Minimalfläche

Eine Minimalfläche ist eine Fläche minimalen Flächeninhalts bei vorgegebener Randkurve. Damit ist diese Fläche ein Minimum des Flächeninhaltsfunktionals:

$A({\mathfrak {x}})=\int {\sqrt {g(u)}}\,\mathrm {d} ^{n}u$.

Hierbei sind die Größen $g{\big (}u{\big )}:=\operatorname {det} (g_{ij}(u))_{i,j=1,\cdots ,n}$ und $g_{ij}(u)={\frac {\partial {\mathfrak {x}}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial {\mathfrak {x}}}{\partial u_{j}}}$ für $i,j=1,\cdots ,n$ erklärt. Beispielsweise modellieren Minimalflächen Seifenhäutchen, welche sich in eine Drahtkurve einspannen. Minimalflächen stehen schon seit dem 19. Jahrhundert im Blickpunkt mathematischer Forschung. Ein wesentlicher Beitrag dazu waren die Experimente des belgischen Physikers Joseph Plateau.

Ausführungen zur Existenztheorie in zwei Veränderlichen

Ein zwei dimensionaler Parameterbereich stellt immer eine Besonderheit dar. Denn mit den Werkzeugen der Funktionentheorie kann man viel weitergehende Aussagen als in höheren Raumdimensionen erzielen. Dadurch kann man sich zum Beispiel immer auf die Kreisscheibe als Parameterbereich mit dem Riemannschen Abbildungssatz zurückziehen. Auch gilt der Uniformisierungssatz nur in zwei Raumdimension. Er erlaubt es isotherme Parameter einzuführen, welche bei der Lösung im parametrischen Falle benötigt werden. Darum ist die Theorie in zwei Veränderlichen auch besonders weit entwickelt.

Formulierung als Variationsproblem

Man kann zeigen, dass eine Fläche genau dann eine Minimalfläche ist, wenn sie an jedem Punkt die mittlere Krümmung Null hat. Damit stellt sich eine Minimalfläche als Spezialfall einer Fläche vorgeschriebener mittlerer Krümmung dar. Diese entziehen sich ebenfalls nicht der Variationsrechnung, sie sind Minima des Hildebrandtschen Funktionals

$A({\mathfrak {x}})=\iint {\big (}|{\mathfrak {x}}_{u}\times {\mathfrak {x}}_{v}|+2(Q({\mathfrak {x}}),{\mathfrak {x}}_{u},{\mathfrak {x}}_{v}){\big )}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$.

Die Eulerschen Gleichungen als notwendige Minimalitätsbedingungen sind das nach Franz Rellich benannte H-Flächensystem

$\Delta {\mathfrak {x}}=2H{\mathfrak {x}}_{u}\times {\mathfrak {x}}_{v},\qquad {\mathfrak {x}}_{u}^{2}-{\mathfrak {x}}_{v}^{2}=0={\mathfrak {x}}_{u}{\mathfrak {x}}_{v}$.

Hierbei ist $H=\operatorname {div} \,Q$ die mittlere Krümmung.

Parametrischer Fall

Für dieses Funktional stellt sich die Frage nach der Existenz von lokalen Minima bei vorgegebener stetiger Randkurve endlicher Länge. Diese Aufgabe bezeichnet man in der Literatur auch häufig als Plateausches Problem. Unter Annahme einer Kleinheitsbedingung an die mittlere Krümmung, welche im Minimalflächenfall immer erfüllt ist, kann diese Frage positiv beantwortet werden. Um sich davon zu überzeugen, minimiert man gleichzeitig $A$ und das Energiefunktional

$E({\mathfrak {x}})=\iint {\Big (}{\frac {1}{2}}|\nabla {\mathfrak {x}}|^{2}+2(Q({\mathfrak {x}}),{\mathfrak {x}}_{u},{\mathfrak {x}}_{v}){\Big )}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

unter Einführung sogenannter fast-isothermer Parameter. Im Falle geschlossener Flächen stellt sich die Kugeloberfläche als einzige Fläche konstanter positiver mittlerer Krümmung heraus, die ein gegebenes Volumen umschließt, wie Herrmann Amandus Schwarz im Jahre 1884 bewies.

