Matrix (Mathematik)

Schema für eine allgemeine m×n-Matrix

In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural: Matrizen) eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen bzw. mathematischen Objekten, mit denen man rechnen (z. B. addieren, multiplizieren) kann.

Matrizen sind ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra und tauchen in fast allen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen Zusammenhänge, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, übersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und Gedankenvorgänge. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben.

Die Bezeichnung „Matrix“ wurde 1850 von James Joseph Sylvester eingeführt.

Eine Anordnung, wie in nebenstehender Abbildung, von $m\cdot n$ Elementen $a_{ij}\,$ erfolgt in $m\,$ Zeilen und $n\,$ Spalten.

Begriffe und erste Eigenschaften

Notation

Als Notation hat sich die Aneinanderreihung der Elemente in Zeilen und Spalten zwischen einer großen öffnenden und einer schließenden Klammer durchgesetzt. Die Form der Klammern ist nicht einheitlich festgelegt; es werden aber meist runde oder eckige Klammern verwendet. Beispielhaft stehen die Notationen

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}}$

für eine Matrix mit zwei Zeilen und drei Spalten. Die Matrix an sich wird durch (manchmal fettgedruckte) Großbuchstaben, vorzugsweise A bezeichnet. Eine allgemeine Matrix mit endlich vielen Elementen könnte so aussehen:

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}}=(a_{ij})$

Elemente der Matrix

Die Elemente der Matrix nennt man Einträge oder Komponenten der Matrix. Sie entstammen einer Menge $K$ und man spricht von einer Matrix über $K$. Dies sind in der Regel Körper oder Ringe.

Wählt man die Grundmenge der reellen Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix beziehungsweise bei komplexen Zahlen von einer komplexen Matrix.

Einzelne Zeilen und Spalten werden oft als Spalten- oder Zeilenvektoren bezeichnet. Ein Beispiel:

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$, hier sind ${\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}}$ die Spalten bzw. Spaltenvektoren und ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}$ die Zeilen bzw. Zeilenvektoren.

Ein bestimmtes Element beschreibt man durch zwei Indizes, z. B. ist das Element in der ersten Zeile und der ersten Spalte durch $a_{11}$ beschrieben. Allgemein bezeichnet $a_{ij}$ das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Deshalb wird die gesamte Matrix manchmal mit $(a_{ij})$ bezeichnet.

Dimension

Die Dimension einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl ihrer $m$ Zeilen und $n$ Spalten. Man spricht dann auch von einer $m\times n$-Matrix (sprich: m mal n oder m Kreuz n Matrix). Manchmal nennt man $m$ auch die Zeilendimension und analog $n$ die Spaltendimension der Matrix.

Formale Darstellung

Formal kann eine Matrix als eine Familie bzw. als eine Funktion

$A:\left\{{\begin{matrix}\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}&\to &K\\(i,j)&\mapsto &A(i,j)\end{matrix}}\right.$

aufgefasst werden, die jedem Indexpaar $(i,j)$ einen Funktionswert $A(i,j)$ zuordnet. In den obigen Beispielmatrizen wird beispielsweise dem Indexpaar $(1,2)$ der Funktionswert $A(1,2)=a_{12}$ zugeordnet. Allgemein ist der Funktionswert $A(i,j)$ der Eintrag in der $i$-ten Zeile und der $j$-ten Spalte. Die Indizes $m$ und $n$ entsprechen wieder der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix durch Funktionen ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge $\operatorname {Abb} \left(\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots ,n\},K\right)$ aller $m\times n$-Matrizen über der Menge $K$ wird in üblicher mathematischer Notation auch $K^{\{1,\ldots ,m\}\times \{1,\ldots n\}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation $K^{m\times n}$ eingebürgert (manchmal werden auch die Schreibweisen $K^{m,n}$, $M(m\times n,K)$, oder seltener $\,^{m}K^{n}$ benutzt).

Stimmen Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer quadratischen Matrix.

Hat eine Matrix nur eine Spalte, so nennt man sie einen Spaltenvektor; hat sie nur eine Zeile, so nennt man sie einen Zeilenvektor. Einen Vektor aus $K^{n}$ kann man je nach Kontext als einzeilige oder einspaltige Matrix darstellen (also als Element aus $K^{1\times n}$ oder $K^{n\times 1}$).

