man als das Folgenglied mit Index "unendlich" auffassen kann. Der Grenzwert einer Funktion ist derjenige Wert, den die Funktion haben müsste, um an der jeweiligen Stelle stetig zu sein.

--Gunther 02:27, 4. Aug 2005 (CEST)