Verzweigungspunkte

Stellen, an denen die Lösung $|{\mathfrak {x}}_{u}\times {\mathfrak {x}}_{v}|=0$ erfüllt, nennt man Verzweigungspunkte. Verzweigungspunkte sind so interessant, weil an diesen Punkten die Parametrisierung singulär werden kann. Oder viel schlimmer noch ist die zweite Möglichkeit, es könnte auch sein, dass die Lösung lokal keine Fläche mehr ist, sondern nur noch eine Kurve. Nun liefern funktionentheoretische Überlegungen, welche wesentlich durch Arbeiten von Carleman und Vekua inspiriert sind, dass die Lösung höchstens endlich viele solcher Verzweigungspunkte haben kann. Leider schließt die obige Methode solche Verzweigungspunkte nicht a-priori aus. Erst mit dem aufwändigen Satz von Gulliver-Alt-Ossermann gelingt dieses a-posteriori. Darum besteht der Wunsch, das Plateausche Problem in der Klasse der verzweigungspunktfreien H-Flächen zu lösen. Das ist bis heute eine offene Frage.

Nicht-parametrischer Fall

Die obige Methode führt allerdings nur für konstantes $H$ zum Erfolg. Hängt die mittlere Krümmung zusätzlich von der Lösung ab, so kann man im Falle eines Graphen immernoch etwas tun. Ist ${\mathfrak {x}}$ ein Graph, so schreibt er sich als ${\mathfrak {x}}(u,v)=(u,v,\zeta (u,v))^{T}$ und die Funktion $\zeta$ erfüllt die nicht-parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung

$(1+\zeta _{v}^{2})\zeta _{uu}-2\zeta _{u}\zeta _{v}\zeta _{uv}+(1+\zeta _{u}^{2})\zeta _{vv}=H(u,v,\zeta (u,v))$.

Ein tiefliegendes Existenzresulat liefert die Lösbarkeit des Dirichletproblems dieser partiellen Differentialgleichung ebenfalls unter Annahme einer Kleinheitsbedingung und weiteren technischen Voraussetzungen. Die Eindeutigkeit ist durch ein Maximumprinzip für die Differenz zweier Lösungen ebenfalls geklärt. Darüberhinaus sind Graphen wegen

$|{\mathfrak {x}}_{u}\times {\mathfrak {x}}_{v}|={\sqrt {1+\nabla \zeta (u,v)^{2}}}\geq 1$

immer verzweigungspunktfrei.

Beispiel einer Minimalfläche (nach H.F. Scherk)

Die Minimalfläche von H. F. Scherk zum Parameter c=1.

Wir suchen alle Lösungen der nicht-parametrischen Minimalflächengleichung, welche sich in der Form $z=\zeta {\big (}u,v{\big )}=f(u)+g(v)$ schreiben lassen und den Bedingungen $\zeta {\big (}0,0{\big )}=0$, $\nabla \zeta (0,0)=0$ genügen. Wir setzen diese Struktur zunächst in die Minimalflächengleichung ein und erhalten

$0\,\,=(1+\zeta _{v}^{2})\zeta _{uu}-2\zeta _{u}\zeta _{v}\zeta _{uv}+(1+\zeta _{u}^{2})\zeta _{vv}$

$={\big (}1+(g'(v))^{2}{\big )}f''(u)+(1+(f'(u))^{2})g''(v)$.

Äquivalentes Umstellen liefert mit einem $c\in \mathbb {R}$

$-{\frac {f''(u)}{1+(f'(u))^{2}}}=c={\frac {g''(v)}{1+(g'(v))^{2}}}$.