Addition und Multiplikation

Auf dem Raum der Matrizen werden elementare Rechenoperationen definiert.

Matrizenaddition

Zwei Matrizen können addiert werden, wenn sie vom selben Typ sind, das heißt, wenn sie dieselbe Anzahl von Zeilen und dieselbe Anzahl von Spalten besitzen. Die Summe zweier $m\times n$-Matrizen berechnet sich, indem man jeweils die Einträge der beiden Matrizen addiert:

$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Rechenbeispiel:

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\3&3&3\end{pmatrix}}$

In der linearen Algebra sind die Einträge der Matrizen üblicherweise Elemente eines Körpers, wie z. B. der reellen oder komplexen Zahlen. In diesem Fall ist die Matrizenaddition assoziativ, kommutativ und besitzt mit der Nullmatrix ein neutrales Element. Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Einträge Elemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat.

Skalarmultiplikation

Eine Matrix wird mit einem Skalar multipliziert, indem alle Einträge der Matrix mit dem Skalar multipliziert werden:

$\lambda \cdot A:=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}$

Rechenbeispiel:

$2\cdot {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 3&2\cdot 2\\2\cdot 1&2\cdot 2&2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&6&4\\2&4&4\end{pmatrix}}$

Die Skalarmultiplikation darf nicht mit dem Skalarprodukt verwechselt werden. Um die Skalarmultiplikation durchführen zu dürfen, müssen der Skalar $\lambda$ und die Einträge der Matrix demselben Ring $(K,+,\cdot ,0)$entstammen. Die Menge der $m\times n$-Matrizen ist in diesem Fall ein $K$-(Links-)Modul über $K$.

Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Eine $l\times m$-Matrix $A=(a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m}$ und eine $m\times n$-Matrix $B=(b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n}$ werden multipliziert, indem die Produktsummenformel, ähnlich dem Skalarprodukt, auf Paare aus einem Zeilenvektor der ersten und einem Spaltenvektor der zweiten Matrix angewandt wird:

$A\cdot B:=(c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}$   und  $c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}$

Rechenbeispiel:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}$

Bei der Berechnung von Hand bietet das falksche Schema eine Hilfestellung. Bei der Berechnung mit dem Computer kann sich bei großen Matrizen der Einsatz des Strassen-Algorithmus lohnen.

Damit zwei Matrizen multipliziert werden können, müssen die Einträge einem Ring entstammen und die Spaltenanzahl der linken mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmen. Ist nun $A$ eine $l\times m$-Matrix und $B$ eine $m\times n$-Matrix dann ist $A\cdot B$ eine $l\times n$-Matrix.

Zu beachten ist, dass Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist, d. h. im Allgemeinen gilt $B\cdot A\neq A\cdot B$, sofern überhaupt beide Seiten sinnvoll sind, was mit den Annahmen im letzten Absatz bedeutet, dass $l=n$ gilt. Ist diese Bedingung erfüllt, dann sind die Produkte auf beiden Seiten der Gleichung quadratische Matrizen; diese sind aber nur vergleichbar, wenn sie "gleich groß" sind, d.h., gleich viele Zeilen und Spalten haben, also auch $m=n$ gilt. Auch bei $l=m=n$ sind aber die beiden Produkte im Allgemeinen verschieden.

Die Matrizenmultiplikation ist immer assoziativ:

$(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Die Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation genügen zudem den beiden Distributivgesetzen:

$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$

für alle $l\times m$-Matrizen $A,B$ und $m\times n$-Matrizen $C$ sowie

$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

für alle $l\times m$-Matrizen $A$ und $m\times n$-Matrizen $B,C$.

Eine besondere Rolle bezüglich der Matrizenmultiplikation spielen die quadratischen Matrizen über einem Ring $R$, also $Mat(n\times n,R)$. Diese bilden selbst mit der Matrizenaddition und -multiplikation wiederum einen Ring. Ist der Ring $R$ unitär mit dem Eins-Element 1, dann ist die Einheitsmatrix

$E={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{pmatrix}}$

das Eins-Element des Matrizenrings, d. h. dieser ist auch unitär. Allerdings ist der Matrizenring $K^{n\times n}$ für $n>1$ niemals kommutativ.

