Logarithmus

Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion (Formelzeichen "log").

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (abgekürzt "exp").

Sowohl Exponentialfunktion als auch Logarithmus sind immer durch eine bestimmte, im folgenden a genannte Basis definiert, und hängen dann über folgende Beziehung zusammen:

Wenn y = a^x dann ist x = log_a(y).

Man sieht, dass der Logarithmus für 0 und negative Zahlen nicht definiert ist.

(In der Funktionentheorie, in der Funktionen Komplexer Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren.)

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst, wie

pH (Säurewert von chemischen Lösungen) oder

dB (Dezibel) z.B. Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung

sind logarithmisch.

Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, wurden Logarithmen dazu benutzt Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen.

Als Hilfsmittel verwendete man hierzu oftmals Rechenschieber (Napier)oder Logarithmentafeln. Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln am Ende des Artikels.

Der Logarithmus einer Zahl x zu einer Basis b gibt in gewisser Weise an, wieviele Stellen diese Zahl hat. Beispielsweise ist

log₁₀(1) = 0 weil 10⁰ = 1

log₁₀(10) = 1 weil 10¹ = 10

log₁₀(100) = 2 weil 10² = 100

log₁₀(1000) = 3 weil 10³ = 1000

log₁₀(10000) = 4 weil 10⁴ = 10000

etc.

Natürlicher und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit "ln" abgekürzt:

Wenn y = e^x dann ist x = log_e(y) = ln(y).

Man spricht vom Natürlichen Logarithmus, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differezialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten.

Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit "lg" abgekürzt, der zur Basis 2 mit "lb" (binärer Logarithmus, dualer Logarithmus).

http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/log2.gif

(Das Beispielbild zum binären Logarithmus stammt von rho, es ist frei im Sinne von GNU)

Abkürzungen

• log_a: allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a

• ln = log_e: Natürlicher Logarithmus zur Basis e

• lg = log₁₀: Logarithmus zur Basis 10

• lb = ld = log₂: Logarithmus zur Basis 2, binärer Logarithmus, dualer Logarithmus, Zweierlogarithmus

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen:

log_b(x) = log_a(x) / log_a(b)

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i.a. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obriger Fromel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel

log₁₀(8) = log₂(8) / log₂(10) ≈ ca. 3 / 3,32 ≈ ca. 0,90

Rechenregeln mit Beispiel

log_b(u*v) = log_b(u)+log_b(v)

log₁₀(10*100) = log₁₀(10)+log₁₀(100) = 1+2 = 3

log_b(u/v) = log_b(u)-log_b(v)

log₁₀(100/10) = log₁₀(100)-log₁₀(10) = 2-1 = 1

log_b(u^z) = z*log_b(u)

log₁₀(100²) = 2*log₁₀(100) = 2*2 = 4

log_b (u^1/z) = log_b(z√u) = 1/z * log_b(u)

log₁₀(2√100) = 1/2*log₁₀(100) = 1/2*2 = 1

log_a(1) = 0

log₁₀(1) = 0

log_a(a) = 1

log₁₀(10) = 1

log_a(1/x) = -log_a(x)

log₁₀(1/100) = -log₁₀(100) = -2

Links

Logarithmusrechner mit Quelltext

http://iva.uni-ulm.de/physik/REPETITORIUM/MATHEMATIK/2/02.html

http://home.t-online.de/home/0926161717-0002/log.htm

/Diskussion