Diskussion:Exponentialfunktion

Begründung für Änderungen

Zu meiner Korrektur:

Habe e'**x bei der Ableitung rausgenommen, weil die Duplizität von exp und e**x verwirrt, vor allem, wenn beide Ausdrücke kommentarlos nebeneinander stehen.

Habe d/dx f(x) zu (d/dx) f(x) geändert; ich hoffe, es gibt bei den Mathematikern nicht eine flapsige Kurzform, die die vorherige Darstellung heilt.

Vielleicht sollte man sich bei derlei Ausdrücken doch TeXs bedienen, es liest sich auch viel besser. --Philipendula 10:11, 27. Aug 2004 (CEST)

Diese Bruchschreibweise für die Ableitung ist historisch bedingt und in allen mir bekannten Formen leider nicht unproblematisch. Inzwischen komme ich zu der Vermutung, dass sie nicht einmal die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ausdrückt, sondern: Für eine Funktion f: A -> B ist d/dx f(x) die Ableitung der Funktion x -> f(x) an der Stelle x, also der Ausdruck f'(x). Damit wäre z.B. d/dx f(y) stets gleich 0, da die Funktion x -> f(y) konstant ist.

Deine Änderung deckt sich also mit meinen neuen Gedanken, die sich von meinen Äußerungen auf Diskussion:Differentialgleichung vom Mai 2004 unterscheiden.

Da benutze ich - als Algebraiker, nicht als Analytiker - doch lieber den großen Differentialoperator D:

$(Df)(x)$,

der tatsächlich zu einer Funktion ihre Ableitungsfunktion liefert; und bei mehrparametrigen Funktionen einen indizierten Operator:

$(D_{1}f)(x,x)\neq (D_{2}f)(x,x)$.

--SirJective 11:35, 27. Aug 2004 (CEST)

Ungleichungen

Die Ungleichung exp(x) >= 0 für reelles x kann verschärft werden zu exp(x) > 0. 80.81.1.211 08:57, 6. Feb 2005 (CET)

Erledigt --NeoUrfahraner 09:18, 7. Feb 2005 (CET)

e-Funktion und die Natur

Warum findet sich die e-Funktion ständig in der Natur - natürlich, empirisch kann man es festellen, dass Bakterienkulturen etc. mit der e-Funktion wachsen aber: gibt es auch theoretische Beweise? Vielleicht wachsen ja Bakterienkulturen garnicht mit der e-Funktion, sondern mit einem ganz anderen Wert, der sich um 0,01 % unterscheidet?

Daher meine Vorschläge für den Artikel: e-Funktion auf die Natur übertragen, mit Beispielen. Und Gründe geben, weshalb man sich sicher ist, dass so vieles in der Natur per e-Funktion ausgedrückt wird.

danke, --Abdull 12:41, 7. Feb 2005 (CET)

Stimmt so ja gar nicht, exponentielles Wachstum ist immer nur näherungsweise und hat dann die Form $a^{x}=\exp(x\ln a)=10^{x\log a}$, das hat noch gar nichts mit e zu tun, sondern geht mit jeder anderen Basis (z.B. 10) genauso. Aber: e taucht auf, wenn man eine Exponentialfunktion ableiten will: $a^{x}$ abgeleitet ist $a^{x}\ln(a)$, da kommt der natürliche Logarithmus und somit die Zahl e unweigerlich ins Spiel. Außerdem taucht e als Lösung der Differentialgleichung $f'(x)=f(x)$ auf, die Lösung ist nämlich $c\cdot \exp(x)$. Dein Vorschlag, diese Zusammenhänge irgendwie einzuarbeiten, ist aber berechtigt. Ich habe ein wenig umformuliert, vielleicht wird es jetzt klarer. --NeoUrfahraner 13:50, 7. Feb 2005 (CET)

Allgemeinere Exponentialfunktionen

Sollten nicht auch Funktionen $x\mapsto a^{x}$ mit anderen $a$'s Exponentialfunktionen heißen? Die Exponentialfunktion ist natürlich die beschriebene, aber ich würde die anderen auch so nennen. (Vgl. Diskussion:Funktionalgleichung)--Gunther 10:28, 18. Mär 2005 (CET)

Hab mich mal umgeguckt und in der gesamten Wikipedia keinen anderen passenden Artikel für exponetielle Funktionen mit der Vorschrift $f(x)=c\cdot a^{x}$ gefunden. Von mir aus kann man ja auch nur die spezielle Funktion $f(x)=e^{x}\,\!$ behandeln, aber es sollte doch etwas für die allgemeine Funktion geben. Der einzige Artikel, der sonst noch auf "exponentiell" anspricht, ist Exponentieller Vorgang, wobei hier auch nur das Thema angeschnitten wird und schnell auf Exponentialfunktion zurückverwiesen wird. --El Fahno 20:54, 19. Apr 2005 (CEST)

Rechenregeln?

