Kegel (Geometrie)

In der Geometrie ist ein Kegel ein Körper, der durch eine Kreisfläche, umschlossen vom Basiskreis, und einen Punkt, der Spitze, begrenzt ist. Dabei liegt die Spitze nicht in der gleichen Ebene wie die Kreisfläche.

Die Gerade, auf welcher der Mittlepunkt des Basiskreises und die Spitze liegen, nennt man die Achse des Kegels. Der Mantel ist jener Teil der Oberfläche, der nicht durch den Basiskreis gebildet wird. Die Ebene, in der der Basiskreis liegt, heißt Basisebene (oder Basiskreisebene). Als Höhe (h) des Kegels wird der Normalabstand von der Basiskreisebene und der Spitze bezeichnet. Unter Radius (r) des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises. Steht die Achse senkrecht auf die Basisebene, spricht man von einem geraden Kegel oder Drehkegel, ansonsten von einem schiefen Kegel. Bei einem Drehkegel werden die Verbindungslinien von Basiskreis zur Spitze Erzeugende genannt (m), da sie den Mantel "erzeugen". Der Winkel zwischen Erzeugenden und Achse eines Drehkegels heißt Öffnungswinkel (φ).

gerader Kegel mit abgewickelter Mantelfläche

Formeln

• Volumen: $V={\frac {r^{2}\pi {}h}{3}}$
• Oberfläche des Mantels eines Drehkegels: M = π·r·s, wobei s die Länge der Erzeugenden ist.

Beweise

Volumen

Ein beliebter Beweis mit Hilfe der Integration

Die Gerade aus der Zeichnung ist so definiert (Geradengleichung):

$g:y={\frac {r}{h}}\cdot x$

Man lässt den Körper nun an der x-Achse rotieren:

$V=\pi \int _{0}^{h}{\frac {r^{2}}{h^{2}}}\cdot x^{2}\,dx$

$V=\pi \cdot ({\frac {r^{2}}{h^{2}}}\cdot {\frac {x^{3}}{3}})$

Nun bestimmt man das Integral

$V={\frac {r^{2}\cdot \pi \cdot h^{3}}{h^{2}\cdot 3}}$

und kommt zur bekannten Formel

$V={\frac {r^{2}\cdot \pi \cdot h}{3}}$

Doppelkegel

Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene, entstehen die so genannten Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel

Verallgemeinerung

Man verallgemeinert die Eigenschaft des (unendlichen) Kegels, aus Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt zu bestehen, zu kegelförmigen Mengen, zu denen dann z.B. auch eine unendlich hohe Pyramide gehört. Besonderes Interesse gilt dabei den konvexen Kegeln, die in der linearen Optimierung eine Rolle spielen.