Dynamisches System

Ein dynamisches System beschreibt die zeitliche Veränderung von Größen (so genannter Zustände), beispielsweise die möglichen Bewegungsabläufe eines Pendels oder die zeitliche Veränderung von Populationszahlen zweier konkurrierender Spezies im Räuber-Beute-Modell.

Man unterscheidet zwischen diskreten und kontinuierlichen dynamischen Systemen.

Bei einem diskreten System interessiert man sich für die Zustandsänderungen bei einem Zeitsprung. Beispielsweise wird beim (diskreten) Räuber-Beute-Modell die Veränderung der Populationszahlen von einem auf das andere Jahr beschrieben. Zwischen autonomen Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systemen besteht eine Eins-zu-Eins-Beziehung.

Bei einem kontinuierlichen dynamischen System hingegen wird für jede beliebige Zeitspanne die Zustandsänderung beschrieben. Wichtigste Beispiele für kontinuierliche dynamische Systeme sind autonome gewöhnliche Differenzialgleichungen.

Für eine Zeitmenge $\mathbb {T} =\mathbb {N}$ (diskret) oder $\mathbb {T} =\mathbb {R}$ (kontinuierlich) ist ein dynamisches System formal durch das geordnete Paar $(X,\Phi )$ gegeben. Dabei bezeichnet $X$ einen metrischen Raum, den Phasenraum oder Zustandsraum. Die Zeitentwicklung wird durch den Fluß $\Phi$ charakterisiert, die durch eine stetige Abbildung $\Phi :\mathbb {T} \times X\rightarrow X$ gegeben ist. Die Abbildung $\Phi$ erfüllt hierbei folgende Eigenschaften:

$(a)\;\Phi (0,x)=x$ für alle x und

$(b)\;\Phi (t,\Phi (s,x))=\Phi (s+t,x)$ für alle s,t und x.

Die Eigenschaft (a) bedeutet, dass sich ein Zustand nach 0 Zeiteinheiten nicht verändert. (b) bedeutet, dass man zunächst in s Zeiteinheiten von x nach $\Phi (s,x)$ gelangt und anschließend in t Zeiteinheiten von $\Phi (s,x)$ nach $\Phi (s+t,x)$. In anderen Worten: $\Phi$ hat die Struktur eines Monoids.

Wenn die Abbildung $\Phi$ invertierbar ist, ist die Dynamik reversibel. Dann ist nach (b) also

$\Phi (-t,x)=\Phi ^{-1}(t,x)$,

so daß $\mathbb {T} =\mathbb {Z}$ gewählt werden kann.

In der Theorie dynamischer Systeme interessiert man sich besonders, bei gegebenem x, für das Verhalten von $\Phi (t,x)$ für $t\rightarrow \pm \infty$. Hierbei sind Grenzmengen von großer Bedeutung. Die wichtigsten Grenzmengen sind Fixpunkte und periodische Orbits. Gerade in nichtlinearen Systemen trifft man aber auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. Diese werden in der Chaostheorie ausführlich untersucht.

Ein besonderer Zweig der Theorie der dynamischen Systeme ist die symbolische Dynamik. Hier untersucht man zeitdiskrete Systeme deren Zustände durch Symbolsequenzen eines endlichen Alphabets beschrieben werden.