Normierter Raum

normierter Raum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Lineare Algebra Geometrie Analysis Funktionalanalysis

hat die Eigenschaften von

topologischer Raum parakompakter Hausdorff-Raum metrischer Raum Vektorraum topologischer Vektorraum

umfasst als Spezialfälle

Innenproduktraum Euklidischer Raum reelle Zahlen Unitärer Raum komplexe Zahlen Banachraum Hilbertraum

Dieser Artikel erklärt neben den gleichbedeutenden Begriffen normierter Raum und normierter Vektorraum per Weiterleitung auch die Begriffe Norm (Mathematik), Halbnorm, Operatornorm, Matrixnorm, L1-Norm, L2-Norm, Frobeniusnorm.

Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine reelle, nichtnegative Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften erfüllt.

Ein normierter Vektorraum oder kurz normierter Raum ist ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist.

Formale Definition

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Funktion ||·||: V → R heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare α aus K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

• (i) ||x|| ≥ 0 (Nichtnegativität);
• (ii) ||x|| = 0 ⇒ x = 0 (Definitheit);
• (iii) ||α·x|| = |α|·||x|| (Homogenität);
• (iv) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (die Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Bemerkungen:

• Aus Bedingung (iii) folgt ||0||=0 (weshalb man in (ii) auch ⇔ statt ⇒ schreiben könnte) und ||-x||=||x||.
• Wenn auf die Definitheit (Axiom ii) verzichtet wird, dann ist ||·|| nur eine Halbnorm (auch: Pseudonorm). Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum.

Einordnung

Jede Norm induziert eine Metrik

$d(x,y):=\|x-y\|$.

Damit ist jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum, und damit auch ein topologischer Raum und ein Hausdorff-Raum.

Eine Norm kann, muss aber nicht durch ein inneres Produkt (Skalarprodukt) $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ definiert sein. Jeder Innenproduktraum ist mit

$\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

ein normierter Raum.

Ein normierter Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert (das schließt ein, dass der Grenzwert der Cauchyfolge sich in diesem Raum befindet). Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum, und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum.

Betragsnormen

Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge.

Vektornormen

p-Normen

Für endlichdimensionale Räume sind die so genannten p-Normen definiert als:

$||x||_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

$||x||_{\infty }:=\max\{|x_{i}|:i=1,\ldots ,n\}$

Dabei ist p eine reelle Zahl größergleich 1, n ist die Dimension des Vektorraums und |x_i| der Absolutbetrag der i-ten Vektor-Komponente. Die aus diesen Normen abgeleiteten Metriken heißen auch Minkowski-Metriken.

Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren r=(x,y). Die Menge aller r mit ||r||=1 bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis. Mit den Normen zu p=1, p=2 und p=∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen:

p = 1 Einheitskreis der 1-Norm

p = 2 Einheitskreis der 2-Norm

p = ∞ Einheitskreis der unendlich-Norm

Die 1-Norm

• ||(x,y)||₁ = |x| + |y|

heißt auch Betragssummennorm; die von ihr abgeleitete Metrik heißt auch Manhattan-Metrik (da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke in einem Schachbrett-Stadtplan misst).

Nur in der 2-Norm

• ||(x,y)||₂ = √(x² + y²)

entspricht der verallgemeinerte Einheitskreis dem, was man sich im gewöhnlichen Sprachgebrauch unter einem Kreis vorstellt. In diesem gilt die allgemeine Kreisgleichung x² + y² = r². Die von ||·||₂ definierte Metrik d₂ entspricht dem Abstand zweier Punkte in der Euklidischen Ebene. Die 2-Norm wird deshalb auch Euklidische Norm genannt und ein Vektorraum mit der 2-Norm heißt Euklidischer Raum.

Die Norm zu p=$\infty$

• ||(x,y)||_∞ = max{|x|,|y|}

heißt auch Maximumnorm oder Tschebyschew-Norm.

Aus p < 1 entstehen keine Normen mehr, da die Bedingung der Dreiecksungleichung nicht mehr erfüllt ist.

l^p-Normen

Die "l^p-Normen" sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume.