Nach der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen existiert jeweils genau eine Lösung für die Anfangswertprobleme

$f''{\big (}u{\big )}+c(1+(f'(u))^{2})=0$ zu den Daten $f(0)=0,\,\,f'(0)=0$

und

$g''{\big (}v{\big )}-c(1+(g'(v))^{2})=0$ zu den Daten $g(0)=0,\,\,g'(0)=0$.

Diese Lösungen lauten

$f(u)={\frac {1}{c}}\log \cos(cu)$

und

$g(v)=-{\frac {1}{c}}\log \cos(cv)$.

Hier bleibt zu bemerken, dass wir noch an den Anfangswerten $f{\big (}0)=d$ und $g{\big (}0)=-d$ mit einem $d\in \mathbb {R}$ variieren könnten. Jedoch kann man OBdA wegen der Strukturbedingung und der Tatsache, dass die Funktionen selbst nicht in den gewöhnlichen Differentialgleichungen auftreten, $d=0$ fordern. Somit erhalten wir

$z=\zeta {\big (}u,v{\big )}=f(u)+g(v)={\frac {1}{c}}\log {\frac {\cos(cu)}{\cos(cv)}}$.

Wir bemerken, dass diese Minimalfläche auf dem Quadrat

$\Omega :={\big \{}(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}:\,|u|<{\frac {\pi }{2c}},\,|v|<{\frac {\pi }{2c}}{\big \}}$

erklärt und nicht darüberhinaus fortsetzbar ist.

Höhere Raumdimensionen

In hohen Raumdimensionen ist ein Zugang zum Plateauschen Problem schwer denkbar. Hier hat man lediglich die Möglichkeit die Lösung als Graph aufzufassen. Die Minimalflächengleichung für den Graphen schreibt sich

$\operatorname {div} {\frac {\nabla \zeta }{\sqrt {1+\nabla \zeta ^{2}}}}=0$.

Durch die Theorie der schwachen Lösbarkeit elliptischer Randwertprobleme kann man auch in dieser Situation die Existenz von Lösungen garantieren. Nachfolgende Regularitätsbetrachtungen liefern eine klassische Lösung. Wie in zwei Raumdimensionen erhält man auch hier die Eindeutigkeit durch ein Maximumprinzip für die Differenz zweier Lösungen.

Einige interessante Aussagen über Minimalflächen

Auf Grund der relativ einfachen Struktur der Gleichungen, denen Minimalflächen genügen, kann man eine ganze Reihe an bekannten Aussagen, welche man besonders für holomorphe oder harmonische Funktionen kennt auch auf Minimalflächen in zwei Veränderlichen übertragen.

Maximumprinzip

Für eine Minimalfläche ${\mathfrak {x}}$ gilt die Ungleichung

$\sup _{w\in B}|{\mathfrak {x}}(w)|\leq \sup _{w\in \partial B}|{\mathfrak {x}}(w)|$.

Die Minimalfläche nimmt ihr Maximum also auf dem Rand des Gebietes, auf dem sie erklärt ist, an.

Uniformisierende Abbildungen

In der Geodäsie kann man sogenannte isotherme Parameter einführen. Die Abbildung, die das bewerkstelligt heißt uniformisierende Abbildung. Uniformisierende Abbildungen von Minimalflächen sind harmonische Funktionen.

Reellanalytischer Charakter

Minimalflächen sind, solange sie in isothermen Parametern vorliegen, reellanalytische Funktionen im Inneren des Gebietes, in welchem sie erklärt sind. Das bedeutet, die Parameterdarstellung kann in jedem Punkt des Gebietes in einer Umgebung dieses Punktes in eine konvergente Potenzreihe entwickelt werden. Mithin ist sie unendlich oft differenzierbar. Ist darüberhinaus die Randkurve in einem Punkt reellanalytisch, so kann die Minimalfläche in einer Umgebung dieses Punktes reellanalytisch über den Rand hinaus fortgesetzt werden.

