Integralrechnung

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Das Integral ordnet einer Funktion für einen gegebenen Integrationsbereich eine Zahl oder im unbestimmten Fall eine Funktion zu. Dieser Vorgang heißt Integration.

Anschauliche Darstellung des Integrals als Flächeninhalt unter einer Kurve

Das Integral wird im zweidimensionalen Koordinatensystem als die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse gedeutet, bei Funktionen mehrerer Veränderlicher entspricht es einem Volumen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Das Bestimmen von Stammfunktionen ist die inverse Aufgabe (d.h. Gegenteil) zur Differentiation.

Im Gegensatz zur Differentiation existiert allerdings für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, Partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle. Oft erfolgt die Integration auch nur näherungsweise als so genannte numerische Quadratur. In der Technik benützt man zur Integration bzw. Flächenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der Flächenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten Fläche kann an einem Zählwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.

Bestimmtes Integral

Die Integralrechnung entstand aus dem Problem, die Fläche zwischen dem Graphen einer reellwertigen Funktion $f(x)$ und der x-Achse im Intervall von $a$ bis $b$ zu berechnen. Falls die Fläche sinnvoll bestimmt werden kann, nennt man die Funktion im Intervall integrierbar. Die reelle Zahl $A$, die die Größe der Fläche angibt, heißt dann das bestimmte Integral von $f(x)$ über dem Intervall $[a,b]$:

$A=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

Der Flächeninhalt ist „orientiert“, das heißt falls der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse liegt, ist der Wert des bestimmten Integrals negativ. Das Integral wechselt ebenfalls das Vorzeichen, wenn die untere und obere Integrationsgrenze vertauscht werden. Wenn eine Nullstelle im zu untersuchenden Intervall vorliegt, gibt das Integral nicht mehr den Flächeninhalt an, sondern stellt nur noch eine Rechenregel dar. Benötigt man in einem solchen Intervall die Fläche zwischen x-Achse und Graph der Funktion, so muss das Integral aufgeteilt werden.

Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die Fläche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wählen. Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten „Riemann-Summen“. Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.

Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme läßt sich durch das Produkt aus der – ebenfalls von Riemann eingeführten – totalen Variation und der maximalen Intervalllänge in der Zerlegung abschätzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.

Dieser Grenzwert kann nicht für alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.

Funktionen beschränkter totaler Variation sind alle stetigen und stückweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es für solche Funktionen nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl für jede Sprunghöhe endlich ist.

Integralfunktion

Man erhält so ohne weiteres das Integral als Funktion von x, indem man in dem Intervall [a,b] eine Veränderliche x wählt, und für eine der beiden Grenzen des bestimmten Integrals einsetzt (vorzugsweise der oberen). Dann ist die Integralfunktion eine Funktion der (oberen) Grenze und der Integrationsbereich das Intervall [a,b]. Ersetzt man nun die (untere) Grenze a durch c mit $c\in [a,b]$, so unterscheidet sie sich durch die mit der Grenze a durch eine Konstante.

Wählt man nun x>b, wie im unbestimmten Integral, so wird das Intervall [a,x] ein offenes und der Integrationsbereich ein Zahlbereich.

Erhält man die Integralfunktion durch Umkehrung der Differentiation, $\Phi {'}(x)=f(x)$, so kann man jede beliebige Konstante c wählen und hinzufügen: $(\Phi (x)+c){'}=f(x)$, so erhält man dieselbe Integralfunktion. Ändert man nun noch zusätzlich die feste (untere) Grenze der Integralfunktion (die ja jetzt eigentlich noch gar nicht bestimmt ist), unterscheidet es sich noch um die andere Konstante dieser Veränderung zusätzlich. Der Wertebereich der Differentiation wird zum Definitionsbereich der Integralfunktion, also seinem Integrationsbereich.

Notation

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation $f(x)\;\mathrm {d} x$ deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe $f(x)$ und der infinitesimalen Breite $\mathrm {d} x$ zusammensetzt. Dieses $\mathrm {d} x$ wird Integrationsvariable oder Differential genannt. Es kommt auch in der Leibniz'schen Ableitungsnotation $\mathrm {d} f/\mathrm {d} x$ vor und wird in der Theorie der Differentialformen verallgemeinert.