Zerlegt man Matrizen in Blockmatrizen, so können diese komponentenweise ausmultipliziert werden:

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a&b&0&0\\c&d&0&0\\x&y&1&0\\z&w&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}n&0\\m&0\\q&1\\p&0\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}A&0\\X&E_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}N&0\\Q&\left({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}AN+0&0+0\\XN+E_{2}Q&0+E_{2}\left({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}&0\\{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}q\\p\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}an+bm&0\\cn+dm&0\\xn+ym+q&1\\zn+wm+p&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Hierbei ist $E_{2}$ die $2\times 2$-Einheitsmatrix. Mit 0 ist die jeweils passende Matrix gemeint, deren Komponenten alle 0 sind.

Da die Matrix-Multiplikation assoziativ ist, kann eine Kette von Matrix-Multiplikationen unterschiedlich geklammert werden. Das Problem eine Klammerung zu finden, die zu einer Berechnung mit der minimalen Anzahl von elementaren arithmetischen Operationen führt, ist ein Optimierungsproblem.

Potenzieren von Matrizen

Quadratische Matrizen $A\in K^{n\times n}$ können mit sich selbst multipliziert werden; analog zur Potenz bei den reellen Zahlen führt man abkürzend die Matrixpotenz $A^{2}=A\cdot A$ oder $A^{3}=A\cdot A\cdot A$ etc. ein. Damit ist es auch sinnvoll, quadratische Matrizen als Elemente in Polynomen einzusetzen. Zu weitergehenden Ausführungen hierzu siehe unter charakteristisches Polynom. Zur einfacheren Berechnung kann hier die jordansche Normalform verwendet werden.

Quadratische Matrizen über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ kann man darüber hinaus sogar in Potenzreihen einsetzen, vgl. Matrixexponential.

Vektorräume von Matrizen

Die $n\times m$-Matrizen über einem kommutativen Ring $R$ mit 1 bilden mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation jeweils einen $R$-Modul. Die Spur des Matrixprodukts $A^{T}\cdot B$

$\left\langle A,B\right\rangle =\operatorname {spur} (A^{T}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}$

ist dann ein Skalarprodukt auf dem Matrizenraum.

Im Spezialfall $K=\mathbb {R}$ handelt es sich bei diesem Matrizenraum um einen euklidischen Vektorraum. In diesem Raum stehen die symmetrischen Matrizen und die schiefsymmetrischen Matrizen senkrecht aufeinander. Ist $A$ eine symmetrische und $B$ eine schiefsymmetrische Matrix, so gilt ${\begin{matrix}\left\langle A,B\right\rangle =0\end{matrix}}$.

Im Spezialfall $K=\mathbb {C}$ ist die Spur des Matrixproduktes ${\overline {A}}^{T}\cdot B$

$\left\langle A,B\right\rangle =\operatorname {spur} ({\overline {A^{T}}}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\overline {a_{ij}}}b_{ij}$

ein Skalarprodukt, das Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt und der Matrizenraum wird zu einem unitären Vektorraum.

Die Einheitsmatrix ist eine spezielle quadratische Matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur 1 und sonst nur 0 als Einträge besitzt. Im Matrizenring repräsentiert sie das Einselement. Analog fungiert die Nullmatrix als Nullelement.

Weitere Rechenoperationen

Inverse Matrix

Hauptartikel: Inverse Matrix

Für manche quadratische Matrizen $A$ gibt es eine Matrix $A^{-1}$, für die

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E$

gilt, wobei $E$ die Einheitsmatrix ist. $A^{-1}$ heißt inverse Matrix von $A$. Matrizen, die eine inverse Matrix besitzen, bezeichnet man als invertierbare oder reguläre Matrizen. Umgekehrt werden nicht-invertierbare Matrizen als singuläre Matrizen bezeichnet.

Vektor-Vektor-Produkte (Skalarprodukt und Tensorprodukt)

Seien $v$ und $w$ zwei Spaltenvektoren der Länge $n$, so ist das Matrixprodukt $v\cdot w$ nicht definiert. Die beiden Produkte $v^{T}\cdot w$ und $v\cdot w^{T}$ existieren jedoch.

