Keplersche Fassregel

Die Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist eine Methode zur näherungsweisen Berechnung von Integralen.

Ist f(x) die Parabel durch die drei Punkte:

(a/f(a));(b/f(b));(½(a+b)/f(½(a+b))

so ist die Fläche unter der Parabel gegeben durch:

$A={\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\!\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)$

und berechnet eine Näherung für

$I=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

Der Name Fassregel lässt sich durch die folgende Anwendung motivieren: Zur Berechnung des Volumens eines Weinfasses sei $q(x)$ die Querschnittsfläche quer zur Längsachse in der Entfernung $x$ vom Boden des Fasses; sie lässt sich durch Bestimmung des Umfanges leicht ausrechnen. Ist $h$ die Höhe des Fasses, so ist das Volumen gleich

$\int _{0}^{h}q(x)\,\mathrm {d} x.$

Die Keplersche Fassregel gibt nun

${\frac {h}{6}}\cdot (q(0)+4q(h/2)+q(h))$

als Näherungswert für das Volumen eines Fasses, dessen Querschnitt an drei Stellen bekannt ist.

Die Formel gibt das richtige Volumen für:

Kegel

$q(0)=0;q({\frac {h}{2}})={\frac {1}{4}}\cdot q(h);q(h)=R^{2}\pi$

$V_{Kegel}={\frac {h}{6}}\cdot (0+{\frac {4}{4}}\pi R^{2}+\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (2\pi R^{2})={\frac {1}{3}}\cdot \pi R^{2}h$

Kegelstumpf

$q(0)=r^{2}\pi ;q({\frac {h}{2}})=({\frac {r+R}{2}})^{2}\cdot \pi ;q(h)=R^{2}\pi$ $V_{Kegelstumpf}={\frac {h}{6}}\cdot [r^{2}\pi +4\pi ({\frac {r+R}{2}})^{2}+\pi R^{2}]={\frac {h}{6}}\cdot [\pi r^{2}+{\frac {4}{4}}\pi \cdot (r^{2}+2rR+R^{2})+R^{2}]$ $={\frac {h}{6}}\pi \cdot [r^{2}+r^{2}+2rR+R^{2}+R^{2}]$ $={\frac {h}{6}}\pi \cdot [2r^{2}+2rR+2R^{2}]$ $={\frac {h}{3}}\pi \cdot [r^{2}+rR+R^{2}]$

Kugel

$q(0)=0;q({\frac {h}{2}})=R^{2}\pi ;q(h)=0;h=2R$

$V_{Kugel}={\frac {2R}{6}}\cdot (0+4\cdot \pi R^{2}+0)={\frac {2R}{6}}\cdot (4\pi R^{2})={\frac {4}{3}}\cdot \pi R^{3}$

Zylinder

$q(0)=R^{2}\pi ;q({\frac {h}{2}})=R^{2}\pi ;q(h)=R^{2}\pi$

$V_{Zylinder}={\frac {h}{6}}\cdot (\pi R^{2}+4\cdot \pi R^{2}+\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (6\pi R^{2})={\frac {6h}{6}}\cdot \pi R^{2}=\pi R^{2}h$

Rotationsparaboloid

$q(0)=0;q({\frac {h}{2}})={\frac {1}{2}}R^{2}\pi ;q(h)=R^{2}\pi$

$V_{Paraboloid}={\frac {h}{6}}\cdot (0+{\frac {4}{2}}\cdot \pi R^{2}+\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (3\pi R^{2})={\frac {h}{6}}\cdot 3\pi R^{2}={\frac {1}{2}}\pi R^{2}h$

Fass

Drei Weinfässer - zwei Fuderfässer zu 3125 und 1000 Liter und ein Stückfass zu 1400 Liter

$q(0)=r^{2}\pi ;q({\frac {h}{2}})=R^{2}\pi ;q(h)=r^{2}\pi$

$V_{Fass}={\frac {h}{6}}\cdot (r^{2}\pi +4\cdot \pi R^{2}+\pi r^{2})={\frac {h}{6}}\cdot (2\pi r^{2}+4R^{2}\pi )$

Ist $u$ der Umfang von Boden und Deckel und $U$ der Umfang in der Mitte des Fasses, so ergibt sich daraus die Näherungsformel:

${\frac {h}{6}}\cdot [2\pi ({\frac {u}{2\pi }})^{2}+4({\frac {U}{2\pi }})^{2}\pi ]$ $={\frac {h}{6}}\cdot [2\pi {\frac {u^{2}}{4\pi ^{2}}}+4{\frac {U^{2}}{4\pi ^{2}}}\pi ]$

$={\frac {h}{12\pi }}[u^{2}+2U^{2}].$

Siehe auch: Simpsonsche Formel, Newton-Cotes-Formeln