Diskussion:Riemannscher Krümmungstensor

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In Analogie betrachte man den Graph einer gekrümmten Funktion, z. B. von $f(x)=x^{2}$.

Das Krümmungsverhalten wird durch die Ableitungen der Funktion beschrieben.

Der Graph der Funktion ist rechtsgekrümmt, wenn $f''(x)<0$ ist. In dem Beispiel ist $f''(x)=2>0$. Man sagt die Funktion ist linksgekrümmt.

Bei einer gekrümmten Fläche im Raum kann die Krümmung in jeder Richtung unterschiedlich sein, zur Beschreibung der Krümmung in eine Richtung verwendet man Richtungsableitungen.

Richtungsableitungen können durch partielle Ableitungen ausgedrückt werden. Partielle Ableitungen gehen in die Darstellung des Krümmungstensors ein.

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Passt nicht zum Artikel. Bevor das wieder rein kommt, muss das geordnet und vernünftig ausformuliert werden. -- 217.232.44.248 18:16, 8. Aug. 2007 (CEST)

Ricci-Krümmung

Man sollte vlt. bei dem Ausflug zur Ricci Krümmung erwähnen, dass diese Formel nur für eine orthonormal Basis richtig ist. Im Allgemeinen benötigt man die Metrik um die Spur zu berechnen.

Konstantin

Das ist nicht richtig. Für die Spur eines Endomorphismus braucht man keine Metrik. Anders ist es bei der Spur einer Bilinearform. Deshalb braucht man die Metrik für die Definition der Skalarkrümmung. -- Digamma 23:27, 31. Aug. 2010 (CEST)

Schreibweise: Riemannscher Krümmungstensor vs. riemannscher Krümmungstensor

Benutzer:Kanapee änderte gerade die Schreibweise von Riemannscher Krümmungstensor in riemannscher Krümmungstensor. Ich wollte nur gerade nachfragen, ob es da einen Konsenz über die verschiedenen Artikel gibt. Auf Riemannsche Vermutung wird klein geschrieben, auf Riemannsche Xi-Funktion groß, auf Riemannsche Mannigfaltigkeit klein, auf Bernhard_Riemann werden beide Schreibweisen genutzt. Auf Hierarchie mathematischer Strukturen heißt es Hermitesche Form, auf Glossar mathematischer Attribute hermitesche Form, auf Chernklasse eines Hermiteschen Vektorbündels. Ich wäre eigentlich eher für Großschreibung, aber viel gegen Kleinschreibung habe ich jetzt auch nicht. -- JanCK 01:23, 14. Apr. 2008 (CEST)

Es ist glaub ich Konsens, allgemein klein zu schreiben in Übereinstimmung mit der Prophezeihung. -- Ben-Oni 16:05, 14. Apr. 2008 (CEST)

Nützlicher Hinweis: Man kann unsinnige „Prophezeihungen“ der Rechtschreibkommission leicht umgehen, indem man überall, wo dies möglich ist, Alternativformulierungen benutzt (z.B. "riemannscher Krümmungstensor" -> "Riemanntensor", 'Trick 17 A1'). Meistens sind die Alternativformulierungen sogar besser. Im Übrigen habe ich mich vor Jahren in einer ähnlichen Sache einmal an die damalige Kommissionsvorsitzende gewandt, und diese hat mir geschrieben, dass der Fachmann immer eingebürgerte Alternativen benutzen könne (z.B. der Physiker den eingebürgerten Begriff der "potentiellen Energie" anstelle der "potenziellen Energie"). Ich bin der Meinung, dass die Wikipedia diesbezüglich einmal konkret tätig werden sollte.- MfG, 87.160.89.235 13:27, 1. Apr. 2009 (CEST)

Unterschiede und Gemeinsamkeiten zum Krümmungsbegriff in den Eichtheorien

Worin bestehen die Unterschiede und eventuelle Gemeinsamkeiten zum Krümmungsbegriff in den Quantenfeldtheorien (Eichtheorien, Yang-Mills-Theorien)? Dazu einige Diskussionsbemerkungen, die m.E. genau auf diese Diskussionsseite (nicht aber in den Artikel) passen:

Dort wird ein (externes) Faserbündel benutzt, und die Krümmung bezieht sich explizit darauf, hier dagegen auf das (interne) Tangentialbündel und die davon ausgehende "Parallelübetragung" (mit der Riemann- bzw. Einstein-Metrik als wichtigem Zusatz). Es ergeben sich so (nicht nur im Formalen) wesentliche Unterschiede. Ein weiterer, wesentlicher Unterschied ist natürlich, dass es sich hier um eine nichtlokale Theorie handelt (nämlich um die ART Einsteins), dort aber um lokale Quantenfeldtheorien. Es sind aber trotzdem auch wesentliche Gemeinsamkeiten vorhanden: Die Grundgleichungen der Theorie (z.B. die Einsteinschen Feldgleichungen bzw. das zugrunde liegende, auf David Hilbert zurückgehende Wirkungsfunktional) benutzen ebenso wie z.B. die Yang-Mills-Theorie wesentlich die Krümmung des Tangential- bzw. Faserbündels. Physikalisch wird das Wirkungsfunktional der Yang-Mills-Theorie, d.h. deren Krümmungsbegriff, mit den "Feldern" dieser Eichtheorien und deren invarianter "Energie" ("kinetischer" minus "potentieller" Anteil) in Zusammenhang gebracht. D.h., der Energiebegriff dieser Eichtheorien baut sehr indirekt auf dem zur Theorie gehörenden Krümmungsbegriff auf, und es lassen sich auch dort die eben genannten Anteile unterscheiden, weil die Minkowski-Metrik (als Grenzfall der Einstein-Metrik) auch dort wesentlich ist. - MfG, in der Hoffnung auf neue Einsichten, auf dass "die Physik nicht für die Physiker zu schwer" werde, um abermals David Hilbert zu zitieren; 87.160.124.168 09:35, 2. Apr. 2009 (CEST)