Das erste Produkt ist eine $1\times 1$-Matrix, die als Zahl interpretiert wird; sie wird das kanonische Skalarprodukt von $v$ und $w$ genannt und mit $\langle v,w\rangle$ bzw. ${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$ bezeichnet:

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}^{T}\cdot {\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot (-2)+2\cdot (-1)+3\cdot 1=-1$

Das zweite Produkt ist eine $n\times n$-Matrix vom Rang 1 und heißt Dyadisches Produkt oder Tensorprodukt von $v$ und $w$ (geschrieben $v\otimes w$):

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1\cdot (-2)&1\cdot (-1)&1\cdot 1\\2\cdot (-2)&2\cdot (-1)&2\cdot 1\\3\cdot (-2)&3\cdot (-1)&3\cdot 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&-1&1\\-4&-2&2\\-6&-3&3\end{pmatrix}}$

Die transponierte Matrix

Die Transponierte der Matrix $A=\left(a_{ij}\right)$ vom Format $m\times n$ ist die Matrix $A^{T}=\left(a_{ji}\right)$ vom Format $n\times m$, das heißt zu

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

ist die Transponierte

$A^{T}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Man schreibt also die erste Zeile als erste Spalte und die zweite Zeile als zweite Spalte usw.

Die Matrix wird sozusagen an ihrer Hauptdiagonale $a_{11},a_{22},\dots ,a_{xx}$ mit $x=\operatorname {min} (m,n)$ gespiegelt.

Beispiel:

${\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&4\\8&-2\\-3&5\end{pmatrix}}.$

Es gelten die folgenden Rechenregeln:

${\begin{aligned}(A+B)^{T}&=A^{T}+B^{T}\\(c\cdot A)^{T}&=c\cdot A^{T}\\\left(A^{T}\right)^{T}&=A\\(A\cdot B)^{T}&=B^{T}\cdot A^{T}\\\left(A^{-1}\right)^{T}&=\left(A^{T}\right)^{-1}.\end{aligned}}$

Die transponierte Matrix wird gelegentlich auch gestürzte Matrix genannt.

Bei Matrizen über $\mathbb {R}$ ist die adjungierte Matrix genau die transponierte Matrix.

Anwendungen

Zusammenhang mit linearen Abbildungen

Das Besondere an Matrizen über einem Ring $K$ ist der Zusammenhang zu linearen Abbildungen. Zu jeder Matrix $A\in K^{m\times n}$ lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich $K^{n}$ (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich $K^{m}$ definieren, indem man jeden Spaltenvektor $u\in K^{n}$ auf $A\cdot u\in K^{m}$ abbildet; und jede lineare Abbildung mit diesem Definitions- und Wertebereich entspricht auf diese Weise genau einer $m\times n$-Matrix. Diesen Zusammenhang bezeichnet man auch als (kanonischen) Isomorphismus

$\operatorname {Hom} _{K}(K^{n},K^{m})\simeq K^{m\times n}.$

Er stellt bei vorgegebenem $K$, $m$, $n$ eine Bijektion zwischen der Menge der Matrizen und der Menge der linearen Abbildungen dar. Das Matrixprodukt geht hierbei über in die Komposition (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen. Weil die Klammerung bei der Hintereinanderausführung dreier linearer Abbildungen keine Rolle spielt, gilt dies dann auch für die Matrixmultiplikation, sie ist also assoziativ.

Ist $K$ sogar ein Körper, kann man statt der Spaltenvektorräume beliebige endlichdimensionale $K$-Vektorräume $V$ und $W$ (der Dimension $n$ bzw. $m$) betrachten. (Falls $K$ ein kommutativer Ring mit 1 ist, dann kann man analog freie K-Moduln betrachten.) Diese sind nach Wahl von Basen $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ von $V$ und $w=(w_{1},\ldots ,w_{m})$von $W$ zu $K^{n}$ bzw. $K^{m}$ isomorph, weil zu einem beliebigen Vektor $u\in V$ eine eindeutige Zerlegung in Basisvektoren

$u=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}$

existiert und die darin vorkommenden Körperelemente $\alpha _{j}$ den Koordinatenvektor

${}_{v}u={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$

bilden. Jedoch hängt der Koordinatenvektor von der verwendeten Basis $v$ ab, die daher auch in der Bezeichnung ${}_{v}u$ vorkommt.