Die Sätze von Bernstein und Liouville

Der Satz von S. Bernstein für Minimalflächen lautet: Eine auf dem ganzen $\mathbb {R} ^{2}$ erklärte Lösung $\zeta {\big (}u,v{\big )}$ der nicht-parametrischen Minimalflächengleichung erfüllt notwendig die Gleichung

$\zeta {\big (}u,v{\big )}=au+bv+c$

mit Konstanten $a,b,c\in \mathbb {R}$.

Aus diesem Satz folgt sofort der Satz von Liouville für Minimalflächen: Eine auf dem ganzen $\mathbb {R} ^{2}$ erklärte beschränkte Lösung $\zeta {\big (}u,v{\big )}$ der nicht-parametrischen Minimalflächengleichung erfüllt notwendig

$\zeta {\big (}u,v{\big )}=\operatorname {const}$.

Weierstraßsche Darstellungsformel

Die nach Karl Weierstraß benannte Darstellungsformel liefert einen Zusammenhang zwischen der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. Nun hat Weierstraß großen Einfluß auf das Entstehen der Funktionentheorie gehabt. Diese Darstellungsformel war einer der Gründe warum dieser relativ neue Zweig der Mathematik ernst genommen wurde und so erfolgreich war und ist. Er hat herausgefunden, dass sich jede nicht konstante Minimalfläche ${\mathfrak {x}}(w)=(x(w),y(w),z(w))$ als Integral mit den beiden holomorphen Funktionen g und h schreiben läßt. Genauer gilt für die Komponenten

$x(w)=c_{1}+\Re \int _{w_{0}}^{w}{\frac {h(\zeta )(1-g(\zeta )^{2})}{2}}\mathrm {d} \zeta$,

$y(w)=c_{2}+\Re \int _{w_{0}}^{w}{\frac {h(\zeta )(1+g(\zeta )^{2})}{2}}\mathrm {d} \zeta$,

$z(w)=c_{3}+\Re \int _{w_{0}}^{w}h(\zeta )g(\zeta )\mathrm {d} \zeta$.

Diese Darstellungsformel ermöglicht es, mit Hilfe moderner Computeralgebrasysteme Bilder von beliebigen Minimalflächen zu erzeugen.

Bemerkungen zum Flächeninhaltsfunktional

Wir werden dieses Funktional zunächst allgemein herleiten und die Invarianz unter positiv orientierten Parametertransformationen zeigen. Schließlich werden wir die ein- und zwei-dimensionalen Spezialfälle explizit ausrechnen.

Herleitung und Parameterinvarianz

Wir beachten, dass sich unsere Minimalfläche als m-dimensionale Mannigfaltigkeit im n-dimensionalen reellen Vektorraum auffassen läßt. Das ist wegen dem Einbettungssatz von Nash immer möglich. Wir erklären zunächst den metrischen Tensor

$g_{ij}(u):={\frac {\partial {\mathfrak {x}}(u)}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial {\mathfrak {x}}(u)}{\partial u_{j}}}$

mit der Determinante

$g(u):=\operatorname {det} (g_{ij}(u))_{i,j=1,\cdots ,m}$.

Wir erinnern uns, dass sich ein Inhalt einer m-dimensionalen Fläche als m-dimensionales Integral über die charakteristische Funktion dieser Fläche ergibt. Eine charakteristische Funktion ist überall identisch eins auf der Menge und sonst identisch null. Damit müssen wir lediglich das Oberflächenelement geeignet ausdrücken. Wir beginnen und erklären in einem festen Punkt u die Tangentialvektoren

${\frac {\partial {\mathfrak {x}}(u)}{\partial u_{i}}}$ für $i,j=1,\cdots ,m$

weiter wählen wir Vektoren $\xi _{m+1},\cdots ,\xi _{n}$, so dass das System

$({\mathfrak {x}}_{u_{1}},\cdots ,{\mathfrak {x}}_{u_{m}},\xi _{m+1},\cdots ,\xi _{n})$

positiv orientiert ist und die beiden Bedingungen $({\mathfrak {x}}_{u_{i}},\xi _{j})=0$ und ${\big (}\xi _{i},\xi _{j})=\delta _{ij}$ für alle sinnvollen Werte von i und j erfüllt. Somit schreibt sich das Oberflächenelement