Ich weiß wohl, dass der Feldstärketensor dem Krümmungstensor sehr ähnlich ist. Die Wirkung ist aber im YM-Fall substanziell verschieden zur ART, weil für die Krümmung eines Faserbündels (liealgebrenwertige Zweiform) nichts dem Riccitensor und der Skalarkrümmung Vergleichbares existiert. Der Energie-Impuls-Tensor und damit auch die Energie ist für YM-Theorien natürlich eindeutig durch den Feldstärketensor bestimmt. Aber die Aussage, dass "der Krümmungstensor aus der Feldenergie des Eichfeldes gebildet" werde, ist etwas unzutreffend. Ich denke, dass man aufgrund der Spurbildung nicht einmal aus dem vollen Energie-Impuls-Tensor den Feldstärketensor einer YM-Theorie zurückgewinnen kann, gebe aber zu, dass ich das jetzt nicht im Detail durchgerechnet habe. Fazit: Die Analogie zur Krümmung von allgemeinen Faserbündeln und damit dann auf physikalischer Ebene zu Eichtheorien kann gerne reingebracht werden, aber dann in mathematisch etwas glaubwürdigerer und physikalisch richtigerer Form bitte. -- Ben-Oni 13:54, 2. Apr. 2009 (CEST)

Die Spur einer Matrix ist i.W. (das heißt, bis auf Logarithmenbildung) das Produkt aller Eigenwerte (Diagonalisierungsfähigkeit der Matrix vorausgesetzt). Das ist in der Tat viel weniger als benötigt, keineswegs jeder einzelne Eigenwert, sondern nur das Produkt; also analog zur Gaußkrümmung. Man kann aber m.E. sehr wohl sagen, dass auch in der Yang-Mills-Theorie das Wirkungsfunktional aus einer "Krümmung" gebildet wird, sogar in dort angegebener, ganz präziser Weise (die mit der Spur einer Größe zusammenhängt, die von den Mathematikern "Krümmung eines Faserbündels" und von den Physikern "Yang-Mills-Feldstärke" genannt wird), nicht mehr, aber auch nicht weniger. Ricci-Tensor oder skalare Krümmung: etwas Analoges dazu sehe ich in der Tat in der Yang-Mills-Theorie derzeit nicht. Aber auch diese Größen sind m.E. eher "sekundär" und hängen wesentlich mit der Krümmung selbst zusammen. - Wie gesagt, "nichts davon in den Artikel"; wir diskutieren nur über potenziell richtige Formulierungen und Verständnisfragen, in der Hoffnung, etwas relevantes zu lernen und in der Einsicht, dass auch der Diskussionsteil eines Artikels nützlich sein kann. - Auf jeden Fall mfG, 87.160.74.194 21:49, 5. Apr. 2009 (CEST)

P.S. Konkrete Frage: Wie würde die Krümmungsform A^A einer Yang-Mills-Theorie als Riemanntensor lauten? Und was ist die konkrete Analogie zwischen den Strukturkonstanten dieser Theorie und den Riemannschen Christoffelsymbolen? Mir scheint, dass die hauptsächlichen Dinge aus der in beiden Theorien gemeinsamen Existenz einer nichttrivialen "kovarianten Ableitung" folgen. Die Ähnlichkeit der Formeln einerseits für die Farbladungen der Gluonen in der Quantenchromodynamik, $F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_{bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}\,,$ und andererseits für den Riemannschen Krümmungstensor $R^{m}{}_{ikp}=\partial _{k}\Gamma _{ip}^{m}-\partial _{p}\Gamma _{ki}^{m}+\Gamma _{ip}^{b}\Gamma _{bk}^{m}-\Gamma _{ik}^{b}\Gamma _{bp}^{m}$ ist doch verblüffend.