MMn stehen ja alle Rechenregeln schon unter Potenz (Mathematik)#Rechenregeln, weshalb doch ein Link dorthin ausreichen sollte, da es sich hier ja eigentlich um Grundlagen handelt. Um Widerspruch gebeten.

Die logische Abhängigkeit ist ein wenig anders. Zuerst definiert man die Potenz mit natürlichen Exponenten (z.B. mit Induktion) und gewinnt die Rechenregeln. Dann versucht man, diese Rechenregeln (insbesondere $a^{x+y}=a^{x}a^{y}$) beizubehalten und dabei $x,y$ allgemeiner zu wählen, zuerst $x,y$ rational (das geht über die Wurzel), dann aber $x,y$ reell (das geht über die Exponentialfunktion). Man löst also die Funktionalgleichung $f(x+y)=f(x)f(y)$, $f(1)=a$, $f$ stetig. Es ist nicht selbstverständlich, dass diese Gleichung eine Lösung hat, die noch dazu eindeutig ist, und dass sich also damit $a^{x}$ für reelle (und sogar komplexe) $x$ definieren lässt. Danach stellt sich die Frage, welche Eigenschaften die für reelle bzw. komplexe Exponenten definierte Funktion hat. Dass dort die selben Rechenregeln gelten wie für natürliche Exponenten, ist ebenfalls nicht selbstverständlich. Die Beweise für natürliche Exponenten erfolgen mit vollständiger Induktion, für rationale Exponenten aus den Rechenregeln für die Wurzelfunktion, für reelle Exponenten sind kompliziertere analytische Überlegungen (Stetigkeit und Grenzwerte) notwendig. Diese logische Abhängigkeit wird aber derzeit nicht klar genug dargestellt. --NeoUrfahraner 13:39, 2. Mai 2005 (CEST)

Vereinfachung!!!

Ein umfassender Artikel, schön und gut. Aber leider verstehe ich nur Bahnhof. Schliesslich sollte man ein online-Lexikon auch ohne Matura verstehen können.

Sage es bitte ein wenig konkreter. Was genau ist unverständlich? Was willst Du eigentlich wissen? Was soll besser erklärt werden? Ansonsten: Ganz ohne Nachdenken wird es leider nicht gehen. "Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik". --NeoUrfahraner 12:40, 23. Mai 2005 (CEST)

Differentialgleichung

Ist es unangebracht zu fragen, ob man nicht als ein praktisches Beispiel hier mit Hilfe der Exponentialfunktion die Differentialgleichung y'=cy darstellen könnte, oder finde ich die woanders? --Roomsixhu 01:25, 28. Mai 2005 (CEST)

Von mir aus kannst Du es gerne dazufügen. --NeoUrfahraner 09:44, 28. Mai 2005 (CEST)

exp als Differentialgleichung

Sorry, ist ein bißchen lang geworden. --Roomsixhu 16:55, 29. Mai 2005 (CEST)

Kein Problem, kürzen kann man immer *eg* ;-) --Gunther 17:43, 29. Mai 2005 (CEST)

Danke für diesen Abschnitt; ein paar Anmerkungen habe ich allerdings dazu:

1) Worauf willst Du mit "Umkehrfunktion" hinaus? Den Zusammenhang mit der Differentialgleichung sehe ich nicht; ist das nicht eher ein davon unabhängiger Abschnitt?

2) Du schreibst "so erhält man daraus eine Definition von $e^{x}$." Meinst Du hier wirklich "Definition"? Dann müsste man diese möglichen Definition der Exponentialfunktion von Anfang an im Artikel einbauen. Derzeit steht ja am Anfang "Die Exponentialfunktion zur Basis e kann auf zwei Arten definiert werde". Denkbar wäre natürlich ein Aufbau ähnlich zu en:Definitions of the exponential function. Meiner Meinung nach fügt es sich besser in den Artikel ein, wenn keine zusätzliche Definition der Exponentialfunktion gegeben wird, sondern gesagt wird, dass das bereits definierte $e^{x}$ die Lösung dieser DGL ist.