Es zeigt sich, dass $\int$ das Gegenteil von $\mathrm {d}$ ist. $\mathrm {d} F=f\mathrm {d} x$ wird zu $F=\int f\,\mathrm {d} x$

Der Begriff Integral für diese Art der Flächenberechnung geht auf Johann Bernoulli zurück.

Manchmal hat es Vorteile, das Differential vor den Integranden zu schreiben. Mehrdimensionale Integrale werden so leichter lesbar, und man hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist:

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} x\,f(x)$

Uneigentliches Integral

Das bestimmte Integral ist über kompakten Mengen definiert, also beschränkten und abgeschlossenen Intervallen, wo die Integrationsgrenzen Teil der Definitionsmenge sind. Ist die betrachtete Menge offen oder unbeschränkt, heißt das Integral uneigentlich. Beispiele sind das Integral

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x$,

wo beide Grenzen nicht in die Stammfunktion eingesetzt werden können oder

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\,\mathrm {d} x$,

wo der Integrand für 0 nicht definiert ist. Die uneigentlichen Integrale werden dann wie folgt definiert, wobei wir annehmen, dass der Integrand an der Stelle b nicht ausgewertet werden kann:

$A=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{b_{n}\to b}\int _{a}^{b_{n}}f(x)\,\mathrm {d} x$,

falls der Grenzwert existiert. Es ist anzumerken, dass der Grenzwert bei Existenz unabhängig von der Wahl der Folge $b_{n}$ ist.

Es wird also wie im eigentlichen Fall die Stammfunktion berechnet, dann das existierende Integral auf der rechten Seite in Abhängigkeit von $n$ bestimmt und dann der Grenzwert für $n\to \infty$ berechnet. Sind beide Grenzen uneigentlich wie bei der Gaußsche Glockenkurve, wird das Integral in zwei Teile aufteteilt und die obigen Schritte für beide Teile durchgeführt.

Eigenschaften des Integrals

In der formalen Sprache der Mathematik ist das Integral ein lineares Funktional über dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen. Die Linearität besagt, dass das Integral der Summe zweier Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ genau der Summe der Integrale der Funktionen ist:

$\int \left(f(x)+g(x)\right)\,\mathrm {d} x=\int f(x)\,\mathrm {d} x+\int g(x)\,\mathrm {d} x$

und dass das Integral des Vielfachen einer Funktion (Multiplikation mit einer Konstanten) das entsprechende Vielfache des Integrals ist:

$\int c\cdot f(x)\,\mathrm {d} x=c\cdot \int f(x)\,\mathrm {d} x$

Eine wichtige Eigenschaft des bestimmten Integrals besteht darin, dass sich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen das Vorzeichen ändert:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{b}^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$

Weitere Eigenschaften des Integrals:

• Integralform der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
• Mittelwertsatz der Integralrechnung

Stammfunktionen und unbestimmtes Integral

Es stellt sich heraus, dass die Integralrechnung sehr eng mit der Differentialrechnung zusammenhängt.

Eine Stammfunktion $F(x)$ einer Funktion $f(x)$ ist jede Funktion, deren Ableitung $f(x)$ ergibt. Da beim Differenzieren additive Konstanten wegfallen, gilt: Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, so ist es auch $F(x)+C$, mit beliebigem $C$ aus den reellen Zahlen. Außer $F(x)+C$ gibt es keine weiteren Stammfunktionen zu $f(x)$, d.h. zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine additive Konstante.

Eine Stammfunktion wird auch als unbestimmtes Integral von $f(x)$ bezeichnet - manchmal ist damit aber auch die Menge aller Stammfunktionen gemeint. Ist $F(x)$ eine Stammfunktion, so schreibt man häufig unpräzise

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+C,$

um anzudeuten, dass jede Stammfunktion von $f$ die Form $F(x)+C$ mit einer Konstante $C$ hat.

Man beachte, dass die Schreibweise

$\int f(x)\,\mathrm {d} x$

jedoch auch häufig in Formeln benutzt wird, um anzudeuten, dass Gleichungen für beliebige, konsistent gewählte Grenzen gelten; beispielsweise ist mit

$\int cf(x)\,\mathrm {d} x=c\int f(x)\,\mathrm {d} x$

gemeint, dass

$\int _{a}^{b}cf(x)\,\mathrm {d} x=c\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

für beliebige $a,b$ gilt.