Betrachte die Menge R^N aller reellen Zahlenfolgen. Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmenge

$\ell ^{p}:=\{(a_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \},\qquad p\in [1,\infty )$

$\ell ^{\infty }:=\{(a_{n})\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|<\infty \}$

aller "in p-ter Potenz summierbaren Folgen" bzw. aller beschränkten Folgen. Dies sind R-Vektorräume. Auf diesen Mengen definiert man die so genannte l^p-Norm:

$\|(a_{n})\|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{p}}}$

$\|(a_{n})\|_{\infty }:=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|$

Mit diesen Normen werden die l^p zu vollständigen normierten Räumen.

L^p-Normen

Die Definition der L^p-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen, ausführlichere Informationen dazu im Artikel L^p-Raum.

Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen vom Type $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ betrachten, und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen, für die man so genannte L^p-Normen definiert. Das ist jedoch erstmal nur eine Pseudonorm, da $||f||=0$ nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man L^p nennt), auf dem die L^p-Norm dann eine Norm ist.

Operatornormen

Für einen Operator $f$ wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche Streckungsfaktor) bezüglich einer Vektornorm folgendermaßen definiert:

$\|f\|=\sup _{x\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|f(x)\|}{\|x\|}}$

Matrixnormen

Eine Matrixnorm $\|\,{\cdot }\,\|_{M}$ heißt induziert von einer Vektornorm $\|\,{\cdot }\,\|_{V}$, falls gilt:

$\|A\|_{M}=\sup _{x\not =0}{\frac {\|Ax\|_{V}}{\|x\|_{V}}}$.

Für reelle oder komplexe Matrizen $A$ kann man die Operatornormen der entsprechenden linearen Abbildungen für einige Vektornormen (hier die 1, 2 und Maximumsnorm) explizit angeben.

Spaltensummennorm	$\left\|A\right\|_{1}=\max _{j}{\sum _{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|}$
Spektralnorm	$\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{\rm {max}}(A^{H}A)}}$, wobei $A^{H}$ die adjungierte (oder hermetisierte) Matrix und $\lambda _{\rm {max}}$ den betragsmäßig größten Eigenwert der Matrixprodukts $A^{H}A$ bezeichnet.
Zeilensummennorm	$\left\|A\right\|_{\infty }=\max _{i}{\sum _{j=1}^{m}\left|a_{ij}\right|}$

Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte Eigenwert) immer kleiner als ihre Norm, unabhängig davon, welche Norm gewählt wurde. Sie werden insbesondere in der numerischen Mathematik benutzt. Zusätzlich zu den oben genannten Normaxiomen erfüllen Matrixnormen immer die multiplikative Dreiecksungleichung:

$\|A\cdot B\|\leq \|A\|\|B\|$.

Es ist möglich, Abbildungen auf dem Matrizenraum zu definieren, die die Normeigenschaften sowie die multiplikative Dreiecksungleichung erfüllen, jedoch nicht eine von einer Vektornorm herrührende Operatornorm sind. Die bekannteste von diesen ist die Frobeniusnorm:

$\|A\|_{\rm {F}}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2}}}={\sqrt {\operatorname {tr} \left(A^{H}A\right)}}={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}\left(A^{H}A\right)}}$,

wobei $\operatorname {tr} (A^{H}A)$ die Spur (englisch trace) von $A^{H}A$ bezeichnet und $\lambda _{j}$ die Eigenwerte von $A^{H}A$ sind.

Eine Vektornorm $\|x\|$ und eine Matrixnorm $\|A\|$ heißen verträglich wenn gilt:

$\|Ax\|\leq \|A\|.\|x\|$

Offensichtlich ist die von einer Vektornorm induzierte Matrixnorm mit dieser Vektornorm verträglich.

Einige verträgliche Normen:

Vektornorm	Matrixnormen
Betragssummennorm (p=1)	Spaltensummennorm Gesamtnorm
Euklid. Norm (p=2)	Frobeniusnorm Gesamtnorm Spektralnorm
Maximumsnorm (p=∞)	Gesamtnorm Zeilensummennorm

Hierbei ist die Gesamtnorm wie folgt definiert:

$\|A\|=n\cdot \max _{i,j\in \{1,\dots ,n\}}|a_{ij}|$