Diffeomorphismus
Sind M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten (zum Beispiel M und N offene Mengen im Rn), dann ist eine Abbildung f: M → N ein Diffeomorphismus, wenn
- (1) f bijektiv ist (d.h. es existiert eine Umkehrfunktion f -1: N → M)
- (2) Sowohl f als auch die Umkehrfunktion f -1 in jedem Punkt stetig differenzierbar ist.
M und N heißen diffeomorph, falls es einen Diffeomorphismus f von M nach N gibt. Mengen, die diffeomorph sind, unterscheiden sich bezüglich ihrer differenzierbaren Struktur nicht.
- Beispiele
- Die Abbildung f: (-1,1) → R, wobei f(t) = tan(t*pi/2) ist ein Diffeomorphismus zwischen der offenen Menge (-1,1) und R, der Menge der reellen Zahlen. Damit ist das offene Intervall (-1,1) diffeomorph zu R.
- Die Abbildung f : R → R, f(x) = x3, ist bijektiv und differenzierbar. Sie ist aber kein Diffeomorphismus, denn f -1 ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.
- Wichtiger Satz
Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem Differential ist lokal ein Diffeomorphismus.
- Herkunft
Der Begriff des Diffeomorphismus ist in der Differentialtopologie und der Differentialgeometrie zu Hause und findet Anwendung in der Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.
- Literatur
- K. Jänich, Vektoranalysis, Springer Verlag.
- D.K. Arrowsmith, C.M. Place, An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press.