Partielle Ableitung

In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente.

Definition

Sei U eine offene Teilmenge des euklidischen Raums Rⁿ, und f: U -> R eine Funktion. Sei weiterhin ein Punkt a=(a₁, ..., a_n) in U gegeben. Falls für die natürliche Zahl i, 1 ≤ i ≤ n, der folgende Grenzwert existiert:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}$

dann nennt man ihn die partielle Ableitung von f nach der i-ten Variablen x_i an der Stelle a.

Die partielle Ableitung nach x_i ist selbst wieder eine Funktion von U nach R, falls f in ganz U nach x_i partiell differenzierbar ist.

Den Vektor

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \nabla f:= \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) }

nennt man den Gradient von f.

Verwendung

Partielle Ableitungen ermöglichen die Berechnung einer Lösung für Probleme, die von mehreren Parametern abhängen.

Das Bestimmen der optimalen Lösung ist ein Extremwertproblem.

Einfache Extremwertprobleme findet man in der Analysis bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen (vgl. hierzu den Artikel über Differentialrechnung).

Die Verallgemeinerung des Differenzialquotienten auf Funktionen mehrerer Variabler (Veränderlicher, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

In der Differentialgeometrie benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines totalen Differentials. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der Thermodynamik.

Partielle Ableitungen sind darüberhinaus ein wesentlicher Bestandteil der Vektoranalysis (vgl. auch den Artikel über Vektorrechnung). Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des Laplace-Operators, der Divergenz und des Rotators in Skalar- und Vektorfeldern.

Beispiele

Die partielle Ableitung setzt eine Funktion voraus, die von mehreren Parametern abhängt.

Als Beispiel wird die Funktion $f(x,y):=x^{2}+y^{2}$ betrachtet, die von den beiden Parametern x und y abhängt.

Betrachtet man den Parameter y als eine Konstante, z.B. y = 3, so hängt die Funktion f(x,3) nur noch von dem Parameter x ab:

$f(x,3)=x^{2}+9$

Für die neue Funktion $g(x)=x^{2}+9$ kann man den Differenzialquotienten bilden

${\frac {dg(x)}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=g'(x)=2*x$

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion f(x,y) nach x bildet:

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h,y)-f(x,y)}{h}}=2*x$

Die partielle Ableitung von f(x,y) nach y lautet entsprechend:

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x,y+h)-f(x,y)}{h}}=2*y$

Diese Beispiel demonstriert wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Parametern abhängt:

bis auf einen Parameter werden alle anderen Parameter als konstant angenommen, bezüglich dieses einen Parameters wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach diesem einen Parameter.

Das folgende Beispiel gibt eine geometrische Deutung der partiellen Ableitung:

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird der Graph der Funktion $f(x,y):={\sqrt {1-x^{2}+y^{2}}}$ betrachtet.

Der Definitionsbereich ist ein Kreis mit Radius 1 in der x,y - Ebene, der den Punkt (0,0) als Mittelpunkt enthält.

Die Funktion f projiziert diesen Kreis auf die Oberfläche einer Halbkugel vom Radius 1 (die "obere Halbkugel"). Der Pol dieser Halbkugel ist Extremwert von f (ein Maximum).

Für einen festen Wert von x ist dann f(x,y) eine Funktion von y.

Bei festem x ergeben die Punkte y (so dass (x,y) aus dem Definitionsbereich von f ist) eine Strecke parallel zur y - Achse.

Diese Strecke wird von f auf eine gekrümmte Linie auf der Oberfläche der Halbkugel projiziert.

Die partielle Ableitung von f nach y bestimmt unter diesen Voraussetzungen die Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt f(x,y).

Für jeden Parameter einer Funktion f kann man partielle Ableitungen bestimmen, den Graph einer Funktion f, die von mehr als zwei Parametern abhängt, kann man sich allerdings nicht mehr vorstellen.

Literatur

• Kurt Endl/Wolfgang Luh: Analysis II, Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974

  Ein Klassiker, didaktisch sehr gut aufgebaut. So stellt man sich ein Vorlesungs-Skript vor.