Goldbachsche Vermutung

Unter der goldbachschen Vermutung wird heute allgemein die Behauptung verstanden:

Jede gerade Zahl größer als 2 kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.

(„binäre“ oder „starke“ goldbachsche Vermutung.)

Mit dieser Vermutung haben sich bis in die heutige Zeit viele Zahlentheoretiker befasst, ohne sie beweisen oder widerlegen zu können.

Tomás Oliveira e Silva hat mittels eines Verteiltes-Rechnen-Projekts mittlerweile (Stand April 2007) die Vermutung für alle Zahlen bis 10¹⁸ überprüft und für richtig befunden. Ein Beweis dafür, dass sie für jede beliebig große gerade Zahl gilt, ist dies natürlich nicht.

Die meisten Mathematiker nehmen an, dass die Vermutung wahr ist, und das hauptsächlich wegen der statistischen Verteilung der Primzahlen: Je größer die gerade Zahl ist, desto „wahrscheinlicher“ ist es, dass es zwei Primzahlen gibt, deren Summe die gewünschte Zahl ist.

Nachdem der britische Verlag Faber & Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million Dollar auf den Beweis der Vermutung ausgelobt hatte, war auch das öffentliche Interesse an dieser Frage gewachsen. Das Preisgeld wurde nicht ausgezahlt, da bis April 2002 kein Beweis eingegangen war.

Anzahl der Möglichkeiten, die geraden Zahlen bis 9000 als Summe zweier Primzahlen zu schreiben

Grafische Veranschaulichung

Bei größeren geraden Zahlen gibt es eine tendenziell wachsende Anzahl von Möglichkeiten, diese als Summe zweier Primzahlen zu schreiben („mehrfache Goldbachzahlen“). Die Anzahl dieser Möglichkeiten (y) lässt sich mit Computerunterstützung leicht berechnen. Die Abbildung gibt das Ergebnis dieser Berechnung für die geraden Zahlen bis 9000 wieder.

Um die starke goldbachsche Vermutung zu verletzen, müsste ein Datenpunkt irgendwann auf die Nulllinie fallen.

Verwandte Resultate

• Bewiesen ist inzwischen, dass jede gerade Zahl (größer als 2) als Summe von höchstens sechs Primzahlen ausgedrückt werden kann.
• 1920 bewies Viggo Brun, dass jede genügend große gerade Zahl als Summe zweier Zahlen mit maximal 9 Primfaktoren darstellbar ist.
• 1937 bewies Winogradow, dass jede genügend große ungerade Zahl als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden kann (schwache goldbachsche Vermutung für den Spezialfall genügend großer Zahlen).
• 1938 bewies Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow, dass "fast alle" geraden Zahlen als Summe zweier Primzahlen darstellbar sind.
• 1947 bewies Alfred Renyi, dass eine Konstante K derart existiert, dass jede gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl mit maximal K Primfaktoren geschrieben werden kann.
• 1966 bewies der Mathematiker Chen, dass jede hinreichend große gerade Zahl als Summe einer Primzahl und einer Zahl geschrieben werden kann, die höchstens zwei Primfaktoren besitzt.

Geschichte

Die von Christian Goldbach ursprünglich geäußerte Vermutung war schwächer. Er formulierte sie erstmals in einem Brief an Leonhard Euler 1742 wie folgt:

Jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe dreier Primzahlen geschrieben werden.

In dieser Form ist die goldbachsche Vermutung eines der ältesten Probleme der Zahlentheorie (siehe ungelöste Probleme der Mathematik).

Heute ist diese Vermutung als ternäre oder schwache goldbachsche Vermutung bekannt. Sie ist „so gut wie“ gelöst: Denn einerseits gilt sie, wenn die verallgemeinerte riemannsche Vermutung richtig ist, und andererseits ist gezeigt, dass sie für genügend große Zahlen gilt.

Aus einem Beweis der starken goldbachschen Vermutung würde die Behauptung sofort folgen, denn jede ungerade Zahl $u$ könnte als Summe $u=(u-3)+3$ geschrieben werden. Der erste Summand kann nach der starken goldbachschen Vermutung als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden, womit eine Zerlegung in drei Primzahlen gefunden ist.

Siehe auch

• Satz von Winogradow
• Hilberts 23 Probleme
• Goldbach-Zerlegung

Literatur

• M. B. Nathanson: Additive Number Theory: The Classical Bases. Springer-Verlag, New York (1996).
• A. Doxiadis: Onkel Petros und die Goldbach’sche Vermutung. Lübbe (2000) (Belletristik) – ISBN 3-7857-0951-X.
• J. Richstein: Verifying the Goldbach Conjecture up to 4·10¹⁴. Mathematics of Computation 70 (2001), 1745–1749.
• Andrew Granville: Refinements of Goldbach's conjecture, and the generalized Riemann Hypothesis. Functiones et Approximatio Band 37, 2007, S. 7–21

Weblinks

• Goldbach conjecture verification project von Tomás Oliveira e Silva