$\mathrm {d} \sigma (u)=\operatorname {det} ({\mathfrak {x}}_{u_{1}},\cdots ,{\mathfrak {x}}_{u_{m}},\xi _{m+1},\cdots ,\xi _{n})\mathrm {d} u_{1}\cdots \mathrm {d} u_{m}$

$={\sqrt {\operatorname {det} (({\mathfrak {x}}_{u_{1}},\cdots ,\xi _{n})^{T}({\mathfrak {x}}_{u_{1}},\cdots ,\xi _{n}))}}\mathrm {d} u_{1}\cdots \mathrm {d} u_{m}$

$={\sqrt {\operatorname {det} (g_{ij}(u))_{i,j=1,\cdots ,m}}}\mathrm {d} u_{1}\cdots \mathrm {d} u_{m}$

$={\sqrt {g(u)}}\mathrm {d} u_{1}\cdots \mathrm {d} u_{m}$.

Wenn wir den folgenden Satz über die Determinante beachten

Die Determinante zweier $m\times n$-Matrizen mit $m\leq n$ ist

$\operatorname {det} (A^{T}B)=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{m}\leq n}\operatorname {det} A_{i_{1}\cdots i_{m}}\operatorname {det} B_{i_{1}\cdots i_{m}}$.

Dabei bezeichnet $A_{i_{1}\cdots i_{m}}$ die Teilmatrix von $A$, welche nur aus den Zeilen $i_{1}\dots i_{m}$ besteht.

Dann können wir unser Oberflächenelement in der Form

$\mathrm {d} \sigma (u)={\sqrt {\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{m}\leq n}\left({\frac {\partial {\big (}{\mathfrak {x}}_{u_{i_{1}}},\cdots ,{\mathfrak {x}}_{u_{i_{m}}}{\big )}}{\partial {\big (}u_{1},\cdots ,u_{m}{\big )}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} u_{1}\cdots \mathrm {d} u_{m}$

schreiben. Mit Hilfe der Transformationsformel stellen wir nun die Invarianz unter gleichsinnigen Parametertransformationen des Oberflächenelements und damit des Flächeninhaltsfunktionals fest.

Der ein- und zwei-dimensionale Inhalt

In einer Raumdimension reduziert sich dieses Funktional auf die gewöhnliche Weglänge. Es lautet

$A({\mathfrak {x}})=\int |{\mathfrak {x}}'(u)|\,\mathrm {d} u$.

Hat meine eine zwei-dimensionale Fläche vorliegen, welche in den drei-dimensionalen Raum eingebettet ist, erhält man mit der Identität von Lagrange: $EG-F^{2}=|{\mathfrak {x}}_{u}\times {\mathfrak {x}}_{v}|^{2}$. Damit schreibt sich das Flächeninhaltsfunktional

$A({\mathfrak {x}})=\iint |{\mathfrak {x}}_{u}\times {\mathfrak {x}}_{v}|\,\mathrm {d} u\mathrm {d} v$.

Literatur

• David Gilbarg, Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 224, Springer-Verlag, 1983.

• Ullrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Albrecht Küster, Ortwin Wohlrab Minimal Surfaces I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 295, Springer-Verlag, 1992.

• Ullrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Albrecht Küster, Ortwin Wohlrab Minimal Surfaces II, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 296, Springer-Verlag, 1992.

• Stefan Hildebrandt, Anthony Tromba, Kugel, Kreis und Seifenblasen, Optimale Formen in Geometrie und Natur, Birkhäuser, 1996.

• Friedrich Sauvigny, Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik, Grundlagen und Integraldarstellungen, Band 1, Springer-Verlag, 2004.

• Friedrich Sauvigny, Partielle Differentialgleichungen der Geometrie und der Physik, Funktionalanalytische Lösungsmethoden, Band 2, Springer-Verlag, 2005.