3) Die Überschrift "exp als Differentialgleichung" gefällt mir nicht. Abgesehen davon, dass Exponentialfunktion in der Überschrift nicht abgekürzt, sondern ausgeschrieben werden sollte, ist die Exponentialfunktion ja keine Differentialgleichung, sondern löst eine Differentialgleichung. Je nachdem, worauf Du den Schwerpunkt legen willst, würde ich etwas wie "Die Exponentialfunktion als Lösung einer Differentialgleichung", "Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion" oder allgemeiner "Die Exponentialfunktion und Differentialgleichungen" passender finden.

--NeoUrfahraner 07:09, 30. Mai 2005 (CEST)

Hallo! Zu 1. Die Gleichung y'=y wird gelöst mit dem Logharitmus, den man über das Integral definieren kann (insbesondere ihre Eigenschaften). (Integrale definieren ja neue Funktionen). Nach dem Monotonieverhalten ist er umkehrbar,also auch eine Definition der e-Funktion.(nach Courant)

2. Ich meine Definition (nach Duden Rechnen und Mathematik, Nachweis der Identität aufgrund der Eigenschaften?), mir würde aber auch Erklärung reichen. Aber ich kann dazu eh nichts weiteres sagen. Die e-Funktion erfüllt nur den Anspruch für mein normatives Hobby Descartes und dx und Identität. Einige Leute (Weyl,Freytag-Löringhoff) machen einer anderen Person (Hilbert) den Vorwurf Algebra fast vernichtet, bzw Logik polemisch behandelt zu haben.

3. "Die Exponentialfunktion und Differentialgleichungen" finde ich gut."Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion" ehrlich gesagt besser, weil individueller (Individuelles ist in der Logik universell).

Bitte verändere nach Belieben. Worauf es mir ankam, war den Zusammenhang mit einer Differentialgleichung zu zeigen, weil es wohl kaum irgendwo schöner geht als hier. Das Thema Differentialgleichung ist ja sonst höchst komplex. Deswegen habe ich auch die Hinweise auf die zwei Definitionsmöglichkeiten eingestreut, um anzudeuten, daß man von hieraus (Normierung) anfangen kann. Während die Grenzwertdefinitionen, das Problem frontal angehen. $e^{x}$ hat ja auch diesen Einheitscharakter. Meine Differentialschreibweise ist ja auch wieder höchst historisch. Aber was ich ganz schön finde ist das Durchgängige: Von der Definition bis zur Anwendung. Und so kurz! Auch wenn ich ungenau war, ich glaube das liegt am Thema (,das mich nicht braucht, was mir völlig klar ist), daß überall Assoziationen auftauchen.

Die Schritte die ich sehe sind:

1. y'=y Grundlegung (=2 Definitionen)
2. Erweiterung y'=cy inclusive Identitätsnachweis.(Rechnung differentiell)
3. Lösung des Beispiels durch Ansatz und Deutung von c und Alpha.(Solche Probleme sind

ja erst lösbar seit dem y zu y' wird (1684, ich meine es hier historisch) und man überhaupt erst y'=y als Aufgabe oder Lösung stellen bzw angeben kann.(Identität!))

Wenn das erhalten werden könnte wäre das schön. Nicht Tertium non datur!

So jetzt sehe ich mir die englische Seite an. Aber die haben nicht das ausführliche Differential.