Zusammenhang - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Jede Funktion $A(x)$, die den Flächeninhalt unter der Kurve von einer festen Untergrenze $a$ bis zur variablen Obergrenze $x$ angibt, also

$A(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$

ist eine Stammfunktion von $f(x)$.

Daraus ergibt sich, dass man jedes bestimmte Integral als Differenz der Funktionswerte einer beliebigen Stammfunktion an den beiden Grenzen berechnen kann (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung):

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

Ist $G(x)$ eine andere Stammfunktion, so ist $G(x)=F(x)+C$ mit einer Konstanten $C$, also

$G(b)-G(a)=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a).$

Anschaulich kann man das so verstehen:

Das Integral liefert die Fläche unter der Funktionskurve. Die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze sagt also, wie stark sich die Fläche ändert, wenn die rechte Integrationsgrenze verschoben wird, relativ zur Größe der Verschiebung dieser Grenze.

Wenn man nun aber die obere Grenze um einen sehr kleinen Betrag verschiebt, dann ändert sich die Fläche um ein kleines Rechteck, dessen Breite die Verschiebung der Grenze, und dessen Höhe der Funktionswert an dieser Stelle ist. Dessen Flächeninhalt ist natürlich das Produkt der beiden Längen, und Division durch die Verschiebung (= die Breite des Rechtecks) ergibt dann gerade wieder den Funktionswert. Da also die Ableitung der Integralfunktion wieder die integrierte Funktion ergibt, ist die Integralfunktion per definitionem eine Stammfunktion derselben.

Berechnung von Stammfunktionen

siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen

Im Gegensatz zur Berechnung der Ableitungsfunktion ist die Berechnung der Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich.

Oft schlägt man Integrale in Tabellenwerken nach. Es gibt allerdings einige Standardtechniken, mit denen sich die meisten Stammfunktionen bestimmen lassen.

Partielle Integration

Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung.

$(u\cdot v)'=u\cdot v'+u'\cdot v$

$u'\cdot v=(u\cdot v)'-u\cdot v'$

$\int u'\cdot v\,\mathrm {d} x=\int (u\cdot v)'\,\mathrm {d} x-\int u\cdot v'\,\mathrm {d} x$

$\int u'\cdot v\,\mathrm {d} x=u\cdot v-\int u\cdot v'\,\mathrm {d} x$

Folglich gilt:

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x$

oder dasselbe, wie man es in vielen Mathematikbüchern finden kann:

$\int _{a}^{b}f(x)\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=[f(x)\cdot g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\,\mathrm {d} x$

Diese Regel ist insbesondere dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von $f(x)$ eine einfachere Funktion entsteht.

Beispiel:

$\int _{a}^{b}x\cdot \ln \left(x\right)\,\mathrm {d} x$

Setzt man

$f(x)=\ln \left(x\right)\,$ und $g'(x)=x\,$,

so ist

$f'(x)={1 \over x}\,$ und $g(x)={x^{2} \over 2}\,$

und man erhält

$\int _{a}^{b}x\cdot \ln \left(x\right)\,\mathrm {d} x={b^{2} \over 2}\cdot \ln \left(b\right)-{a^{2} \over 2}\cdot \ln \left(a\right)-\int _{a}^{b}{x^{2} \over 2}\cdot {1 \over x}\,\mathrm {d} x$

$={b^{2} \over 2}\cdot \left(\ln \left(b\right)-{1 \over 2}\right)-{a^{2} \over 2}\cdot \left(\ln \left(a\right)-{1 \over 2}\right)\;$

Integration durch Substitution

Die Substitutionsregel ist ein wichtiges Hilfsmittel um einige schwierige Integrale zu berechnen, da sie bestimmte Änderungen der zu integrierenden Funktion bei gleichzeitiger Änderung der Integrationsgrenzen erlaubt. Sie ist das Gegenstück zur Kettenregel in der Differentialrechnung.

