Kugelkoordinaten

In räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Wenn der Abstand vom Ursprung konstant ist (auf einer Sphäre = Kugeloberfläche), benötigt man nur die zwei Winkel, um einen Punkt eindeutig zu bezeichnen, und spricht dann von sphärischen Koordinaten. Der Begriff Kugelkoordinaten kann als Oberbegriff für diese beiden Fälle angesehen werden.

Für Polarkoordinaten in der Ebene (ein Abstand, ein Winkel) und Zylinderkoordinaten (zwei Abstände, ein Winkel) siehe den Artikel Polarkoordinaten.

Übliche Konvention =

Die Abbildung zeigt einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten (x, y, z) und den Kugelkoordinaten (r, θ, φ):

Die Transformationsgleichungen von kartesischen in Kugelkoordinaten lauten

${r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

${\varphi }=\arctan {\frac {y}{x}}$

${\theta }=\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}$

${\theta }=\arctan {\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y$

Anschaulich:

$r(=|{\vec {p}}|)$ ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung,

θ (Azimutwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und ${\vec {p}}$, gezählt von 0° bis 180°, und

φ (Polarwinkel) ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und ${\vec {r}}_{0}$, gezählt von 0° bis 360° gegen den Uhrzeigersinn.

Die Rücktransformation erfolgt nach den Gleichungen

$x=r\sin \theta \cos \varphi$,

$y=r\sin \theta \sin \varphi$ und

$z=r\cos \theta \quad$

Anschaulich:

z ist die Projektion des Ortsvektors ${\vec {p}}$ von P auf die z-Achse,

x ist die Projektion von ${\vec {r}}_{0}$ auf die x-Achse und

y ist die Projektion von ${\vec {r}}_{0}$ auf die y-Achse,

wobei ${\vec {r}}_{0}$ die Projektion von ${\vec {p}}$ auf die x-y-Ebene ist.

In sphärischen Koordinaten wird r durch 1 ersetzt und nicht als eigenständige Koordinate aufgeführt.

Andere Konventionen

Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. In anderen Fachgebieten werden die Zeichen θ und φ manchmal gerade im umgekehrten Sinne verwandt.

Der Azimutwinkel ist nicht die geographische Breite. Diese ist vielmehr als Winkel zwischen der Äquatorialebene und dem Ortsvektor definiert und nimmt Werte zwischen -90° und 90° an. Wird sie mit λ bezeichnet, so ist λ = 90° − θ, θ = 90° − λ. Hingegen kann man φ ohne weiteres mit der geographischen Länge östlich von Greenwich gleichsetzen. Siehe dazu den Artikel geographische Koordinaten.

Funktionaldeterminante, Flächen- und Volumenelement

Bei Polarkoordinaten stehen die Koordinatenlinien (Koordinatenachsen) ebenso wie bei kartesischen Koordinaten senkrecht aufeinander. Im Unterschied zu geradlinigen Koordinatensystemen sind die Koordinatenlinien bei Polarkoordinaten keine (bzw. nicht ausschließlich) Geraden. Da es sich bei Polarkoordinaten um krummlinige Koordinaten handelt, ist bei der Integration in Polarkoordinaten die Funktionaldeterminante anzuwenden.

Die Funktionaldeterminante lautet

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \theta .$

Für das Flächenelement dA gilt:

$\mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta$

Und für das Volumenelement dV:

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r$

Jacobi-Matrix:

${\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\d\theta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}$