Analog verhält es sich im Vektorraum $W$. Ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ gegeben, so lassen sich die Bilder der Basisvektoren von $V$ eindeutig in die Basisvektoren von $W$ zerlegen in der Form

$f(v_{j})=\sum _{i=1}^{m}a_{ij}w_{i}$

mit Koordinatenvektor

${}_{w}f(v_{j})={\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}\in K^{m}.$

Die Abbildung ist dann vollständig festgelegt durch die sog. Abbildungsmatrix

${}_{w}f_{v}={\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}\in K^{m\times n},$

denn für das Bild des o.g. Vektors $u$ gilt

$f(u)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\alpha _{j}w_{i},$

also ${}_{w}f(u)={}_{w}f_{v}\cdot {}_{v}u$ („Koordinatenvektor = Matrix mal Koordinatenvektor“). (Die Matrix ${}_{w}f_{v}$ hängt von den verwendeten Basen $v$ und $w$ ab; bei der Multiplikation wird die Basis $v$, die links und rechts vom Malpunkt steht, „weggekürzt“, und die „außen“ stehende Basis $w$ bleibt übrig.)

Die Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen $f\colon V\to W$ und $g\colon W\to X$ (mit Basen $v$, $w$ bzw. $x$) entspricht dabei der Matrixmultiplikation, also

${}_{x}(g\circ f)_{v}={}_{x}g_{w}\cdot {}_{w}f_{v}$

(auch hier wird die Basis $w$ „weggekürzt“).

Somit ist die Menge der linearen Abbildungen von $V$ nach $W$ wieder isomorph zu $K^{m\times n}$. Der Isomorphismus $f\mapsto {}_{w}f_{v}$ hängt aber von den gewählten Basen $v$ und $w$ ab und ist daher nicht kanonisch: Bei Wahl einer anderen Basis $v'$ für $V$ bzw. $w'$ für $W$ wird derselben linearen Abbildung nämlich eine andere Matrix zugeordnet, die aus der alten durch Multiplikation von rechts bzw. links mit einer nur von den beteiligten Basen abhängigen invertierbaren $m\times m$- bzw. $n\times n$-Matrix (sog. Basiswechselmatrix) entsteht. Das folgt durch zweimalige Anwendung der Multiplikationsregel aus dem vorigen Absatz, nämlich

${}_{w'}f_{v'}={}_{w'}e_{w}^{W}\cdot {}_{w}f_{v}\cdot {}_{v}e_{v'}^{V}$

(„Matrix = Basiswechselmatrix mal Matrix mal Basiswechselmatrix“). Dabei bilden die Identitätsabbildungen $e^{V}$ und $e^{W}$ jeden Vektor aus $V$ bzw. $W$ auf sich selbst ab.

Bleibt eine Eigenschaft von Matrizen unberührt von solchen Basiswechseln, so ist es sinnvoll, diese Eigenschaft auch basisunabhängig der entsprechenden linearen Abbildung zuzusprechen.

Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretende Begriffe sind der Rang und die Determinante einer Matrix. Der Rang ist (falls $K$ ein Körper ist) im angeführten Sinne basisunabhängig, und man kann somit vom Rang auch bei linearen Abbildungen sprechen. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, die dem Fall $V=W$ entsprechen; sie bleibt unverändert, wenn derselbe Basiswechsel im Definitions- und Wertebereich durchgeführt wird, wobei beide Basiswechselmatrizen zueinander invers sind:

${}_{v'}f_{v'}=({}_{v}e_{v'}^{V})^{-1}\cdot {}_{v}f_{v}\cdot {}_{v}e_{v'}^{V}.$

In diesem Sinne ist also auch die Determinante basisunabhängig.

Umformen von Matrizengleichungen

Speziell in den multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen, Herleitungen usw. im Matrizenkalkül durchgeführt.

Gleichungen werden im Prinzip wie algebraische Gleichungen umgeformt, wobei jedoch die Nichtkommutativität der Matrixmultiplikation sowie die Existenz von Nullteilern beachtet werden muss.