Sei $\phi (x)=f(g(x))\cdot g'(x)$ und $F$ eine Stammfunktion von $f$, so ist $\Phi (x)=F(g(x))\,$ eine Stammfunktion von $\phi \,$, denn es gilt:

${\frac {\phi (x)}{g'(x)}}\,$	$=f(g(x)),\,$	$z\,$	$=g(x)\,$
	$=f(z),\,$	$\mathrm {d} z\,$	$=g'(x)\,\mathrm {d} x$

$\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm {d} x=\int _{g(a)}^{g(b)}f(z)\cdot g'(x){\frac {\,\mathrm {d} z}{g'(x)}}=\int _{g(a)}^{g(b)}f(z)\,\mathrm {d} z=F(z)=\Phi (x)$

Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung

Bei gebrochenrationalen Funktionen führt häufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt eine der Integrationsregeln anzuwenden.

Numerische Quadratur

Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen Fällen auch aus, die Fläche näherungsweise zu berechnen. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen auf, zum Beispiel Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel (deren Spezialfall als Keplersche Fassregel bekannt ist) sind Beispiele dafür.

Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation

Das oben beschriebene Verfahren wird als Riemann-Integration bezeichnet. Das Riemann-Integral kann nicht bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, z.B. Funktionen mit oszillierenden Singularitäten wie $\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$ oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1] angewendet werden. Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes und Alfred Haar eingeführt, die für stetige Integranden das Riemann-Integral reproduzieren.

Mehrdimensionale Integrale

Den Integralbegriff kann man auf den Fall verallgemeinern, dass die Trägermenge, auf der die Integrandfunktion $f$ operiert, nicht die Zahlengerade $\mathbb {R}$, sondern der $n$-dimensionale Euklidische Raum $\mathbb {R} ^{n}$ ist. Mehrdimensionale Integrale über ein Volumen $V$ darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale über die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:

$\int _{V}\mathrm {d} ^{n}r\,f\left({\vec {r}}\right)=\int \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\,f\left(x,y,z\right)$

$=\int \mathrm {d} x\left(\int \mathrm {d} y\left(\int \mathrm {d} z\,f\left(x,y,z\right)\right)\right)$.

Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in $x$, $y$ und $z$ muss man aus der Begrenzung des Volumens $V$ ermitteln. In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik betrachtet man auch mehrdimensionale Integrale die über den gesamten, unbeschränkten $n$-dimensionalen Raum laufen. Die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel außerhalb eines vorgegebenen Volumens $V$ überall 0 ist.

Die Verallgemeinerung der Substitutionsregel im mehrdimensionalen ist der Transformationssatz. Sei $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ offen und $\Phi :\Omega \to \mathbb {R} ^{d}$ eine injektive, stetig differenzierbare Abbildung, für deren Funktionaldeterminante $\det(D\Phi (x))\neq 0$ für alle $x\in \Omega$ gilt. Dann ist

$\int _{\Phi (\Omega )}f(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\Omega }f(\Phi (x))\left|\det(D\Phi (x))\right|\mathrm {d} x$.

Anwendung: Berechnung von Rauminhalten

Als Beispiel berechnen wir das Volumen zwischen dem Graphen der Funktion $f(x,y)=x^{2}+y$ über dem Einheitsquadrat $[0,1]\times [0,1]$. Wir benutzen dazu zwei Integrale, eines für die x- und eines für die y-Koordinate:

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x^{2}+y)\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+yx\right]_{x=0}^{1}\;\mathrm {d} y$

$=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{3}}+y\right)\mathrm {d} y=\left[{\frac {1}{3}}y+{\frac {1}{2}}y^{2}\right]_{y=0}^{1}={\frac {5}{6}}.$

Integration in der komplexen Ebene

In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen Veränderlichen, genügt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben. Zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch viele Wege miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsätzlich ein Wegintegral. Für geschlossene Wege gilt der Residuensatz, ein wichtiges Resultat von Cauchy: Das Integral entlang einem geschlossenen Weg hängt allein von der Anzahl der umschlossenen Singularitäten ab. Es ist Null, falls sich im Integrationsgebiet keine Singularitäten befinden.

Weitere Anwendungen der Integralrechnung

Zusätzlich zu Berechnung von Flächen hat die Integralrechung unter anderem folgende Anwendungsgebiete:

Berechnung der Länge eines Kurvenbogens

Eine weitere Variante der Integration kann zur Berechnung von Kurvenlängen benutzt werden. Dies nennt man Rektifikation.

Berechnung von Oberflächen

Schließlich kann Integration auch dazu verwendet werden, Oberflächen von gegebenen Körpern zu messen. Dies führt in das Gebiet der Differentialgeometrie.