Der Punkt ist, der Index a bezeichnet einen Generator der SU(3). Wenn du dir die A als Matrizen vorstellst (oder halt Generatoren, üblicherweise mit $T_{a}$ bezeichnet, dranhängst), kannst du eine identische Formel wie für die Krümmung der ART hinschreiben, nur hast du jetzt auf der Lie-Algebra zusätzliche Struktur, die du auf dem Tangentialraum nicht hast, nämlich ein (antisymmetrisches) Algebrenprodukt. Und dieses Produkt macht dir aus den zwei Generatoren einen und eine Strukturkonstante (denn die Krümmung ist ja genau antisymmetrisch). Darum hast du nur einen freien Liealgebren-Index (das a). Bei YM sind also zwei (inkompatible) Bündel involviert, nämlich das Tangentialbündel und das SU(N)-Faserbündel, daher gibt es keinen Ricci-Tensor und keine Skalarkrümmung. Für ART ist nur das Tangentialbündel involviert, daher gibt es Ricci- und Skalarkrümmung und der Krümmungstensor hat einen Index mehr, weil das Tangentialbündel kein Produkt hat. Beides sind Spezialfälle eines recht allgemeinen Begriffs der Krümmung von Bündeln. -- Ben-Oni 19:43, 6. Apr. 2009 (CEST) - Vielen Dank !   87.160.78.116 12:19, 7. Apr. 2009 (CEST)

Schnittkrümmung

Aus der Sicht der Riemannschen Geometrie fehlt ganz entschieden die Schnittkrümmung, die geometrische eine wesentlich größere Rolle spielt als die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung. -- Digamma 20:07, 16. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe mal einen Abschnitt dazu eingefügt. Aber eigentlich verdient die Schnittkrümmung einen eigenen Artikel -- Digamma 23:24, 31. Aug. 2010 (CEST)

Ist inzwischen dank Benutzer:Christian1985 erledigt → Schnittkrümmung. -- Digamma 20:32, 4. Okt. 2010 (CEST)

Vorzeichenkonvention

Es scheint zwei Vorzeichenkonventionen zu geben:

1. Die eine ist die aus dem Artikel:

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.$

Diese wird auch im englischen Artikel en:Riemann curvature tensor benutzt.

2. Die zitierten Autoren Gallin, Hulot, Lafontaine und do Carmo benutzen die umgekehrte:

$R(X,Y)Z=\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{X}\nabla _{Y}Z+\nabla _{[X,Y]}Z.$

Bei Konvention 1 lautet der Zähler in der Definition der Schnittkrümmung $g(R(v,w)w,v)$, bei Konvention 2 aber $g(R(v,w)v,w)$

Außerdem scheint es zwei Konventionen für die Reihenfolge der Indizes in der Koordinatenform zu geben:

1. In der englischen Version:

${R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }(R(\partial _{\mu },\partial _{\nu })\partial _{\sigma })$.

Man beachte, dass die Reihenfolge der Indizes nicht mit der Reihenfolge der Basisvektoren in der koordinatenfreien Form übereinstimmt. Der Index zum dritten Eintrag steht an erster Stelle der unteren Indizes.

2. Bei do Carmo und Gallot, Hulot, Lafontaine stimmt die Reihenfolge der Indizes mit der Reihenfolge der Einträge in der koordinatenfreien Form überein: Für $X=u^{i}X_{i}$, $Y=v^{j}\,X_{j}$ und $Z=w^{k}\,X_{k}$ gilt

$R(X,Y)Z=\sum _{i,j,k,l}R_{ijk}^{l}u^{i}v^{j}w^{k}X_{l}$

Welche Konvention in diesem Artikel verwendet wird, wird leider nicht ersichtlich.

Meine Vermutung: Konvention 1 ist älter und traditioneller und wird auch heute noch durchgängig in der Physik benutzt, Konvention 2 ist neuer, moderner und wird vor allem in der Riemannschen Geometrie benutzt. Kann jemand diese Vermutung belegen oder bestätigen? Wie halten es andere Autoren? Ich würde in dem Artikel gerne etwas mehr über die unterschiedlichen Konventionen schreiben als nur "manche Autoren schreiben ..., andere schreiben ..."

PS: Ich habe gerade in einem Vorlesungsmitschrieb eine dritte Version gefunden, die zur Koordinatenform aus dem englischen Artikel passt:

${\mathcal {R}}(Z;X,Y)=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$

und

$R(T,Z,X,Y)=g(T,{\mathcal {R}}(Z;X,Y))$

-- Digamma 21:07, 4. Okt. 2010 (CEST)

Hallo, das Buch von Lee, welches ich immer zitiere, nennt $R(X,Y)Z$ den riemannschen Krümmungsendomorphismus und verwendet die erste Konvention und weist eindringlich darauf hin, dass die beiden Autoren, welche unter Punkt zwei genannt werden die andere Vorzeichenkonvention verwenden. Der Autor des Buches ist der Ansicht, dass die erste Konvention wesentlich verbreiteter ist. Die Koordinaten werden durch

$R=\sum \left.R_{ijk}\right.^{l}dx^{i}\otimes dx^{j}\otimes dx^{k}\otimes \partial _{l}$

dargestellt. Also stimmt hier wohl mit der zweiten Konvention überein. Als riemannschen Krümmungstensor bezeichnet das Buch $Rm(X,Y,Z,W)=g(R(X,Y)Z,W)$. --Christian1985 ( 21:26, 4. Okt. 2010 (CEST)