Beispiel: Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung

Gesucht ist der Lösungsvektor $x$ eines linearen Gleichungssystems

$A\cdot x=b$

mit $A$ als $n\times n$-Koeffizientenmatrix. Wenn die inverse Matrix $A^{-1}$ existiert, kann man mit ihr von links erweitern:

$A^{-1}\cdot A\cdot x=A^{-1}\cdot b\Leftrightarrow E\cdot x=A^{-1}\cdot b$

und erhält die Lösung

$x=A^{-1}\cdot b$.

Siehe auch weitere Anwendungen.

Spezielle Matrizen

Eigenschaften von Endomorphismen

Die folgenden Eigenschaften quadratischer Matrizen entsprechen Eigenschaften von Endomorphismen, die durch sie dargestellt werden.

Orthogonale Matrizen

Eine reelle Matrix $A$ ist orthogonal, wenn die zugehörige lineare Abbildung das Standard-Skalarprodukt erhält, das heißt wenn

$\langle Av,Aw\rangle =\langle v,w\rangle$

gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass $A$ die Gleichung

$A^{-1}=A^{T}$

bzw.

$A\,A^{T}=E$

erfüllt.

Diese Matrizen stellen Spiegelungen, Drehungen und Drehspiegelungen dar.

Unitäre Matrizen

Sie sind das komplexe Gegenstück zu den orthogonalen Matrizen. Eine komplexe Matrix $A$ ist unitär, wenn die zugehörige Transformation die Normierung erhält, das heißt wenn

$\langle Av,Aw\rangle =\langle v,w\rangle$

gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass $A$ die Gleichung

$A^{-1}=A^{*}$

erfüllt; dabei bezeichnet $A^{*}$ die konjugiert-transponierte Matrix zu $A$.

Fasst man den $n$-dimensionalen komplexen Vektorraum als $2n$-dimensionalen reellen Vektorraum auf, so entsprechen die unitären Matrizen genau denjenigen orthogonalen Matrizen, die mit der Multiplikation mit $\mathrm {i}$ vertauschen.

Projektionsmatrizen

Eine Matrix ist eine Projektionsmatrix, falls

$A=A^{2}$

gilt, sie also idempotent ist, das heißt, die mehrfache Anwendung einer Projektionsmatrix auf einen Vektor lässt das Resultat unverändert. Eine idempotente Matrix hat keinen vollen Rang, es sei denn, sie ist die Einheitsmatrix.

Beispiel: Es sei $X$ eine $(m\times n)$-Matrix, und damit selbst nicht invertierbar. Dann ist die $(m\times m)$-Matrix

$A=X\,(X^{T}X)^{-1}X^{T}$

idempotent. Diese Matrix wird beispielsweise in der Methode der kleinsten Quadrate verwendet.

Geometrisch entsprechen Projektionsmatrizen der Parallelprojektion entlang des Nullraumes der Matrix.

Nilpotente Matrizen

Eine Matrix $N$ heißt nilpotent, falls eine Potenz $N^{k}$ (und damit auch alle höheren Potenzen) die Nullmatrix ergibt.

Eigenschaften von Bilinearformen

Im folgenden sind Eigenschaften von Matrizen aufgelistet, die Eigenschaften der zugehörigen Bilinearform

$(v,w)\mapsto v^{T}Aw$

entsprechen. Trotzdem können diese Eigenschaften auch für die dargestellten Endomorphismen eine eigenständige Bedeutung besitzen.

Symmetrische Matrizen

Eine Matrix $A$ heißt symmetrisch, wenn sie gleich ihrer transponierten Matrix ist:

$A^{T}=A$

Anschaulich gesprochen sind die Einträge symmetrischer Matrizen symmetrisch zur Hauptdiagonalen.

Beispiel:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}$

Symmetrische Matrizen entsprechen einerseits symmetrischen Bilinearformen:

$v^{T}Aw=w^{T}Av,$

andererseits den selbstadjungierten linearen Abbildungen:

$\langle Av,w\rangle =\langle v,Aw\rangle .$

Hermitesche Matrizen

Hermitesche Matrizen sind das komplexe Analogon der symmetrischen Matrizen. Sie entsprechen den hermiteschen Sesquilinearformen und den selbstadjungierten Endomorphismen.