Berechnung des Durchschnittswertes von stetigen Funktionen

Um den Mittelwert $m$ einer gegebenen stetigen Funktion $f(x)$ auf einem Intervall $[a,b]$zu berechnen, benutzt man die Formel

$m={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x.$

Man sieht leicht, dass diese Definition für Treppenfunktionen mit dem üblichen Mittelwertbegrifft übereinstimmt, und daher diese Verallgemeinerung sinnvoll ist.

Beispiel für den Integralbegriff in der Physik

Ein physikalisches Phänomen, an dem der Integralbegriff erklärt werden kann, ist der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich beträgt die Beschleunigung $g$ des freien Falls in Mitteleuropa ca. 9,81 $m/s^{2}$. Die Geschwindigkeit $v$ eines Körpers zur Zeit $t$ lässt sich daher durch die Formel

$v=g\cdot t\,$

ausdrücken.

Nun soll aber die Wegstrecke $l$ berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit $T$ zurücklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit $v$ des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass für eine kurze Zeitspanne $\Delta t$ die Geschwindigkeit $v$, die sich aus der Zeit $g\cdot t$ ergibt, konstant bleibt.

Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums $\Delta t$ beträgt daher

$\Delta l=g\cdot t\,\cdot \Delta t$

Die gesamte Wegstecke lässt sich daher als

$l=\sum \left(g\cdot t\,\cdot \Delta t\right)$

ausdrücken.

Wenn man nun die Zeitdifferenz $\Delta t$ gegen Null streben lässt, erhält man

$l=\lim _{\Delta t\to 0}\left(\sum \left(g\cdot t\,\cdot \Delta t\right)\right)=\int _{0}^{T}\left(g\cdot t\;\mathrm {d} t\,\right)=\,{\frac {g}{2}}\cdot T^{2}$

Umgekehrt lässt sich aus der Bewegungsgleichung

$l={\frac {g}{2}}\cdot t^{2}\,$

durch Differenzieren die Gleichung

$v=g\cdot t\,$

für die Geschwindigkeit und durch nochmaliges Differenzieren

$a=g\,$

für die Beschleunigung herleiten.

Geschichte

Flächenberechnungen werden seit der Antike untersucht. Im 5. Jahrhundert v. Christus entwickelte Eudoxos von Knydos nach einer Idee von Antiphon (Sophist) die Exhaustionsmethode, die darin bestand, einen Körper durch regelmäßige Polygone auszufüllen und konnte so Fläche und Volumen einiger einfacher Körper bestimmen. Archimedes verbesserte diesen Ansatz und so gelang ihm die exakte Integration einer Parabel, alles ohne Benutzung eines Grenzwertbegriffs.

Diese Methode wurde auch im Mittelalter benutzt. Im 16. Jahrhundert stellte Bonaventura Francesco Cavalieri das Prinzip von Cavalieri auf, wonach zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn alle ebenen Schnitte miteinander übereinstimmen.

Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zur Differentialrechnung zu entwickeln und so den Fundamentalsatz der Analysis zu entdecken (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte.

Im 19. Jahrhundert wurde die gesamte Analysis auf ein solideres Fundament gestellt und es entstanden die Begriffe des Riemann-Integrals und des Lebesgue-Integrals. Schließlich folgte die Entwicklung der Masstheorie Anfang des 20. Jahrhunderts.

Siehe auch

• Algebraische Integration
• Mathematik für die Schule
• Riemannintegral
• Lebesgueintegral
• Stieltjesintegral
• Stochastische Integration
• Binomisches Integral
• d3x-Schreibweise
• Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
• Numerische Quadratur

Literatur

• Schulbücher:
  • Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
• Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
  • Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
  • Otto Forster: Analysis 1, 3. Vieweg Verlag, 4. Auflage, 1983
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, 2. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995
  • Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. Binomi Verlag, 1. Auflage, 1993,
• Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (z.B. Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
  • Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Wiley-VCH, Band 1, 3. Auflage, 2000
  • Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Band 1

Weblinks

• http://www.mathe-online.at/galerie/int/int.html - Visualisierungen zum Thema Integral
• B. Riemann: Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe - Erstdefinition des Riemann-Integrals, Seite 12 ff