P.S: 1684 hieß es ja noch dy = y dx. Auch wenn wir langsam Klarheit kriegen, sie haben schon gleich nach 1684 Differentialgleichungen gelöst, und Euler lebte auch nicht allzu lange nachher. Gruß--Roomsixhu 04:39, 31. Mai 2005 (CEST)

Ich habe jetzt den Abschnitt auf "Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion" umbenannt. Worauf Du hinauswillst, habe ich weit gehend verstanden; ein

wenig muss wohl noch geglättet werden, damit der gesamte Artikel ein harmonisches Ganzes wird; im Detail weiß ich aber noch noch wie. --NeoUrfahraner 08:15, 31. Mai 2005 (CEST)

Ich kucke gerade unter lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung nach. Aber ich glaube es macht wenig Sinn sie zu zitieren hier. Sie ist nur weniges anders als hier, aber den ganzen Zusammenhang andeuten kann ich auch nicht. Lustiger Weise beginnt hier auch ein Zugang zur Algebra (d.i.Logik), da Lösungen der homogenen Differentialgleichung einen Vektorraum bilden. P.S. Ich habe diesen Ansatz im englischen Artikel zugefügt, vielleicht kriegen wir von dort Hilfe, ebenso in Diskussion:Gewöhnliche_Differentialgleichung um Hilfe gebeten. --Roomsixhu 20:22, 31. Mai 2005 (CEST)

Es steht in der enlischen Wikipedia:

4. Define e^x to be the unique solution to the initial value problem

$y'=y,\quad y(0)=1.$

[1]

[2] Randwertproblem auf Deutsch ?

--Roomsixhu 21:07, 31. Mai 2005 (CEST)

Initial Value Problem ist das Anfangswertproblem. --DaTroll 21:23, 31. Mai 2005 (CEST)

Es handelt sich um eine lineare homogene Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Der Artikel über die Exponentialfunktion sollte sich meines Erachtens auf diesen speziellen Fall beschränken; allgemeinere DGL sind bei Gewöhnliche_Differentialgleichungen besser aufgehoben. --NeoUrfahraner 09:39, 1. Jun 2005 (CEST)

Defnition

In der Definition exp(x) = lim (1 + x/n)^n finde ich die Erweiterung auf n reell nicht sinnvoll. Sie ist zwar mathematisch möglich, aber erst nachdem man die Potenzfunktion mit beliebigen reellen Konstanten eingeführt hat. Diese Einführung ist aber gerade dann elegant möglich, wenn man bereits die exp-Funktion zur Verfügung hat; wenn man sie erst hinterher definieren will, ist der Weg echt steinig! -- JFKCom 22:53, 9. Jul 2005 (CEST)

Die Erweiterung erscheint mir vor allem unüblich, also hat sie hier nichts verloren. (Es geht schon relativ problemlos, für $n\gg 0$ ist die Basis positiv, und Potenzen mit positiver Basis und rationalem Exponenten lassen sich über Wurzeln definieren, Potenzen mit beliebigem Exponenten dann durch stetige Fortsetzung.)--Gunther 23:09, 9. Jul 2005 (CEST)

In der Definition gleich von komplexen Zahlen zu reden und reelle Zahlen nur als Spezialfall am Rande zu erwähnen, kommt mir unnötig unelementar vor.--Gunther 20:13, 20. Jul 2005 (CEST)

Mir gefällt's auch noch nicht so übermäßig; vorher stand allerdings gar nix drüber da, also hätte man für x auch Bratwürstchen einsetzen können. Vorschlag: Wir deklarieren exp auf beide Arten auf ${\mathbb {R}}$, und direkt hintendran erwähnen wir, dass diese Def. auch auf ganz ${\mathbb {C}}$ aalglatt funktioniert. --JFKCom 21:49, 20. Jul 2005 (CEST)

Solange die Bratwürstchenreihe konvergiert... ;-) --Gunther 21:52, 20. Jul 2005 (CEST)

Das gibt dann eine endliche Mahlzeit, grins.--JFKCom 23:23, 20. Jul 2005 (CEST)

Im Ernst: Mit der Reihe hat man eine Exponentialfunktion, wann immer sie konvergiert, also z.B. in jeder Banachalgebra, oder auf $p\mathbb {Z} _{p}$. Von daher finde ich, dass man die Bratwürstchen ruhig etwas unbestimmt lassen kann...--Gunther 23:28, 20. Jul 2005 (CEST)

Jaja, das gilt allgemeiner, kann man ja irgendwo dann so allgemein formulieren. Aber ganz offenlassen finde ich schlampig, denn man braucht ja immerhin eine Struktur mit einem Konvergenzbegriff, d.h. nicht jeder Bratwurst-Ring ist geeignet.--JFKCom 23:40, 20. Jul 2005 (CEST)

Naja, halt alles, in dem man $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!$ vernünftigerweise hinschreiben kann.--Gunther 00:06, 21. Jul 2005 (CEST)