Eine Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ist hermitesch oder selbstadjungiert, wenn gilt:

$A=A^{*}.$

Schiefsymmetrische Matrizen

Eine Matrix $A$ heißt schiefsymmetrisch oder auch antisymmetrisch, wenn gilt:

$-A^{T}=A.$

Um diese Bedingung zu erfüllen muss die Hauptdiagonale in allen Stellen null sein; die restlichen Werte werden über die Hauptdiagonale gespiegelt und negiert.

Beispiel:

${\begin{pmatrix}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{pmatrix}}$

Schiefsymmetrische Matrizen entsprechen antisymmetrischen Bilinearformen:

$v^{T}\cdot A\cdot w=-w^{T}\cdot A\cdot v$

und antiselbstadjungierten Endomorphismen:

$\langle Av,w\rangle =-\langle v,Aw\rangle .$

Positiv definite Matrizen

Eine reelle Matrix ist positiv definit, wenn die zugehörige Bilinearform positiv definit ist, das heißt, wenn für alle Vektoren $v\neq 0$ gilt:

$v^{T}\cdot A\cdot v>0$.

Positiv definite Matrizen definieren verallgemeinerte Skalarprodukte. Ist die Bilinearform größer gleich Null, heißt die Matrix positiv semidefinit, analog kann eine Matrix negativ definit beziehungsweise semidefinit heißen, wenn die obige Bilinearform immer kleiner beziehungsweise kleiner gleich Null ist. Matrizen, die keine dieser Eigenschaften erfüllen, heißen indefinit.

Weitere Konstruktionen

Konjugierte und Adjungierte Matrix

Enthält eine Matrix komplexe Zahlen, erhält man die konjugierte Matrix, indem man ihre Komponenten durch die konjugiert komplexen Elemente ersetzt. Die adjungierte Matrix (auch hermitesch konjugierte Matrix) einer Matrix $A$ wird mit $A^{*}$ bezeichnet und entspricht der transponierten Matrix, bei der zusätzlich alle Elemente komplex konjugiert werden.

Adjunkte oder Komplementäre Matrix

Die komplementäre Matrix adj(A) einer quadratischen Matrix $A$ setzt sich aus deren Unterdeterminanten zusammen, wobei eine Unterdeterminante auch Minor genannt wird. Für die Ermittlung der Unterdeterminanten $\det(A_{ij})$ werden die $i$-te Zeile und $j$-te Spalte von $A$ gestrichen. Aus der resultierenden $(n-1)\times (n-1)$-Matrix wird dann die Determinante $\det(A_{ij})$ berechnet. Die komplementäre Matrix hat dann die Einträge $(-1)^{i+j}\det(A_{ji})$. Diese Matrix wird manchmal auch als Matrix der Kofaktoren bezeichnet.

Man verwendet die komplementäre Matrix beispielsweise zur Berechnung der Inversen einer Matrix $A$, denn nach dem laplaceschen Entwicklungssatz gilt

$\operatorname {adj} (A)\cdot A=A\cdot \operatorname {adj} (A)=\det(A)\cdot E_{n}$.

Damit ist die Inverse $A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{\det(A)}}$, wenn $\det(A)\neq 0$.

Verallgemeinerungen

Man könnte auch Matrizen mit unendlich vielen Spalten oder Zeilen betrachten. Diese kann man immer noch addieren. Um sie jedoch multiplizieren zu können, muss man zusätzliche Bedingungen an ihre Komponenten stellen (da die auftretenden Summen unendliche Reihen sind und nicht konvergieren müssen). Die genaueren Betrachtungen solcher Fragestellungen führten zur Entstehung der Funktionalanalysis, die diese Begriffe behandelt.

Werden analog zu den Matrizen mathematische Strukturen mit mehr als zwei Indizes definiert, so nennt man diese Tensoren.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
• Karsten Schmidt, Götz Trenkler: Einführung in die Moderne Matrix-Algebra: Mit Anwendungen in der Statistik. Springer, ISBN 978-3-540-33007-3.
• Gilbert Strang: Lineare Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 978-3-540-43949-3.

Weblinks

Wiktionary: Matrix – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Matrix – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• The Matrix Cookbook – Eine englischsprachige, umfangreiche Matrix-Formelsammlung (PDF; 522 kB)